[讲义答案]第12讲解三角形综合-60fe9e204b00_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
C
解析
解：
中，
，
， 
作出
的示意图，如图所示， 
可得点
到直线
的最短距离为
， 
以
为圆心，
长为半径画弧， 
则当圆弧与射线
有且只有一个公共点时，满足条件的
只有一个， 
当圆弧半径
时，圆弧与射线
相切，有唯一公共点； 
当圆弧半径
时，圆弧与直线
相交有两个交点，但只有一个交点在射线
上， 
当
或
时，满足条件的
只有一个，即
或
， 
故选：C． 
答 案
C
解析
解：由三角形正弦定理
可知
， 
， 
无解，所以三角形无解，故选C．
模块1：三角形形状的判断
：三角形形状的判断
1
2
1  77%
例题1
∵△ABC
A = 60∘
b = 4
 3
∴
△ABC
C
AB
4
 sin60 =
3
∘
6
C
CB
AB
△ABC
∵
R = 6
AB
R ⩾4
 3
AB
AB
∴
BC = 6
BC ⩾4
 3
△ABC
a ⩾4
 3
a = 6
 =
sinB
b
 
sinC
c
 =
sinB
40
 
sin60∘
20
∴sinB =
 3
∴B
例题2
答 案
A
解析
设
、
、
，则
， 
， 
，
， 
， 
， 
，角
为锐角． 
，
，
，
，角
、
也为锐角． 
综上，
为锐角三角形．
答 案
B
解析
解：钝角三角形的三边分别是，
，
，其最大角不超过
， 
，解得
，故选B． 
答 案
等边三角形
解析
解：由正弦定理化简
，得到
， 
又
，即
， 
，即
， 
，即
， 
，即
， 
， 
则
为等边三角形． 
故答案为：等边三角形．
答 案
等腰三角形或直角三角形
2
1
2
p =
 >
a
0
q =
 >
b
0
r =
 >
c
0
p +
4
q =
4
r4
∴
 
+
(r
p)
4
 
=
(r
q )
4
1
∴0 <
 <
r
p
1
0 <
 <
r
q
1
∴1 =
 
+
(r
p)
4
 
<
(r
q )
4
 
+
(r
p)
2
 
(r
q )
2
∴p +
2
q >
2
r2
∴cos C =
 >
2pq
p + q −r
2
2
2
0
∴
C
∵p < r
q < r
∴A < C
B < C
∴
A
B
△ABC
∵
a
a + 1
a + 2
120∘
∴
 
{
a + a + 1 > a + 2
(
)
0 >
 ⩾−
 
2a⋅a+1
(
)
a + a+1
−a+2
2
(
)2
(
)2
2
1
 ⩽
2
3
a < 3
例题3
sin A =
2
sinB sinC
a =
2
bc
2a = b + c
a =
 
2
b + c
∴a =
2
 =
4
b + c
(
)2
bc
b + c
=
(
)2
4bc
∴b −c
=
(
)2
0
b = c
∴2a = b + c = b + b = 2b
a = b
∴a = b = c
△ABC
解析
， 
， 故
，整理
得： 
，由正弦定理，
， 于是
，即
，所以
，或者
， 所以
为等腰三角形或直角三
角形．
答 案
D
解析
解：
 
 
． 
由已知，得
． 
即
； 
而
，由
，可得， 
． 
整理得
 
， 
故
，
是等边三角形，选D．
答 案
A
解析
由
得
，根据余弦定理变形公式，
，故
，故选A．
考法：0
1
2
模块2：三角形面
：三角形面积的计算
(a +
2
b ) sin(A −
2
B) = (a +
2
b )(sinA cos B −
2
sinB cos A)
(a −
2
b ) sin(A +
2
B) = (a −
2
b )(sinA cos B +
2
sinB cos A)
(a +
2
b )(sinA cos B −
2
sinB cos A) = (a −
2
b )(sinA cos B +
2
sinB cos A)
a sinB cos A =
2
b sinA cos B
2
sin A sinB cos A =
2
sin B sinA cos B
2
sinA cos A = sinB cos B
sin2A = sin2B
2A = 2B
2A + 2B = π
△ABC
例题4
cot A + cot B + cot C =
 +
sinA
cos A
 +
sinB
cos B
 
sinC
cos C
=
 +
2bcsinA
b + c −a
2
2
2
 +
2ca sinB
c + a −b
2
2
2
 
2ab sinC
a + b −c
2
2
2
=
 2bcsinA = 2acsinB = 2ab sinC
2bcsinA
a + b + c
2
2
2
(
)
 =
2bcsinA
a + b + c
2
2
2
 3
sinA =
 
