文档文本内容
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三角函数公式
Part 1 和角公式与差角公
式
Part 2 倍角公式
Part 3 辅助角公式
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 和角公式与差角公式
知识点睛
两角和差公式
1．两角和与差的余弦公式
Cα−β : cos(α −β) = cosα cosβ +sinα sinβ .
Cα+β : cos(α +β) = cosα cosβ −sinα sinβ .
2．两角和与差的正弦公式
Sα−β : sin(α −β) = sinα cosβ −cosα sinβ .
Sα+β : sin(α +β) = sinα cosβ +cosα sinβ .
精讲精炼
【例1】
（1）已知α ∈(0, π
2 )，β ∈(π, 3π
2 )，cosα = 1
3，tanβ =
√
2
2 ，求sin(β −α) 的值．
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第9 讲
三角函数公式
（2）已知sinα +cosβ = 1，cosα +sinβ = 0，则sin(α +β) =
．
（3）求值：cos27◦−
√
2sin18◦
cos63◦
=
．
知识点睛
两角和差公式
3．两角和与差的正切公式
Tα−β : tan(α −β) = tanα −tanβ
1+tanα tanβ .
Tα+β : tan(α +β) = tanα +tanβ
1−tanα tanβ .
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高一/ 数学/ 筑梦班
精讲精炼
【例2】
（1）若tanα = 1
3，tan(α +β) = 1
2，则tanβ =
．
（2）若P：A+B = π
4 ，Q：(1+tanA)(1+tanB) = 2，则P 是Q 的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【例3】
（1）(1+tan1◦)(1+tan2◦)(1+tan3◦)···(1+tan45◦) =
．
（2）
(
1+
√
3tan1◦)(
1+
√
3tan2◦)(
1+
√
3tan3◦)
···
(
1+
√
3tan60◦)
=
．
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第9 讲
三角函数公式
Part 2 倍角公式
知识点睛
由和角公式与差角公式可进一步推导出下列公式：
1．二倍角的正弦、余弦和正切
S2α : sin2α = 2sinα cosα
C2α : cos2α = cos2 α −sin2 α
= 2cos2α −1
= 1−2sin2α
T2α : tan2α =
2tanα
1−tan2 α
进一步变换后得到降幂公式：
cos2α = 1+cos2α
2
sin2α = 1−cos2α
2
2．半角公式
sin α
2 = ±
√
1−cosα
2
cos α
2 = ±
√
1+cosα
2
tan α
2 =
sinα
1+cosα = 1−cosα
sinα
= ±
√
1−cosα
1+cosα
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高一/ 数学/ 筑梦班
精讲精炼
【例4】
（1）设α 为锐角，若cos
(
α + π
6
)
= 4
5，则sin
(
2α + π
12
)
的值为
．
（2）已知α,β 为锐角，sinα =
√
2
10 ，sinβ =
√
10
10 ，则α +2β =
．
【例5】
（1）cos275◦+cos215◦+cos75◦·cos15◦的值是( )
A. 5
4
B.
√
6
2
C. 3
2
D. 1+
√
3
4
（2）θ ∈[0,π]，cosθ = 3
4，则tan θ
2 =（ ）
A.
√
7
B.
√
7
7
C. 7
D. 1
7
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第9 讲
三角函数公式
知识点睛
3. 三倍角的正弦、余弦和正切
S3α : sin3α = 3sinα −4sin3 α
C3α : cos3α = 4cos3 α −3cosα
T3α : tan3α = tanα tan
(
π
3 −α
)
tan
(
π
3 +α
)
精讲精炼
【例6】
（1）求值：tan20◦·tan40◦·tan80◦．
（2）求证：sin3α = 4sinα sin
(
π
3 −α
)
sin
(
π
3 +α
)
．
【例7】
已知f (x) = sin
(
π
6 x
)
cos
(
π
6 x
)
，则f (1)+ f (2)+···+ f (2018) =
．
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 3 辅助角公式
知识点睛
辅助角公式：
y = asinα +bcosα =
√
a2 +b2 sin(α +φ)，其中sinφ =
b
√
a2 +b2 ,cosφ =
a
√
a2 +b2 ,tanφ = b
a．
精讲精炼
【例8】
（1）为了得到函数y = sin3x+cos3x 的图象，可以将函数y =
√
2cos3x 的图象( )
A. 向右平移π
4 个单位
B. 向左平移π
4 个单位
C. 向右平移π
12 个单位
D. 向左平移π
12 个单位
（2）若函数f (x) = sinωx−
√
3cosωx，ω > 0，x ∈R，又f (x1) = 2，f (x2) = 0，且|x1 −x2| 的最小值为3π
2 ，则ω 的
值为( )
A. 1
3
B. 2
3
C. 4
3
D. 2
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第9 讲
三角函数公式
【例9】
设α、β ∈
[
−π
2 , π
2
]
，若满足sinα cosβ +sinβ cosα = 1，则sinα +sinβ 的取值范围是( )
A.
[
−
√
2,
√
2
]
B.
[
−1,
√
2
]
C.
[
0,
√
2
]
D.
[
1,
√
2
]
【例10】
当x，y ∈
[
0, π
6
]
时，2x cosx+2
π
2 = a·2x，且
√
3cosy+siny = 2a−2y+ π
3 +1，则sin(x+y) =
．
【例11】
已知函数f (x) =
√
3sinxcosx+2cos2x−sin2x
（1）求函数f (x) 的单调增区间．
（2）若f (α) = 2，α ∈
[
π
12, 5π
12
]
，求cos2α 的值．
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高一/ 数学/ 筑梦班
【例12】
已知f (x) = 4acos2x−2
√
3asin2x+2−a，a > 0．
（1）求函数f (x) 的最小正周期．
（2）当x ∈
[
0, π
6
]
时，f (x) 的最小值为1，求实数a 的值．
（3）求函数y = f (x)(x ∈R) 的单调递增区间．
（4）求函数y = f (x)(x ∈R) 的对称轴和对称中心．
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第9 讲
三角函数公式
本讲重点：
学习心得：
课堂总结
