目录
第9 讲
任意角与弧度制···························1
第10 讲
任意角的三角函数·······················5
第11 讲
三角函数的图象与性质··················9
第12 讲
正弦型函数图象························13
参考答案···········································17
第
讲
9
1
任意角与弧度制
Part 1
任意角与弧度制
2
Part 1
任意角与弧度制
知识点睛
重难点：
1.①各象限角的集合：
第一象限角：{α|k ·360◦< α < k ·360◦+90◦, k ∈Z}
第二象限角：{α|k ·360◦+90◦< α < k ·360◦+180◦, k ∈Z}
第三象限角：{α|k ·360◦+180◦< α < k ·360◦+270◦, k ∈Z}
第四象限角：{α|k ·360◦+270◦< α < k ·360◦+360◦, k ∈Z}
②各轴线角的集合：
在x 轴的非负半轴上：{α|α = k ·360◦, k ∈Z}
在x 轴的非正半轴上：{α|α = k ·360◦+180◦, k ∈Z}
在y 轴的非负半轴上：{α|α = k ·360◦+90◦, k ∈Z}
在y 轴的非正半轴上：{α|α = k ·360◦+270◦, k ∈Z}
2. 已知α 的终边所在象限，求α
n (n ≥2, n ∈N∗) 的终边所在象限的方法：
①代数法
（1）由α 的范围求出α
n 的范围；
（2）通过分类讨论把α
n 写成θ +k ·360◦(k ∈Z, 0◦<θ < 360◦) 的形式，然后判断α
n 的终边所在象限.
第9 讲
3
②几何法
（1）画出区域：将坐标系每个象限n 等分，得4n 个区域(n ≥2, n ∈N∗)；
（2）标号：自x 轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上1、2、3、4；
（3）确定区域：找出与角α 的终边所在象限标号一致的区域，即为所求.
精讲精练
【例1】已知集合
{
α
2kπ + π
4 ⩽α ⩽2kπ + π
2 ,k ∈Z
}
，则角α 的终边落在阴影处(包括边界) 的区域是( )
【例2】将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为
．
4
【例3】已知α 是第二象限角，则α
2 是( )
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第一象限角或第三象限角
D. 第一象限角或第二象限角
【例4】已知扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少?
第
讲
10
5
任意角的三角函数
Part 1
任意角的三角函数
6
Part 1
任意角的三角函数
知识点睛
重难点：
1. 任意角的三角函数有两类定义，需分别理解掌握.
2. 同角三角函数基本关系式的变形公式：
①sin2 α +cos2 α = 1 ⇒
sin2 α = 1−cos2 α, cos2 α = 1−sin2 α
sinα = ±
√
1−cos2 α, cosα = ±
√
1−sin2 α
(sinα ±cosα)2 = 1±2sinα cosα
；
②sinα
cosα = tanα (cosα̸ = 0) ⇒
sinα = tanα cosα
cosα = sinα
tanα
.
3. 诱导公式在解决三角形有关问题中的应用：
在△ABC 中，常用到以下结论：
sin(A+B) = sin(π −C) = sinC
cos(A+B) = cos(π −C) = −cosC
tan(A+B) = tan(π −C) = −tanC
sin
(
A
2 + B
2
)
= sin
(
π
2 −C
2
)
= cos C
2
cos
(
A
2 + B
2
)
= cos
(
π
2 −C
2
)
= sin C
2
第10 讲
7
精讲精练
【例1】在平面直角坐标系xOy 中，角θ 的终边经过点P(−2,t)，且sinθ +cosθ =
√
5
5 ，则实数t 的值为
．
【例2】方程2cosx+1 = 0 的解集是
．
【例3】已知sinα −cosα = 1
5，求sin3α −cos3α 的值．
8
【例4】证明：1−2sinxcosx
cos2x−sin2x = 1−tanx
1+tanx (cosx̸ = 0)．
【例5】化简：
sin(−α)−sin(900◦−α)
tan(α −360◦)−cos(180◦+α)−cos(−α −360◦) =
．
第
讲
11
9
三角函数的图象与性质
Part 1
三角函数的图象与性质
10
Part 1
三角函数的图象与性质
知识点睛
重难点：
1. 求三角函数最小正周期的基本方法：
（1）定义法：利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x +T”，函数值重复出现，
但这种方法需要证明T 是最小正周期，高考中对此不作要求.
