[讲义答案]第15讲期末复习1-ea30d8399fef_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
A
解析
，它的元素为
的根.当
时，无根．
当
时，
，得
，
(舍去)．
答 案
B
解析
解：
或
． 
①由
得
，解得
． 
当
时，
，满足
． 
②由
得
，解得
或， 
当
时，
，满足
， 
当
时，
，满足
． 
综上，若
，则
或
． 
故选：B．
答 案
C
解析
解：由于方程组
的解为
， 
故方程组
的解集用描述法可表示为
； 
模块1：集合与
：集合与简易逻辑综
逻辑综合
1  71%
2
1
例题1
A =
x ∈R∣ax + ax + 1 = 0
{
2
}
ax +
2
ax + 1 = 0
a = 0
a=0
/
a −
2
4a = 0
a = 4
a = 0
∵B ⊆A, ∴a −
2
2a = −1
a −
2
2a = 3
a −
2
2a = −1
a −
2
2a + 1 = 0
a = 1
a = 1
B = 1, −1
{
}
B ⊆A
a −
2
2a = 3
a −
2
2a −3 = 0
a = −1
3
a = −1
B = 1, 3
{
}
B ⊆A
a = 3
B = 1, 3
{
}
B ⊆A
B ⊆A
a = ±1
a = 3
例题2
{x + y = 3
x −y = 1
 
{x = 2
y = 1
{x + y = 3
x −y = 1
x, y
 
 
{(
)
∣∣∣∣∣
{x = 2
y = 1 }
方程组
的解集用列举法可表示为
； 
故选：C．
答 案
解析
①集合交集为两个集合的子集； ②集合与其补集的并等于全集； ③交的补集等于补集的并．
答 案
C
解析
解：对于A，命题：
，
，则
：
，
，满足
命题的否定关系，A正确； 
对于B，“
”是“
”的充分不必要条件，“
”
“
”，反
之，不成立，B正确； 
对于C，若命题
为假命题，则，至少有一个是假命题，C不正确； 
对于D，命题“若
，则
”的逆否命题为：“若
，则
”，
满足逆否命题的形式，D正确． 
故选：C．
答 案
解析
解：对于
中的对应，当在集合
中任取一个值时， 
在集合
中都有唯一确定的一个值
与之对应，故是映射． 
对于
中的对应，当在集合
中任取一个值时， 
在集合
中都有唯一确定的一个值
与之对应，故是映射． 
对于
中的对应，当在集合
中任取一个值时， 
在集合
中都有唯一确定的一个值
与之对应，故是映射， 
1
1
模块2：函数
：函数综合
1
{x + y = 3
x −y = 1
2, 1
{(
)}
例题3
A C
 A
U
C
 A
U
C
 B
U
例题4
p
∀x ∈R
x +
2
x + 1 > 0
¬p
∃x
 ∈
0
R
x
 +
0
2
x
 +
0
1 ⩽0
x = 1
x −
2
3x + 2 = 0
x = 1 ⇒x −
2
3x + 2 = 0
p ∧q
p
q
x −
2
3x + 2 = 0
x = 1
x=
 1
/
x −
2
3x + 2=
 0
/
例题5
(1)(3)
(1)
x
A =
0 ⩽x ⩽4
{
}
x
B =
y∣0 ⩽y ⩽2
{
}
 2
x
(3)
x
A =
0 ⩽x ⩽4
{
}
x
B =
y∣0 ⩽y ⩽2
{
}
 x
(4)
x
A =
0 ⩽x ⩽4
{
}
x
B =
y∣0 ⩽y ⩽2
{
}
x −2
∣
∣
其中，
中的对应由于集合
中的元素和，在集合
中都是元素和它对应， 
故不是一一映射， 
而
中，因为集合
中的元素在集合
中没有元素和它对应， 
故它不是映射．故答案为
．
答 案
B
解析
解：
的定义域为
． 
令
，则
， 
． 
答 案
见解析
解析
，
，
，画出
的图象，观察得当
时，在
处取得最小值，且
上单调递增，则函数
的值域为
，从而得到
的值域为
．
答 案
见解析
解析
解：方法一：因为
，而
， 
所以
，所以
． 
方法二：由
，得
， 
因为当
时，不存在，所以
， 
又因为
，所以必须满足
，所以
， 因为
，所以此函数的值域为
．
考法：0
1  62%
2
3
(4)
A
0
4
B
2
(2)
A
0
B
(1)(3)
例题6
f x =
( )
2x +
 