2
 bc
3
a + b + c
2
2
2
cos A =
 
2bc
b + c −a
2
2
2
sin A +
2
cos A =
2
1
 
+
(
2
 bc
3
a + b + c
2
2
2
)
2
 
=
(
2bc
b + c −a
2
2
2
)
2
1
a +
4
b +
4
c −
4
a b −
2 2
b c −
2 2
c a
2
2
=
 
a −b
+ b −c
+ c −a
=
2
1 [( 2
2)
2
( 2
2)
2
( 2
2)
2]
0
a = b = c
△ABC
 +
a + c
b
 ⩾
a + b
c
1
b +
2
c ⩾
2
a +
2
bc
cos A =
 ⩾
2bc
b + c −a
2
2
2
 2
1
∠A ∈
0,
 
(
3
π ]
答 案
C
解析
解：
的内角
，
，
的对边分别为，，． 
的面积为
， 
， 
， 
，
． 
故选：C．
答 案
解析
解：
，
， 
，
，
， 
， 
， 
，
， 
．
答 案
解析
，故
，即
，
，故
，
，
1  79%
2
1
例题5
∵△ABC
A
B
C
a
b
c
△ABC
 
4
a + b −c
2
2
2
∴S
 =
△ABC
 ab sinC =
2
1
 
4
a + b −c
2
2
2
∴sinC =
 =
2ab
a + b −c
2
2
2
cos C
∵0 < C < π
∴C =
 4
π
 
2
21
∵tan A + B =
(
)
7
∴tanC = −tan A + B =
(
)
−7
∵sin C +
2
cos C =
2
1
∴sinC =
 
5
 2
7
cos C = −
 
5
 2
1
∵A =
 4
π
∴sinB = sin A + C =
(
)
sinA cos C + cos A sinC =
 ×
2
 2
−
 
+
(
5
 2
1
)
 ×
2
 2
5
2
7
∵
 =
sinA
a
 
sinB
b
∴a =
 =
sinB
b sinA
 =
 5
3
3
 sin
 
2
4
π
5
∴S
 =
△ABC
 ab sinC =
2
1
 ×
2
1
5 × 3
 ×
2
 =
5
 2
7
 
2
21
例题6
 
4
3
 3
 =
tanB
tanA
 =
sinB cos A
sinA cos B
 =
b cos A
a cos B
 
b
2c −b
a cos B = 2ccos A −b cos A
2ccos A = a cos B + b cos A = c
cos A =
 2
1
A =
 3
π
a = 2R sinA =
 3
，
，
面积的最
大值为
，
取到．
答 案
C
解析
解：根据正弦定理可得
， 
，
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，可得：
， 
(当且仅当
时，等号成立)， 
，解得
， 
． 
故选：C．
答 案
解析
解：
 
 
 
． 
令
，
，解得
，
． 
2
1
3 = a =
2
b +
2
c −
2
bc ⩾bc
S
 =
△ABC
 bcsinA =
2
1
 bc ⩽
4
 3
 
4
3
 3
△ABC
 
4
3
 3
a = b = c =
 3
 =
sinB
b
 =
sinC
c
 =
sinA
a
 
 
2
 3
a
∴sinB =
 
2a
 b
3
sinC =
 
2a
 c
3
∵2b sinB + 2csinC = bc +
 a
3
∴
 +
a
 b
3 2
 =
a
 c
3 2
bc +
 a
3
∴b +
2
c =
2
 abc +
3
 3
a2
∴b +
2
c −
2
a =
2
 abc
3
 3
 =
2bc
b + c −a
2
2
2
 =
6
 a
3
cos A =
 2
1
∴a =
 3
∴3 = b +
2
c −
2
bc
b +
2
c =
2
3 + bc
∵b +
2
c ⩾
2
2bc
b = c
∴2bc ⩽3 + bc
bc ⩽3
∴S
 =
△ABC
 bcsinA =
2
1
 bc ⩽
4
 3
 
4
3
 3
例题7
 
5
6π
f x =
( )
 −
2
1
 cos 2ωx −
2
1
 −
 cos 2ωx −
 
[2
1
2
1
(
3
π )]
=
 cos 2ωx −
 
−
2
1
(
3
π )
 cos 2ωx
2
1
= −
 cos 2ωx +
4
1
 sin2ωx
4
 3
=
 sin 2ωx −
 
2
1
(
6
π )
2ωx −
 =
6
π
 +
2
π
kπ
k ∈Z
x =
 +
3ω
π
 
2ω
kπ
k ∈Z
的对称轴为直线
，
， 
令
，
，解得
，
． 
， 
当
时，
． 
． 
的最小正周期
．
答 案
解析
解：
， 
． 
． 
由余弦定理得
． 
， 
． 
． 
面积的最大值是
．
答 案
．
解析
解：在
中，
，
，
， 
由正弦定理得到
， 
解得
， 
2
模块3：解三角形在平面几何中的
：解三角形在平面几何中的应用
1
∴f x
( )
x =
 +
3ω
π
 