（2）公式法：将函数化为y = Asin(ωx+φ)+B 或y = Acos(ωx+φ)+B（A, ω, φ, B 为常数，且A̸ = 0, ω̸ = 0）
的形式，再利用T = 2π
|ω| 求得；或将函数化为y = Atan(ωx+φ)+B 的形式，利用T = π
|ω| 求得.
（3）图象法：作出函数图象，通过观察图象得到最小正周期.
2. 与三角函数相关的几类常见函数值域及最值求法：
（1）y = acosx+b
ccosx+d（或y = asinx+b
csinx+d ）型函数：可由换元思路，令cosx = t，则函数转化为关于t 的一次分式
型函数，可以求解值域或最值.
（2）y = a(sinx+cosx)+bsinx·cosx+c(a̸ = 0, b̸ = 0) 型函数：也可使用换元法，令t = sinx+cosx，|t| ≤2，则
有sinxcosx = t2 −1
2
，分别代入后转化为代数问题求解.
（3）y = asin2 x+bcosx+c(a̸ = 0, b̸ = 0) 型函数可转化为关于cosx 的二次函数式.
第11 讲
11
精讲精练
【例1】已知函数f (x) = 2sin
(
ωx+ π
4
)
(ω > 0) 的图象在区间[0,1] 上恰有3 个最高点，则ω 的取值范围为
( )
A.
[
19π
4 , 27π
4
)
B.
[
9π
2 , 13π
2
)
C.
[
17π
4 , 25π
4
)
D. [4π,6π)
【例2】两个函数y = sinx(|x| ⩽2π) 和y = tanx(|x| ⩽2π) 的图象交点的个数为
．
【例3】下列说法：①sin1 < sin2；②sin2 < cos2；③sin4 < cos4；④sin 19π
10 < cos
(
−13π
10
)
，其中正确的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ③④
12
【例4】函数y = 3sinx+1
3sinx−1 的值域是
．
【例5】已知函数f (x) = t +sinx
t +cosx (|t| > 1) 的最大值和最小值分别是M，m，则M ·m 为( )
A. 1
B. 2
C. −1
D. −2
【例6】已知函数f (x) = sin(sinx)+cos(sinx)，x ∈R，则下列说法正确的是( )
A. 函数f (x) 是周期函数，且最小正周期为π
B. 函数f (x) 是奇函数
C. 函数f (x) 在区间
[
0, π
2
]
上的值域为
[
1,
√
2
]
D. 函数f (x) 在
[
π
4 , π
2
]
上是增函数
第
讲
12
13
正弦型函数图象
Part 1
正弦型函数图象
14
Part 1
正弦型函数图象
知识点睛
重难点：
1. 三角函数的图像变换
函数y = Asin(ωx+φ)+k 的四个常数中，A 与ω 确定函数的形状，φ 与k 确定图像与坐标轴的位置关系．
当A > 0, ω > 0 时，函数y = Asin(ωx+φ)+k 的图像可看作用下面的方法得到：
（1）将y = sinx 图像上的所有点向左(φ > 0) 或向右(φ < 0) 平移φ 个单位，得到y = sin(x+φ)；
（2）将y = sin(x+φ) 图像上的所有点的横坐标缩短(ω > 1) 或伸长(0 < ω < 1) 到原来的ω 倍（纵坐标不
变），得到y = sin(ωx+φ)；
（3）将y = sin(ωx+φ) 图像上的所有点的纵坐标伸长(A > 1) 或缩短(0 < A < 1) 到原来的A 倍（横坐标不
变），得到y = Asin(ωx+φ)；
（4）将y = Asin(ωx+φ) 的图像向上(k > 0) 或向下(k < 0) 平移|k| 个单位，得到y = Asin(ωx+φ)+k．
2.y = Asin(ωx+φ)（A > 0，ω > 0）型函数性质判定
（1）单调性
a. 求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
b. 求形如y = Asin(ωx+φ)（其中ω > 0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解，但
如果ω < 0，那么一定先借助诱导公式将ω 化为正数.
c. 已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，再利用集合间的关系求解.
