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期中复习2
Part 1 集合综合
Part 2 一一映射
Part 3 复合函数定义域、
值域
Part 4 函数性质应用拓展
Part 5 抽象函数与函数方
程
Part 6 方程的根与函数零
点
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 集合综合
精讲精炼
【例1】
已知S1，S2，S3 为非空集合，对于1，2，3 的任意一个排列i，j，k，若x ∈Si，y ∈S j，则y−x ∈Sk．
（1）三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？
（2）证明：三个集合中至少有两个集合相等．
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第7 讲
期中复习2
Part 2 一一映射
精讲精炼
【例2】
下面的哪些对应是从A 到B 的一一映射( )
A. A = {1,2,3,4}，B = {3,5,7}，对应关系：f (x) = 2x+1,x ∈A．
B. A = R，B = R，对应关系：f (x) = x2 −1,x ∈A．
C. A = {1,4,9}，B = {−1,1,−2,2,−3,3}，对应关系：A 中的元素开平方．
D. A = R，B = R，对应关系：f (x) = x3,x ∈A．
Part 3 复合函数定义域、值域
精讲精炼
【例3】
（1）若函数f (x) =
√
2x2−2ax−a −1 的定义域为R，则a 的取值范围为
．
（2）若函数f (x) = lg
(
ax2 +ax+1
)
的定义域为R，则实数a 的取值范围是
．
（3）已知函数y = log1
2
[
ax2 +2x+(a−1)
]
的值域是[0,+∞)，则参数a 的值=
．
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高一/ 数学/ 筑梦班
【例4】
（1）求y = 2x−3
x+1 的值域．
（2）函数y =
√1−x
x−2
的值域为
．
（3）函数y = 4x +2x+1 +1 的值域为( )
A. (0,+∞)
B. (1,+∞)
C. [1,+∞)
D. (−∞,+∞)
【例5】
（1）函数y = f (2x) 的定义域是(−1,1)，设函数y = f (logx2) 的定义域为A，则A∩Z =
(其中Z 表示整
数集合)．
（2）已知f
(
x+ 1
x
)
= x3 + 1
x3 ，求f (x)．
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第7 讲
期中复习2
Part 4 函数性质应用拓展
精讲精炼
【例6】
设f (x) = 2+x
1+x，则f (1)+ f (2)+···+ f (1000)+ f
(
1
2
)
+ f
(
1
3
)
+···+ f
(
1
1000
)
=
．
【例7】
（1）函数f (x) = kx2 −4x−8 在区间[5,20] 上是单调递减的，则实数k 的取值范围为
．
（2）若函数f(x) = (a−x)|x−1| 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是
．
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高一/ 数学/ 筑梦班
【例8】
（1）设max{a,b} 表示a，b 两数中的最大值，若f (x) = max{|x|,|x+t|} 关于x = 5 对称，则t =
．
（2）定义在实数集上的函数f (x)，对一切实数x，都有f (x+1) = f (2−x)．若f (x) = 0 仅有101 个不同的实数
根，那么所有实数根的和为( )
A. 150
B. 303
2
C. 152
D. 305
2
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第7 讲
期中复习2
Part 5 抽象函数与函数方程
精讲精炼
【例9】
（1）已知f (x) 是一次函数，且满足3 f (x+1)−2 f (x−1) = 2x+17，求f (x)．
（2）函数f (x) 对于任意实数x，y，都满足f
(
x+y2)
= f (x)+2 f 2 (y)，且f (1)̸ = 0，则f (1998) =
．
【例10】
已知函数f (x) 的定义域是x̸ = 0 的一切实数，对定义域内的任意x1，x2 都有f (x1 ·x2) = f (x1)+ f (x2)，且当x > 1
时f (x) > 0，f (2) = 1．
（1）求证：f (x) 是偶函数．
（2）f (x) 在(0,+∞) 上是增函数．
（3）解不等式f
(
2x2 −1
)
< 2．
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 6 方程的根与函数零点
精讲精炼
【例11】
设a > 0 且a̸ = 1，则方程ax +1 = −x2 +2x+2a 的实数解个数是
．
【例12】
设f (x) = (1+a)x4 +x3 −(3a+2)x2 −4a，试证明：对任意实数a．
（1）方程f (x) = 0 总有相同实根．
（2）存在x0，恒有f (x0)̸ = 0．
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第7 讲
期中复习2
本讲重点：
学习心得：
课堂总结
