文档文本内容
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函数最值
Part 1 函数的最值
Part 2 运用函数单调性求
解函数最值
Part 3 分式函数最值求解
问题
Part 4 求解函数最值常用
方法归纳
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高一/ 数学/ 筑梦班
Part 1 函数的最值
知识点睛
函数最值的基本概念：
1. 设函数f(x) 定义域为D，若存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈D，都有f(x) ≤M；（2）存在x0 ∈D，使得
f(x0) = M. 则称M 为f(x) 在D 上的最大值.
2. 设函数f(x) 定义域为D，若存在实数N 满足：（1）对于任意的x ∈D，都有f(x) ≥N；（2）存在x0 ∈D，使得
f(x0) = N. 则称N 为f(x) 在D 上的最小值.
单调函数的最值：若f(x) 在定义域D 上单调递增（减），且D 有左端点值为a，右端点值为b，则f(x) 在D
上最小值为f(a)，最大值为f(b)(最大值为f(a)，最小值为f(b))．特别地，单调函数在闭区间上的最值总在端点处
取到．
精讲精炼
【例1】
已知函数f (x) = x2 +3x|x−a|，其中a ∈R．当a = 2 时，求f (x) 在区间[1,3] 上的最值．
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第2 讲
函数最值
Part 2 运用函数单调性求解
函数最值
知识点睛
求解函数最值问题是数学中一类重要问题，其中对于二次函数以及高次函数、分式函数、多元函数、幂指对函
数以及多层次复合函数等不同类型函数的最值求解问题均有涉及.
解答此类问题的常见方法包括运用函数本身的性质、配方法、判别式法、不等式法、数形结合法以及换元法等.
针对求解多元函数的最值问题及应用问题，常用方法还包括冻结变量法和调整法等方法. 针对分式函数最值求解
方法，从对勾函数出发一步步引导变化是一类通常的解题思路. 运用不同方法求解问题的过程中，需要具有灵活
变更能力和较强的解题技巧.
精讲精炼
【例2】
已知函数f (x) 对任意实数x 均有f (x) = k f (x+2)，其中常数k 为负数，且f (x) 在区间[0,2] 上有表达式f (x) =
x(x−2)．
（1）求f (−1)，f
(
5
2
)
的值．
（2）写出f (x) 在[−3,3] 上的表达式，并讨论函数f (x) 在[−3,3] 上的单调性．
（3）求出f (x) 在[−3,3] 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．
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高一/ 数学/ 筑梦班
【例3】
设函数f (x) = 2x+2 −3×4x (x ⩾0)，求此函数的最大值及相应的x 的值．
【例4】
已知函数f (x) = 3+log2x，x ∈[1,16]，若函数g(x) = [f (x)]2 +2 f
(
x2)
．
（1）求函数g(x) 的定义域．
（2）求函数g(x) 的最值．
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第2 讲
函数最值
Part 3 分式函数最值求解问题
知识点睛
1. 对勾函数的定义
形如f (x) = ax+ b
x (a > 0,b > 0) 的函数，叫做对勾函数．
2. 对勾函数f (x) = x+ k
x (k > 0) 的图象与性质
精讲精炼
【例5】
函数y =
3x
x2 +x+1 (x < 0) 的最小值是
．
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高一/ 数学/ 筑梦班
【例6】
函数f (x) =
√
x+1
x2 +4x+7 的最大值为
．
【例7】
已知函数f (x) =
√
2x3 +7x2 +6x
x2 +4x+3
，x ∈[0,4]，求f (x) 的最值．
【例8】
求y = −2x2 −4x+1
x2 +2x+3 ，x ∈[0,3] 的最值．
【例9】
求函数y = 2x2 +2x+5
x2 +x+1
的最值．
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第2 讲
函数最值
Part 4 求解函数最值常用方法归纳
精讲精炼
【例10】
设x，y ∈R，求函数f (x,y) = x2 +6y2 −2xy−14x−6y+72 的最小值，并求出取得最小值时的x、y 的值．
【例11】
已知x+y+2z = 1，函数f (x,y,z) = x2 +y2 +z2 的最小值化为最简分式形式为p
q (p、q ∈Z+)，则p+q =
．
【例12】
求二元函数f (x,y) = (x−y)2 +
(
x+ 1
y +1
)2
的最小值．
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高一/ 数学/ 筑梦班
【例13】
已知正数a、b、c 满足：a2 +ab+ac+bc = 6+2
√
5，则3a+b+2c 的最小值是
．
【例14】
已知函数f (x) = loga (8−2x)(a > 0且a̸ = 1)．
（1）若函数f (x) 的反函数是其本身，求a 的值．
（2）当a > 1 时，求函数y = f (x)+ f (−x) 的最大值．
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第2 讲
函数最值
本讲重点：
学习心得：
课堂总结