2ω
kπ
k ∈Z
 +
3ω
π
 =
2ω
kπ
π
k ∈Z
ω =
 
6
2 + 3k
k ∈Z
∵
 <
2
1
w < 1
∴
k = 1
ω =
 6
5
∴f x =
( )
 sin
 x −
 
2
1
( 3
5
6
π )
∴f x
( )
T =
 =
 3
5
2π
 
5
6π
 
4
 3
∵f
 A
=
( 5
3
)
 sin A −
 
=
2
1
(
6
π )
 4
1
∴sin A −
 
=
(
6
π )
 2
1
∴A =
 3
π
cos A =
 =
2bc
b + c −a
2
2
2
 =
2bc
b + c −1
2
2
 2
1
∴b +
2
c =
2
bc + 1 ⩾2bc
∴bc ⩽1
∴S
 =
△ABC
 bcsinA =
2
1
 bc ⩽
4
 3
 
4
 3
∴△ABC
 
4
 3
例题8
∠A =
 6
π
△BCD
B = 45∘
BC = 2
DC =
 
3
2
 6
 =
sin∠BDC
BC
 
sinB
CD
sin∠BDC =
 =
 
3
2
 6
2 ×
 
2
 2
 
2
 3
2
则
或
， 
又
为锐角三角形， 
． 
又由
，得
．
答 案
．
解析
解：由正弦定理得 
，即
， 
，
， 
是锐角三角形， 
， 
， 
．
答 案
见解析
解析
解：在
中，
，
，
， 
由余弦定理可得
， 
， 
．
答 案
见解析
解析
解：
是
的角平分线， 
， 
2
1
2
∠BDC =
 3
π
 
3
2π
△BCD
∴∠BDC =
 3
π
DA = DC
∠A =
 6
π
 <
2
 2
 <
DB
AD
1
 =
sinB
CD
 
sin∠BCD
BD
 =
BD
CD
 
sin∠BCD
sinB
∵AD = DC
∴
 =
BD
AD
 =
BD
CD
 
sin∠BCD
sinB
∵△BCD
∴45 <
∘
∠BCD < 90∘
∴
 <
2
 2
sin∠BCD < 1
∴
 <
2
 2
 <
DB
AD
1
例题9
∵
△ABC
AB = 4
BC = 5
AC = 7
∴
cos B =
 =
2BC ⋅AB
BC + AB −AC
2
2
2
 =
2 × 4 × 5
4 + 5 −7
2
2
2
−
 5
1
∵∠B + ∠D = π
∴cos D = cos π −B =
(
)
−cos B =
 5
1
∵AC
∠DAB
∴∠DAC = ∠BAC
A
由正弦定理，在
中，有
，在
中，有
， 
，且
， 
， 
． 
答 案
见解析
解析
解：由于四边形
为圆内接四边形， 
， 
由题设知
， 
， 
在
中由余弦定理得： 
， 
， 
由正弦定理得：
，可得：
， 
圆的面积
．
答 案
见解析
解析
解法一：设
，那么
， 
在
中由正弦定理得：
， 
，
， 
四边形
的周长
， 
由于
， 
， 
，即
时，四边形
的周长取得最大值
． 
解法二： 
设
，
，在
中由余弦定理得：
， 
1
2
∴
△ABC
 =
sin∠BAC
BC
 
sinB
AC
△ADC
 =
sin∠DAC
DC
 
sinD
AC
∵sin∠BAC = sin∠DAC
sinB = sin π −D =
(
)
sinD
∴DC = BC
∴DC = 5
例题10
ABCD
∴∠BCD + ∠BAD = 180∘
∠BCD = 120∘
∴∠BAD = 60∘
△ABD
BD =
2
AB +
2
AD −
2
2AB ⋅AD ⋅cos 60 =
∘
3 +
2
2 −
2
2 × 3 × 2 ×
 =
2
1
7
∴BD =
 7
2R =
 =
sin60∘
BD
 
 
2
 3
 7
R =
 
 3
 7
∴
S = πR =
2
 
3
7π
∠CBD = θ
0 <
∘
θ < 60∘
△BCD
 =
sin∠BDC
BC
 =
sinθ
CD
 
sin120∘
BD
∴BC =
 ⋅
 
2
 3
 7
sin∠BDC =
 sin 120 + θ
 
2
 3
 7
(
∘
)
CD =
 sinθ
 3
2
 7
∴
ABCD
= 5 +
 sin 120 + θ +
 
2
 3
 7
(
∘
)
 sinθ =
 
2
 3
 7
5 +
 sin 60 + θ
 3
2
 7
(
∘
)
0 <
∘
θ < 60∘
∴60 <
∘
θ + 60 <
∘
120∘
∴θ + 60 =
∘
90∘
θ = 30∘
ABCD
5 +
 