（2）奇偶性
若为奇函数，则φ = kπ (k ∈Z)；若为偶函数，则φ = π
2 +kπ (k ∈Z).
第12 讲
15
（3）周期性
可通过三角恒等变换化为y = Asin(ωx+φ) + B（A, B, ω, φ 为常数，A̸ = 0, ω̸ = 0）的形式，再应用公式
T = 2π
|ω| 求解.
（4）对称性
函数y = Asin(ωx+φ)（A, ω, φ 为常数，A̸ = 0, ω̸ = 0）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称
中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x = x0 或点(x0, 0) 是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可
通过检验f (x0) 的值进行判断.
3. 由部分图象确定y = Asin(ωx+φ)+b（A > 0，ω > 0）解析式的步骤：
（1）求A, b：先确定函数的最大值M 和最小值m，则A = M −m
2
，b = M +m
2
.
（2）求ω：相邻的最高点与最低点横坐标之差的绝对值为T
2 ；相邻的两个最高点（最低点）之间的距离为T.
（3）求φ：利用峰点、谷点或零点列出关于φ 的方程，结合φ 的范围解得φ 的值.
精讲精练
【例1】把函数y = 2cos2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移1 个单位长
度，再向下平移1 个单位长度，得到的图象是( )
16
【例2】已知函数f (x) = Asin(ωx+φ) 的图象如图所示，其中A > 0,ω > 0,|φ| < π
2 ，求函数f (x) 的解析式．
【例3】已知函数f(x) = sinx +λ cosx 的图象的一个对称中心是点
(
π
3 ,0
)
，则函数g(x) = λ sinxcosx +sin2x 的
图象的一条对称轴是直线（ ）
A. x = 5π
6
B. x = 4π
3
C. x = π
3
D. x = −π
3
【例4】已知函数f (x) = sin(ωx+ϕ)
(
ω > 0,0 < ϕ < π
2
)
，f (x1) = 1，f (x2) = 0，若|x1 −x2|min = 1
2，且
f
(
1
2
)
= 1
2，则f (x) 的单调递增区间为( )
A.
[
−1
6 +2k, 5
6 +2k
]
,k ∈Z
B.
[
−5
6 +2k, 1
6 +2k
]
,k ∈Z
C.
[
−5
6 +2kπ, 1
6 +2kπ
]
,k ∈Z
D.
[
1
6 +2k, 7
6 +2k
]
,k ∈Z
参考答案
17
参考答案
第9 讲
任意角与弧度制
1
B
【解析】集合
{
α
2kπ + π
4 ⩽α ⩽2kπ + π
2 ,k ∈Z
}
表示第一象限的角，
故选：B．
2
−π
12
【解析】解：分针拨快30min，是按照顺时针方向，得到的角是负角，
把时钟的分针拨快30min，时针走过30 度的30
60，
∴时针走过的弧度数是−30
60 × π
6 = −π
12．
故答案为：−π
12．
3
C
【解析】解：∵α 是第二象限角，
∴2kπ + π
2 < α < 2kπ +π，k ∈Z，
∴kπ + π
4 < α
2 < kπ + π
2 ，k ∈Z．
故α
2 是第一象限角或第三象限角．
故选：C．
4
见解析
【解析】设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，l +2r = 40，l = 40−2r.
∴S = 1
2lr = 1
2(40−2r)r = 20r −r2 = −(r −10)2 +100，
当r = 10cm 时，扇形的面积最大，这个最大值是100cm2，此时θ = l
r = 40−2×10
10
= 2 .
当它的半径和圆心角分别取10cm 和2 弧度时，才能使扇形的面积最大，最大面积是100cm2.
