文档文本内容
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解三角形综合
Part 1 三角形形状的判断
Part 2 三角形面积的计算
Part 3 解三角形在平面几
何中的应用
Part 4 解三角形与三角函
数综合
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 三角形形状的判断
知识点睛
1. 利用余弦定理求边长，实质是解一元二次方程，解出后可根据已知条件对方程的根进行取舍.
2. 在△ABC 中，已知a，b 和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，具体各类情况如下所示：
(1). 当A 是钝角或直角时，三角形为钝角或直角三角形，若a ≤b 则无解，当a > b 时有唯一解；
(2). 当A 是锐角时，若a ≥b，则有唯一解；
(3). 当A 是锐角时，若a < b，则再分三种情形讨论：
a. 若a > bsinA，此时由正弦定理计算得到sinB < 1，B 可取锐角或钝角，有两个解；
b. 若a = bsinA，此时三角形为直角三角形，有唯一解；
c. 若a < bsinA，计算得到sinB > 1，此时无解.
精讲精炼
【例1】
（1）△ABC 中，A = 60◦，b = 4
√
3，为使此三角形只有一个，则a 应满足的条件为( )
A. 0 < a < 4
√
3
B. a = 6
C. a ⩾4
√
3 或a = 6
D. 0 < a ⩽4
√
3 或a = 6
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第12 讲
解三角形综合
（2）在△ABC 中，角B，C 所对的边分别为b，c，已知b = 40，c = 20，角C = 60◦，则此三角形的解的情况是( )
A. 有一解
B. 有两解
C. 无解
D. 有解但解的个数不确定
【例2】
（1）已知△ABC 的三边长分别是√a、
√
b、√c，若a2 +b2 = c2，则△ABC 的形状是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 直角三角形或锐角三角形
（2）钝角三角形的三边为a、a+1、a+2，其最大角不超过120◦，则a 的取值范围是( )
A. 0 < a < 3
B. 3
2 ⩽a < 3
C. 2 < a ⩽3
D. 1 ⩽a < 5
2
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【例3】
（1）在三角形ABC 中，已知2a = b+c，sin2A = sinBsinC，则三角形ABC 的形状为
．
（2）在△ABC 中，若(a2 +b2)sin(A−B) = (a2 −b2)sin(A+B)，试判断三角形的形状．
【例4】
（1）已知△ABC 中，cotA+cotB+cotC =
√
3，则△ABC 是( )
A. 直角三角形但不是等腰三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形但不是等边三角形
D. 等边三角形
（2）在△ABC 中，b
a+c +
c
a+b ⩾1，则∠A 的取值范围为( )
A.
(
0, π
3
]
B.
(
0, π
6
]
C.
[
π
3 ,π
)
D.
[
π
6 ,π
)
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第12 讲
解三角形综合
Part 2 三角形面积的计算
精讲精炼
【例5】
（1）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若△ABC 的面积为a2 +b2 −c2
4
，则C =( )
A. π
2
B. π
3
C. π
4
D. π
6
（2）设在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，已知A = π
4 ，tan(A+B) = 7，b = 3
√
2，则△ABC 的面积
为
．
【例6】
（1）在△ABC 中，外接圆半径为1，且tanA
tanB = 2c−b
b
，则△ABC 面积的最大值为
．
（2）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若A = π
3 ，且2bsinB+2csinC = bc+
√
3a．则△ABC 的面
积的最大值为( )
A. 3
√
3
2
B.
√
3
2
C. 3
√
3
4
D.
√
3
4
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【例7】
已知函数f (x) = sin2wx−sin2
(
wx−π
6
)
(x ∈R，w 为常数且1
2 < w < 1)，函数f (x) 的图象关于直线x = π 对称．
（1）求函数f (x) 的最小正周期．
（2）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a = 1，f
(
3
5A
)
= 1
4．求△ABC 面积的最大值．
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第12 讲
解三角形综合
Part 3 解三角形在平面几何中的应
用
精讲精炼
【例8】
如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DA = DC，且B = 45◦，BC = 2．
（1）若△BCD 是锐角三角形，DC = 2
√
6
3 ，求角A 的大小．
（2）若△BCD 是锐角三角形，求AD
DB 的取值范围．
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【例9】
如图，在四边形ABCD 中，AB = 4，BC = 5，AC = 7，∠B+∠D = π．
（1）求cosD 的值；
（2）若AC 是∠DAB 的角平分线，求DC 的长．
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第12 讲
解三角形综合
【例10】
如图，已知在圆内接四边形ABCD 中，AB = 3，AD = 2，∠BCD = 120◦．
（1）求线段BD 的长与圆的面积．
（2）求四边形ABCD 的周长的最大值．
【例11】
在平面四边形ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 75◦．BC = 2，则AB 的取值范围是
．
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Part 4 解三角形与三角函数综合
精讲精炼
【例12】
已知函数f (x) = 2sin
(
x+ π
2
)
sin
(
x+ π
3
)
−sin π
3 ．
（1）求函数f (x) 的单调增区间．
（2）若锐角△ABC 的三个角A，B，C 满足f
(
B
2
)
= 1，求f (A) 的取值范围．
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第12 讲
解三角形综合
【例13】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，A，B，C 均为⊙O 上的点，其中A
(
3
5, 4
5
)
，C(1,0)，点B 在第二象限．
（1）设∠COA = θ，求tan2θ 的值．
（2）若△AOB 为等边三角形，求点B 的坐标．
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本讲重点：
学习心得：
课堂总结
