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正余弦定理
Part 1 正余弦定理
Part 2 三角形面积公式
Part 3 三角形中的三角恒
等式
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 正余弦定理
知识点睛
△ABC 的元素包含其三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角
形.
正余弦定理：
若△ABC 中角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 是△ABC 的外接圆半径，则有：
精讲精炼
【例1】
（1）△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a = 2
√
3，c = 2
√
2，∠A = π
3 ，则∠C 的大小为( )
A. π
4 或3π
4
B. π
3 或2π
3
C. π
3
D. π
4
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第11 讲
正余弦定理
（2）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a = 2，c = 2
3，cosA = 1
6，则b =( )
A.
√
3
B. 2
C. 2
√
2
D. 3
【例2】
（1）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，A = 2C，c = 2，a2 = 4b−4，则a =
．
（2）在△ABC 中，已知(a+b+c)(a−b−c) = −3bc，则A =( )
A. 30◦
B. 150◦
C. 60◦
D. 120◦
【例3】
（1）在△ABC 中，
“A > 30◦”是“sinA > 1
2”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
（2）在△ABC 中，AB = 2，C = π
6 ，则AC +
√
3BC 的最大值为( )
A.
√
7
B. 2
√
7
C. 3
√
7
D. 4
√
7
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知识点睛
如图所示，任意△ABC 中，A，B，C 的对边分别为A，B，C，则满足：
a = ccosB+bcosC
b = acosC +ccosA
c = acosB+bcosA
精讲精炼
【例4】
（1）在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别是a、b、c，已知bcosC +ccosB = 2b，则a
b =
．
（2）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c．若
(√
3b−c
)
cosA = a·cosC，则cosA =
．
（3）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a = 3，b = 4，c = 6，则bccosA+accosB+abcosC 的值为
．
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第11 讲
正余弦定理
【例5】
已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，(a−2b)cosC +ccosA = 0．
（1）求角C．
（2）若c = 2
√
3，求△ABC 的周长的最大值．
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Part 2 三角形面积公式
知识点睛
设△ABC 的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为p = a+b+c
2
，外接圆、内切圆半径分别为R，r，则有以
下面积公式：
1.S = 1
2aha = 1
2bhb = 1
2chc；
2.S = pr；
3.S = abc
4R ；
4. 正弦面积公式：S = 1
2absinC = 1
2bcsinA = 1
2acsinB = 2R2 sinAsinBsinC；
5. 海伦公式：S = 1
2aha = abc
4R =
√
p(p−a)(p−b)(p−c).
精讲精炼
【例6】
（1）△ABC 中，AB =
√
3，AC = 1，∠B = 30◦，则△ABC 的面积等于( )
A.
√
3
2
B.
√
3
4
C.
√
3
2 或
√
3
D.
√
3
2 或
√
3
4
（2）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，S 表示△ABC 的面积，且满足S =
√
3
4
(
a2 +c2 −b2)
，则
∠B =( )
A. π
6
B. π
3
C. π
3 或2π
3
D. 2π
3
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第11 讲
正余弦定理
【例7】
（1）设△ABC 的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC 的三个内角大小满足A : B : C = 3 : 4 : 5，则S1
S2
的
值为( )
A. 25
12π
B. 25
24π
C. 3+
√
3
2π
D. 3+
√
3
4π
（2）△ABC 中，内角A、B、C 对的边分别为a、b、c，如果△ABC 的面积等于8，a = 5，tanB = −4
3，
那么
a+b+c
sinA+sinB+sinC =
．
【例8】
在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
a
cosA = 2c−b
cosB ．
（1）求∠A 的大小．
（2）若a = 2
√
7，S△ABC = 6
√
3，求b、c 的值．
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Part 3 三角形中的三角恒等式
知识点睛
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，三角形内常用的三角恒等式有：
（1）A+B+C = π；
（2）sin(A+B) = sinC，cos(A+B) = −cosC，tan(A+B) = −tanC
(
A+B̸ = π
2
)
；
sin A+B
2
= cos C
2 ，cos A+B
2
= sin C
2 ；
（3）斜三角形△ABC 中，tanA+tanB+tanC = tanA·tanB·tanC；
由此式可推导出变形公式：cotAcotB+cotBcotC +cotCcotA = 1.
知识点睛
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，则有以下不等关系：
（1）△ABC 中，大角对大边，大边对大角，如：a > b ⇔A > B ⇔sinA > sinB；
（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，如：a+b > c，a−b < c；
（3）锐角△ABC 中，sinA > cosB ⇔A+B > π
2 ；
（4）△ABC 的判定：
c2 = a2 +b2 ⇔△ABC 为直角三角形⇔∠A+∠B = π
2 ；
c2 > a2 +b2 ⇔△ABC 为钝角三角形⇔∠A+∠B < π
2 ；
c2 < a2 +b2 ⇔△ABC 为锐角三角形⇔∠A+∠B > π
2 .
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第11 讲
正余弦定理
精讲精炼
【例9】
（1）设a、b、c 为△ABC 的三边长，若c2 = a2 +b2，且
√
3sinA+cosA =
√
2，则∠B 的大小为（ ）
A. π
12
B. π
6
C. π
4
D. 5π
12
（2）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，asinBcosC +csinBcosA =
√
3
2 b，且c > b，
则∠B =( )
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
【例10】
（1）若A，B 是锐角三角形ABC 的两个内角，则以下选项中正确的是（ ）
A. sinA < sinB
B. sinA < cosB
C. tanAtanB > 1
D. tanAtanB < 1
（2）在△ABC 中，若2lgtanB = lgtanA+lgtanC，则B 的取值范围是
．
【例11】
在△ABC 中，证明：cos A
2 +cos B
2 +cos C
2 > 2．
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本讲重点：
学习心得：
课堂总结