3
2
 
21
BC = x
CD = y
△BCD
BD =
2
x +
2
y −
2
2xy ⋅cos 120∘
， 
， 
， 
， 
， 
四边形
的周长
， 
当且仅当
时上式取等号， 
四边形
的周长最大值为
．
答 案
解析
解：方法一： 
如图所示，延长
，
交于点
，则 
在
中，
，
，
， 
设
，
，
，
， 
， 
， 
， 
， 
而
， 
的取值范围是
． 
故答案为：
 
 
方法二： 
如下图，作出底边
的等腰三角形
，
， 
倾斜角为
的直线在平面内移动，分别交
、
于
、
，则四边形
即为满足题意
1
∴x +
2
y +
2
xy = 7
∴x + y
=
(
)2
7 + xy
∵xy ⩽
 
(
2
x + y )
2
∴
 x + y
⩽
4
3 (
)2
7
∴x + y ⩽
 
3
2
 
21
∴
ABCD
= 5 + x + y ⩽5 +
 
3
2
 
21
x = y =
 
3
 
21
∴
ABCD
5 +
 
3
2
 
21
例题11
 −
 ,
 +
 
(
6
2
6
2)
BA
CD
E
△ADE
∠DAE = 105∘
∠ADE = 45∘
∠E = 30∘
∴
AD =
 x
2
1
AE =
 x
2
 2
DE =
 x
4
 +
 
6
2
CD = m
∵BC = 2
∴
 x + m
sin15 =
(
4
 +
 
6
2
)
∘
1
∴
 x +
4
 +
 
6
2
m =
 +
6
 2
∴0 < x < 4
AB =
 x +
4
 +
 
6
2
m −
 x =
2
 2
 +
6
 −
2
x
2
2
∴AB
 −
 ,
 +
 
(
6
2
6
2)
 −
 ,
 +
 
(
6
2
6
2)
BC = 2
EBC
∠B = ∠C = 75∘
150∘
EB
EC
A
D
ABCD
的四边形； 
当直线移动时，运用极限思想， 
①直线接近点
时，
趋近最小，为
； 
②直线接近点
时，
趋近最大值，为
； 
故答案为：
． 
答 案
见解析
解析
解：
 
 
 
 
． 
令
，
， 
函数
的单调增区间
，
．
答 案
见解析
解析
模块4：解三角形与三角函数
：解三角形与三角函数综合
1
2
C
AB
 −
6
 2
E
AB
 +
6
 2
 −
 ,
 +
 
(
6
2
6
2)
例题12
f x =
( )
2 sin x +
 
sin x +
 
−
(
2
π )
(
3
π )
sin
 3
π
= 2 cos x
 sinx +
 cos x
−
(2
1
2
 3
)
 
2
 3
= sinx cos x +
 cos x −
3
2
 
2
 3
=
 sin2x +
2
1
 cos 2x
2
 3
= sin 2x +
 
(
3
π )
−
 +
2
π
2kπ ⩽2x +
 ⩽
3
π
 +
2
π
2kπ ⇒−
 +
12
5π
kπ ⩽x ⩽
 +
12
π
kπ
k ∈Z
∴
f x
( )
x ∈−
 + kπ,
 + kπ
[
12
5π
12
π
]
k ∈Z
解：由题意可知
， 
在锐角
中，
． 
于是：由锐角
知
 
， 
故
． 
的取值范围是
．
答 案
见解析
解析
解：由题意，知
，
，
， 
．
答 案
见解析
解析
为等边三角形， 
，
， 
．
1
2
1 = f
 
=
( 2
B )
sin B +
 
(
3
π )
△ABC
B +
 =
3
π
 ⇒
2
π
B =
 6
π
△ABC
 
{0 < A <
 2
π
0 < C = π −A −B <
 2
π
⇒
 <
3
π
A <
 ⇒
2
π
π < 2A +
 <
3
π
 
3
4π
−
 <
2
 3
sin 2A +
 
<
(
3
π )
0
∴f A
( )
−
 , 0
(
2
 3
)
例题13
cos θ =
 5
3
sinθ =
 5
4
tanθ =
 3
4
∴tan2θ =
 = −
1 −
 
9
16
2 ×
 3
4
 
7
24
∵△AOB
∴cos θ + 60
=
(
∘)
 
10
3 −4
 3
sin θ + 60
=
(
∘)
 
10
4 + 3
 3
∴B
 ,
 
(
10
3 −4
 3
10
4 + 3
 3 )