2 −x
(−∞, 2]
t =
 t ⩾0
2 −x (
)
x = 2 −t2
∴y = 2 2 −t
+
(
2)
t = −2t +
2
t + 4 = −2 t −
 
+
(
4
1 )
2
 +
8
1
4 ⩽
 t ⩾0
8
33 (
)
f x =
( )
x +
 =
x + 1
1
x + 1 +
 −
x + 1
1
1
t = x + 1 ∈2, 3
(
]
∴y = t +
 −
t
1
1
y = t +
 t
1
t > 0
t = 1
t ∈2, 3
(
]
y = t +
 t
1
 ,
 
( 2
5
3
10 ]
f x
( )
 ,
 
( 2
3
3
7 ]
y = 1 −
 
x −x + 1
2
1
x −
2
x + 1 =
x −
 
+
(
2
1 )
2
 ⩾
4
3
 4
3
0 <
 ⩽
x −x + 1
2
1
 3
4
−
 ⩽
3
1
y < 1
y =
 
x −x + 1
2
x −x
2
y −1 x +
(
)
2
1 −y x +
(
)
y = 0
y = 1
x
y=
 1
/
x ∈R
Δ = 1 −y
−
(
)2
4y y −1 ⩾
(
)
0
−
 ⩽
3
1
y ⩽1
y=
 1
/
−
 , 1
[
3
1
)
答 案
D
解析
解：要使函数有意义，则
，即
， 
，解得
． 
故选：D．
答 案
D
解析
函数
的值域为
， 则
的值域能取到
， ①当
时，
，值域为
，包括了
， ②要使
能取
，则
的最小值小于等于， 则
， 解得：
或
． 综上可得实数
的取值范围是
，故选：D．
答 案
解析
解：函数
的定义域是
， 
要使函数
有意义，则
， 
解得：
． 
函数
的定义域为
． 
故答案为：
．
1
2  56%
1
1  87%
例题7
2
−
x +ax+1
2
1 ⩾0
x +
2
ax + 1 ⩾0
∴Δ = a −
2
4 ⩽0
−2 ⩽a ⩽2
f x =
( )
 
 
mx + 2 m −2 x + 1
2
(
)
1
(0, +∞)
g x =
( )
mx +
2
2 m −2 x +
(
)
1
(0, +∞)
m = 0
g x =
( )
−4x + 1
R
(0, +∞)
f(x)
(0, +∞)
g(x)
0
{m > 0
 =
 ⩽0
4a
4ac−b2
4m
4m−4(m−2)2
0 < m ⩽1
m ⩾4
m
{m 0 ⩽m ⩽1或m ⩾4}
∣
例题8
 , 1
( 4
3
)
∵
y = f x
( )
0, 2
[
]
∴
g x =
( )
 
 
log
 4x −3
0.5 (
)
f 2x
(
)
 
{0 ⩽2x ⩽2
log
 4x −3 > 0
0.5 (
)
 <
4
3
x < 1
∴
g x =
( )
 
 
log
 4x −3
0.5 (
)
f 2x
(
)
 , 1
( 4
3
)
 , 1
( 4
3
)
例题9
答 案
C
解析
由
得：
， 
故
； 
由
得：
； 
故
，选C．
答 案
B
解析
解：因为
，且
， 
所以根据指数函数
的图象可知
； 
由于
，根据对数函数
的图象可知， 
当真数小于时，函数值小于，即
； 
由对数函数的定义知，底数与真数相等时，函数值为， 
当真数小于底数时，函数的值小于， 
由于
，所以
， 
综上所述，
，故选B．
答 案
解析
，又函数
和函数
在
上均单调递增，函数
在
上单调递增，当
时，
恒成立，即
，
．
答 案
2
1
2
log
 5 =
2
a
a + 1 = log
 5 +
2
log
 2 =
2
log
 10
2
lg 2 =
 =
log
 10
2
1
 
a + 1
1
log
 9 =
8
b
b = log
 3 =
23
2
 log
 3 =
3
2
2
 
 
3
2
lg 2
lg 3
lg 3 =
 lg 2 =
2
3b
 
2 a + 1
(
)
3b
 >
2
3
1
0.1 > 0
y =
 
( 2
3 )
x
a > 1
sin2 < 1
y = lg x
1
0
b < 0
1
1
3 > 2
0 < c < 1
a > c > b
例题10
−
 , +∞
[
16
13
)
∵2 +
x
3 +
x
a ⋅4 >
x
0 ⇒a > −
 