18
第10 讲
任意角的三角函数
1
4
【解析】解：∵角θ 的终边经过点P(−2,t)，
∴sinθ =
t
√
t2 +4
，cosθ =
−2
√
t2 +4
，
∵sinθ +cosθ =
√
5
5 ，
∴
t
√
t2 +4
+
−2
√
t2 +4
=
t −2
√
t2 +4
=
√
5
5 ，故t > 2．
将
t −2
√
t2 +4
=
√
5
5
两边平方，整理得t2 −5t +4 = 0，
解得t = 4 或t = 1(舍去)，
∴t = 4．故答案为：4．
2
{
x
x = 2kπ ± 2π
3 ,k ∈Z
}
【解析】解：∵2cosx+1 = 0，
∴cosx = −1
2，
∴x = 2kπ ± 2
3π，k ∈Z．
故答案为：
{
x
x = 2kπ ± 2π
3 ,k ∈Z
}
．
3
见解析
【解析】解：因为sinα −cosα=1
5，所以sinα cosα=12
25，sin3α −cos3α= (sinα −cosα)(sin2α + cos2α +
sinα cosα)= 1
5 ×
(
1+ 12
25
)
= 37
125．
4
见解析
【解析】法一: 原式左边=1−2sinxcosx
cos2x−sin2x =
(cosx−sinx)2
(cosx−sinx)(cosx+sinx) = cosx−sinx
cosx+sinx．∵cosx̸ = 0．∴原式
左边=cosx−sinx
cosx+sinx = 1−tanx
1+tanx = 右边．法二: 原式左边=1−2sinxcosx
cos2x−sin2x =
(cosx−sinx)2
(cosx−sinx)(cosx+sinx) =
cosx−sinx
cosx+sinx．原式右边=1−tanx
1+tanx =
1−sinx
cosx
1+ sinx
cosx
=
cosx−sinx
cosx
cosx+sinx
cosx
= cosx−sinx
cosx+sinx．∴左边= 右边．
参考答案
19
5
−2cosα
【解析】解：
sin(−α)−sin(900◦−α)
tan(α −360◦)−cos(180◦+α)−cos(−α −360◦)
=
−sinα −sinα
tanα +cosα −cosα
= −2sinα
tanα
= −2cosα．
故答案为：−2cosα．
第11 讲
三角函数的图象与性质
1
C
【解析】因为函数f (x) = 2sin
(
ωx+ π
4
)
(ω > 0) 的图象在区间[0,1] 上恰有3 个最高点，所以4π + π
2 ⩽
ω ×1+ π
4 < 6π + π
2 ⇒17π
4
⩽ω < 25π
4 ，ω 的取值范围为
[
17π
4 , 25π
4
)
，故选C．
2
5
【解析】作图法，5 个．
3
B
【解析】①∵正弦函数在
[
0, π
2
]
上单调递增，在
[
π
2 ,π
]
上单调递减，所以
sin1 < sin π
3 = sin 2
3π < sin2；
②∵2rad 角为第二象限角，∴cos2 < 0 < sin2；
③∵正弦函数在
[
π, 5
4π
]
上单调递减，余弦函数在
[
π, 5
4π
]
上单调递增，∴sin4 < sin 5
4π = cos 5
4π < cos4；
④∵sin 19
10π = −sin π
10 = −cos 4
10π，cos
(
−13
10π
)
= −cos 3
10π，余弦函数在
[
0, π
2
]
上单调递减，
∴−cos 4
10π > −cos 3
10π，即sin 19
10π > cos
(
−13
10π
)
．
故答案为①③，选B．
20
4
(
−∞, 1
2
]
∪[2,+∞)
【解析】解：y = 3sinx+1
3sinx−1 = 3sinx−1+2
3sinx−1
= 1+
2
3sinx−1，
由3sinx−1̸ = 0 得sinx̸ = 1
3，
∵−1 ⩽sinx ⩽1 且sinx̸ = 1
3，
∴−3 ⩽3sinx ⩽3 且3sinx̸ = 1，
∴−4 ⩽3sinx−1 ⩽2 且3sinx−1̸ = 0，
即−4 ⩽3sinx−1 < 0 或0 < 3sinx−1 ⩽2，
则
1
3sinx−1 ⩽−1
4 或
1
3sinx−1 ⩾1
2，
则
2
3sinx−1 ⩽−1
2 或
2
3sinx−1 ⩾1，
则1+
2
3sinx−1 ⩽1
