爱豆爱做题秋上-第4讲-有理数运算的高阶技巧_26初一网课_2026初一数学-朱韬-_初一数学培训班（秋上·全国版·S）-朱韬_6.视野拓展课——有理数运算的高阶技巧

4 有理数运算的高阶技巧
1、规律探究：
1 2−1 2 1 1
= = − =1− ，
1×2 1×2 1×2 1×2 2
1 3−2 3 2 1 1
= = − = − ，
2×3 2×3 2×3 2×3 2 3
1 4−3 4 3 1 1
= = − = − ，
3×4 3×4 3×4 3×4 3 4
⋯
1
(1) 猜想： = ．
2018×2019
1 1 1 1
(2) + + +⋯+ = ．
1×2 2×3 3×4 2020×2021
1 1 1 1
(3) + + +⋯+ = ．
1×3 3×5 5×7 2019×2021
1 1 1
2、计算：(1+1)×( +1)×( +1)×⋯×( +1)= ．
2 3 100
第 1 页1 1 1 1 1 1 1 1
3、计算：( −1)×( +1)×( −1)×( +1)×( −1)×( +1)×⋯×( −1)×( +1)．
2 2 3 3 4 4 2025 2025
4、计算：1+2+3+⋯+2000．
5、计算：(1) 1+21+22+23+⋯+22015（写出过程，结果用幂表示）．
(2) 1+31+32+33+⋯+32015 = （结果用幂表示）．
1 1 1
6、计算： 1+ + +⋯+ ．
3 32 32022
第 2 页参考答案
1 1 2020 1010
1 、【答案】 (1) − ;(2) ;(3) ;
2018 2019 2021 2021
1 2019−2018 2019 2018 1 1
【解析】 (1) = = − = − ．
2018×2019 2018×2019 2018×2019 2018×2019 2018 2019
1 1 1 1
(2) + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2020×2021
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2020 2021
1
=1−
2021
2020
= ．
2021
1 1 1 1
(3) + + +⋯+
1×3 3×5 5×7 2019×2021
1 1 1 1 1 1 1 1
= ×(1− + − + − +⋯+ − )
2 3 3 5 5 7 2019 2021
1 1
= ×(1− )
2 2021
1 2020
= ×
2 2021
1010
= ．
2021
2 、【答案】 101;
3 4 5 100 101
【解析】 原式 =2× × × ×⋯× × =101，
2 3 4 99 100
故答案为：101．
1013
3 、【答案】 ;
2025
1 3 2 4 3 5 2024 2026
【解析】 原式 =(− )× ×(− )× ×(− )× ×⋯×(− )×
2 2 3 3 4 4 2025 2025
1 3 2 4 3 5 2024 2026
= × × × × × ×⋯× ×
2 2 3 3 4 4 2025 2025
第 3 页1 2026
= ×
2 2025
1013
= ．
2025
4 、【答案】 2001000;
【解析】1+2+3+⋯+2000
2000
=(1+2000)×
2
=2001000．
5 、【答案】 (1) 22016−1;(2)
32016−1
;
2
【解析】 (1) 令𝑠 =1+21+22+23+⋯+22015①，
则2𝑠=2+22+23+24+⋯+22016②，
②−①得𝑠 =22016−1．
(2) 令𝑠 =1+31+32+33+⋯+32015①，
则3𝑠=3+32+32+34+⋯+32016②，
②−①得2𝑠 =32016−1，
32016−1
即𝑠 = ．
2
3 1 1
6 、【答案】 − × ;
2 2 32022
1 1 1
【解析】 设 𝑆 =1+ + +⋯+ ，
3 32 32022
1 1 1 1 1
则 𝑆 = + +⋯+ + ，
3 3 32 32022 32023
1 1
则 𝑆− 𝑆 =1− ，
3 32023
3 1 1
𝑆 = − × ．
2 2 32022
第 4 页