−
( 2
1 )
x
 
( 4
3 )
x
∵
y = −
 
( 2
1 )
x
y = −
 
( 4
3 )
x
R
∴
f x =
( )
−
 
−
( 2
1 )
x
 
( 4
3 )
x
R
∴
x ∈1, 2
(
)
f x <
( )
f 2
( )
f x <
( )
−
 
16
13
∴a ⩾−
 
16
13
 ,
 ∪
[2
1
8
5 ]
 , +∞
[2
3
)
解析
解：关于的不等式
在
上恒成立， 
当
时，
在
上恒成立， 
即为
在
上恒成立， 
由
， 
可得
时，取得最大值
， 
即
； 
当
时，
在
上恒成立， 
即为
在
上恒成立， 
显然当
时，
， 
由
且
， 
解得
， 
可得
， 
综上可得实数
的取值范围是
， 
故答案为：
．
答 案
C
解析
解：函数
，可得
是非奇非偶函数；排除A； 
当
时，
，
，图象在轴的上方；排除B； 
当
时，
， 
图象向轴靠近； 
故选：C．
答 案
C
解析
解：由题意，
，所以该函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D； 
当
时，
是单调递减函数，排除A． 
故选：C．
1
2
x
log
 
mx −x +
 
⩾
m (
2
2
1 )
0
1, 2
[
]
m > 1
mx −
2
x +
 ⩾
2
1
1
1, 2
[
]
m ⩾
 
2x2
2x + 1
1, 2
[
]
 
 +
 + 1
−
2
1 ( x2
1
x
2
)
 =
2
1
 
 + 1
−
2
1 ( x
1
)
2
 2
1
x = 1
 2
3
m ⩾
 2
3
0 < m < 1
0 < mx −
2
x +
 ⩽
2
1
1
1, 2
[
]
m ⩾
 =
2x2
2x −1
−
 −1
+
2
1 ( x
1
)
2
 2
1
1, 2
[
]
x = 1
m ⩾
 2
1
m −1 +
 ⩽
2
1
1
4m −2 +
 ⩽
2
1
1
m ⩽
 8
5
 ⩽
2
1
m ⩽
 8
5
m
 ,
 ∪
[2
1
8
5 ]
 , +∞
[2
3
)
 ,
 ∪
[2
1
8
5 ]
 , +∞
[2
3
)
例题11
f x =
( )
 
5x
x3
f x
( )
x > 0
5 >
x
0
x >
3
0
x
x →+∞
5 >
x
x3
∴
x
f −x =
(
)
−f x
( )
x > 0
f x =
( )
log
 x 0 < a < 1
a (
)
答 案
B
解析
解：
满足对任意的实数，都有
，且
， 
， 
， 
． 
故选：B．
答 案
解析
解：由图象可知
的周期为
， 
，解得
． 
由图象可知
，即
， 
． 
，
． 
又
， 
． 
故答案为：，
．
答 案
A
解析
解：函数
， 
化简可得
．其中
，
． 
1
模块3：三角函数
：三角函数综合
1
2
例题12
∵f x
( )
a
b
f a + b =
(
)
f a ⋅
( ) f b
( )
f 1 =
( )
2
∴f a + 1 =
(
)
f a ⋅
( ) f 1 =
( )
2f a
( )
∴
 =
f a
( )
f a + 1
(
)
2
∴
 +
f 1
( )
f 2
( )
 +
f 3
( )
f 4
( )
 +
f 5
( )
f 6
( )
⋯+
 =
f 2017
(
)
f 2018
(
)
2 × 1009 = 2018
例题13
2 −
 3
π
f x
( )
T =
 −
6
7π
 =
6
π
π
∴
 =
ω
2π
π
ω = 2
f
 