2 或1+
2
3sinx−1 ⩾2，
即y ⩽1
2 或y ⩾2，
即函数的值域为
(
−∞, 1
2
]
∪[2,+∞)，
故答案为：
(
−∞, 1
2
]
∪[2,+∞)．
5
A
【解析】解：设y = t +sinx
t +cosx ⇒ty+ycosx = t +sinx，
⇒ty−t = sinx−ycosx ⇒sin(x−φ) =
ty−t
√
(y2 +1)
⇒
ty−t
√
(y2 +1)
⩽1，
⇒
(
t2 −1
)
y2 −2t2y+
(
t2 −1
)
⩽0(∗)，
设关于y 的方程
(
t2 −1
)
y2 −2t2y+
(
t2 −1
)
= 0 的两根是y1，y2 (y1 < y2)，
则y1 ·y2 = t2 −1
t2 −1 = 1，
而不等式的解为：y1 ⩽y ⩽y2，
即y1，y2 分别是函数f (x) = t +sinx
t +cosx (|t| > 1) 的最小值m 和最大值M，M ·m = 1，
故选A．
6
C
【解析】∵f (x) = sin(sinx) + cos(sinx)，∴f (π +x) = sin(sin(π +x)) + cos(sin(π +x)) = −sin(sinx) +
cos(sinx)̸ = f (x)，故A 错误．
f (−x) = sin(sin(−x)) + cos(sin(−x)) = −sin(sinx) + cosx̸ = −f (x)，故B 错误．∵f (x) = sin(sinx) +
cos(sinx) =
√
2sin
(
sinx+ π
4
)
，又∵x ∈
[
0, π
2
]
，∴sinx ∈[0,1]，∴sinx+ π
4 ∈
[
π
4 , π
4 +1
]
，∴sin
(
sinx+ π
4
)
∈
参考答案
21
[√
2
2 ,1
]
，∴f (x) ∈
[
1,
√
2
]
，即函数f (x) 的值域为
[
1,
√
2
]
，故C 正确．∵令t = sinx
(
t ∈
[√
2
2 ,1
])
，有
t = sinx 在
[
π
4 , π
2
]
单调，u = t + π
4 在
[√
2
2 ,1
]
单调，v = sinu 在
[√
2
2 + π
4 ,1+ π
4
]
不单调，∴函数f (x)
在
[
π
4 , π
2
]
不单调．故D 错误．
第12 讲
正弦型函数图象
1
A
【解析】解：把函数y = 2cos2x = cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，
可得函数y = cosx+1 的图象；
然后向左平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到的图象对应的解析式为y = cos(x+1)，
再根据五点作图，可得y = cos(x+1) 的图象为A，
故选：A．
2
见解析
【解析】解：由题意A = 1，2π
ω = 2π，∴ω = 1，
将
(
π
3 ,1
)
代入f (x) = sin(x+φ)，可得sin
(
π
3 +φ
)
= 1，
∵|φ| < π
2 ，∴φ = π
6 ，
∴f (x) = sin
(
x+ π
6
)
．
3
D
【解析】因为函数f (x) 图象的一个对称中心为点
(
π
3 ,0
)
，所以可将
(
π
3 ,0
)
代入f (x) = sinx + λ cosx
得λ = −
√
3，所以g(x) = −
√
3sinxcosx + sin2x = 1
2 −sin
(
2x+ π
6
)
，结合各选项只有x = −π
3 代入后
g(x) 取得最值，所以选D．
22
4
B
【解析】解：设f (x) 的周期为T，由f (x1) = 1，f (x2) = 0，|x1 −x2|min = 1
2，得
T
4 = 1
2 ⇒T = 2 ⇒ω = 2π
2 = π，
由f
(
1
2
)
= 1
2，得sin
(
1
2π +ϕ
)
= 1
2，即cosϕ = 1
2，
又0 < ϕ < π
2 ，
∴ϕ = π
3 ，f (x) = sin
(
πx+ π
3
)
．
由−π
2 +2kπ ⩽πx+ π
3 ⩽π
2 +2kπ，
得−5
6 +2k ⩽x ⩽1
6 +2k，k ∈Z．
∴f (x) 的单调递增区间为
[
−5
6 +2k, 1
6 +2k
]
，k ∈Z．
故选：B．