=
( 12
5π )
1
 =
sin
 + φ
( 6
5π
)
1
1
∴
 +
6
5π
φ =
 +
2
π
2kπ, k ∈Z
∴φ = −
 +
3
π
2kπ
k ∈Z
φ <
∣∣
 2
π
∴φ = −
 3
π
2
−
 3
π
f x =
( )
2 sin 2x +
 
+
(
4
π )
2cos
x +
 
−
2 (
8
π )
1
f x =
( )
2 sin 2x +
 
+
(
4
π )
cos 2x +
 
=
(
4
π )
 sin 2x +
 + φ
5
(
4
π
)
sinφ =
 
5
 5
cos φ =
 
5
2
 5
[ (
)
]
图象向右平移
个单位得到
． 
的周期
， 
，
是
在
内的两根， 
那么：
． 
故选：A．
答 案
C
解析
，
或
，三角形是等腰三角形或直角三角形．
答 案
解析
解：在
中，
， 
由正弦定理可得
， 
， 
， 
， 
， 
， 
解得
，
， 
，
， 
由余弦定理可得：
， 
可得：
， 
的面积
． 
故答案为：
．
1  64%
2
 8
π
g x =
( )
sin 2 x −
 
+
 + φ =
5
[ (
8
π )
4
π
]
 sin 2x + φ
5
(
)
∴g x
( )
T =
 =
2
2π
π
∵x
 1
x
 2
g x −
( )
m = 0
0,
 
[
2
π ]
sin x
 + x
 =
(
1
2)
sin
 −φ
=
( 2
π
)
cos φ =
 
5
2
 5
例题14
a tanB =
2
b tanA
2
⇔
 =
cos B
sin A sinB
2
 
cos A
sin B sinA
2
⇔sin2A = sin2B
∴A = B
A + B =
 2
π
 
4
9
 3
∵
△ABC
b tanB + b tanA = −2ctanB
∴
sinB tanA + tanB =
(
)
−2 sinC tanB
∴sinB tanA + tanB =
(
)
−2 sinC ⋅
 
cos B
sinB
∴cos B tanA + tanB =
(
)
−2 sinC
∴cos B
 +
 
=
( cos A
sinA
cos B
sinB )
−2 sinC
∴cos B ⋅
 =
cos A cos B
sinA cos B + cos A sinB
−2 sinC
∴cos B ⋅
 =
cos A cos B
sin A + B
(
)
 =
cos A
sinC
−2 sinC
cos A = −
 2
1
A =
 
3
2π
∵a = 8
b + c =
 
73
64 = b +
2
c +
2
bc = b + c
−
(
)2
bc = 73 −bc
∴
bc = 9
∵△ABC
S =
 bcsinA =
2
1
 ×
2
1
9 ×
 =
2
 3
 
4
9
 3
 
4
9
 3
例题15
答 案
见解析
解析
解：在
中，
， 
由余弦定理可得：
， 
由正弦定理可得
，即
， 
，
． 
． 
又
，
．
答 案
见解析
解析
解：在
中，
，
， 
由正弦定理可得
， 
， 
又
， 
， 
， 
． 
即
的取值范围是
．
1
2
△ACD
∠CAD =
 −
3
2π
 =
2
π
 6
π
CD =
 =
AD + AC −2AD ⋅AC ⋅cos ∠CAD
2
2
 
2
 7
 =
sinC
AD
 
sin∠CAD
CD
 =
sinC
 
2
 3
 
 2
1
 
2
 7
∴sinC =
 
14
 
21
cos C =
 
14
5
 7
∴sinB = sin
 −C
=
( 3
π
)
 cos C −
2
 3
 sinC =
2
1
 
7
 
21
sinB =
 
BD
AD
∴BD =
 =
sinB
AD
 
2
 7
△ACD
∠C =
 −
3
π
B
∠CAD =
 6
π
 =
sinC
AD
 
sin∠CAD
CD
∴
 =
DC
DA
 =
sin∠CAD
sin
 −B
( 3
π
)
2 sin
 −B
=
( 3
π
)
 cos B −
3
sinB
 =
DB
DA
sinB
∴
 +
DB
DA
 =
DC
DA
 cos B
3
∵0 < B <
 3
π
∴
 <
2
 3
 cos B <
3
 3
 +
DB
DA
 
DC
DA
 ,
 
( 2
 3
3)