[讲义答案]第2讲函数最值-09ab243a5752_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
见解析
解析
解：当
时，
． 
结合函数
的图象(如图1)可得，
，
，
，
， 
所以函数在区间
上最大值为
，最小值为． 
答 案
，
解析
模块1：函数的最
：函数的最值
1
模块2：运用函数
：运用函数单调
单调性求解函数最
性求解函数最值
1
例题1
a = 2
f x =
( )
x +
2
3x x −a =
∣
∣
 
{4x −6x, x ⩾2
2
−2x + 6x, x < 2
2
f x
( )
f 1 =
( )
4
f 2 =
( )
4
f 3 =
( )
18
f
 
=
( 2
3 )
 2
9
1, 3
[
]
18
4
例题2
f −1 =
(
)
−k
f
 
=
( 2
5 )
−
 
4k
3
( )
依题设，
，
．
答 案
见解析
解析
当
时，
，
； 
当
时，
， 
； 
当
时，
，
， 
． 
所以
在
上的表达式是
， 
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
答 案
见解析
解析
由
可知，
， 
． 
①若
，则
，
，则
，
； 
②若
，则
，
，则
，
； 
③若
，则
，
，则
，
．
答 案
1 0
解析
2
3
1
f −1 =
(
)
kf 1 =
( )
−k
f
 
=
( 2
5 )
 =
k
f
 
( 2
1)
−
 
4k
3
2 ⩽x ⩽3
0 ⩽x −2 ⩽1
f x =
( )
 =
k
f x −2
(
)
 
k
x −2
x −4
(
) (
)
−2 ⩽x ⩽0
0 ⩽x + 2 ⩽2
f x =
( )
kf x + 2 =
(
)
kx x + 2
(
)
−3 ⩽x ⩽−2
−1 ⩽x + 2 ⩽0
1 ⩽x + 4 ⩽2
f x =
( )
kf x + 2 =
(
)
k f x + 4 =
2
(
)
k
x + 2
x + 4
2 (
) (
)
f x
( )
−3, 3
[
]
f x =
( )
 
 
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧k
x + 2
x + 4 , −3 ⩽x < −2
2 (
) (
)
kx x + 2 , −2 ⩽x < 0
(
)
x x −2 , 0 ⩽x < 2
(
)
 , 2 ⩽x ⩽3
k
x−2
x−4
(
)(
)
f x
( )
−3, −1
[
)
−1, 1
[
)
1, 3
[
]
2
( )
f x
 =
( )min
min f −3 , f 1
=
{ (
)
( )}
min −k , −1
{
2
}
f x
 =
( )max
max f −1 , f 3
=
{ (
)
( )}
max
−k, −
 
{
k
1 }
−1 < k < 0
−1 < −k2
−
 >
k
1
−k
f x
 =
( )min
f 1 =
( )
−1
f x
 =
( )max
f 3 =
( )
−
 k
1
k = −1
−1 = −k2
−
 =
k
1
−k
f x
 =
( )min
f −3 =
(
)
f 1 =
( )
−1
f x
 =
( )max
f 3 =
( )
f −1 =
(
)
−
 =
k
1
1
k < −1
−k <
2
−1
−k > −
 k
1
f x
 =
( )min
f −3 =
(
)
−k2
f x
 =
( )max
f −1 =
(
)
−k
例题3
， 令
，
，对
称轴：
， 
，
，此时
， 无最小值．
答 案
见解析
解析
解：要使函数
的解析式有意义， 
则
， 
解得
， 
故函数
的定义域为
．
答 案
见解析
解析
解：令
，
， 
则
， 
 
 
 
， 
又函数
的图象是开口朝上， 
且以直线
为对称轴的抛物线， 
故函数
在
上单调递增， 
故当
时，
取最小值
， 
当
时，
取最大值
．
答 案
-3
1
2
模块3：分式函数最
：分式函数最值求解
求解问题
问题
1
f x =
( )
2
−
x+2
3 × 4 =
x
−3 × 4 +
x
4 ⋅2x
2 =
x
t t ⩾1
(
)
g t =
( )
−3t +
2
4t
t =
 <
3
2
1
∴g t
 =
( )max
g 1 =
( )
1
∴f x
 =
( )max
1
x = 0
例题4
g x
( )
{x ∈1, 16
[
]
x ∈1, 16
2
[
]
x ∈1, 4
[
]
g x
( )
1, 4
[
]
t = log
 x
2
x ∈1, 4
[
]
t ∈0, 2
[
]
y = g x =
( )
f x
+
[ ( )]2
2f x
(
2)
= 3 + log
 x
+
(
2 )2
2 3 + log
 x
(
2
2)
= log
 x + 5
−
(
2
)2
10
= t + 5
−
(
)2
10
y = t + 5
−
(
)2
10
t = −5
y = t + 5
−
(
)2
10
0, 2
[
]
t = 0
y = g x
( )
15
t = 2
y = g x
( )
39
例题5
解析
解：
， 
，
， 
上式当且仅当
，即
时“
”成立． 
所以
． 
所以原函数的最小值为
．
答 案
解析
解：函数
的定义域为
， 
则当
时，
， 
当
时， 
， 
令
，则
， 
，
， 
， 
， 
， 
综上所述
的最大值为
．
答 案
最大值为
，最小值为
解析
解：
， 
于是令
，
，所求的代数式为
． 
1
1
y =
 =
x + x + 1
2
3x
 
x +
 + 1
x
1
3
∵x < 0
∴x +
 +
x
1
1 = −
−x +
 +
[(
)
−x
1 ]
1 ⩽−2
 +
−x ⋅
 
(
)
−x
1
1 = −1
−x =
 
−x
1
x = −1
=
 ∈
x +
 + 1
x
1
3
−3, 0
[
)
−3
例题6
 
6
 6
f x =
( )
 
 
x + 4x + 7
2
x + 1
x x ⩾−1
{ ∣
}
x = −1
f −1 =
(
)
0
x > −1
f x =
( )
 =
 
x + 4x + 7
2
x + 1
 =
 
x + 1
+ 2 x + 1 + 4
(
)2
(
)
x + 1
 
 
x + 1 +
 + 2
x+1
4
1
t = x + 1
g t =
( )
 
 
t +
 + 2
t
4
1
∵x > −1
∴t > 0
t +
 +
t
4
2 ⩾6
∴0 <
 ⩽
t +
 + 2
t
4
1
 6
1
∴
 ∈
 
t +
 + 2
t
4
1
0,
(
6
6 ]
f x =
( )
 
 
x + 4x + 7
2
x + 1
 
6
 6
例题7
 2
1
0
f x =
( )
 =
x + 4x + 3
2
 
2x + 7x + 6x
3
2
 =
x + 4x + 3
2
 
2x x + 4x + 3 −x
(
2
)
2
 −
x + 4x + 3
2
2x
( x + 4
2
x
t =
 
x + 4x + 3
2
x
x ∈0, 4
[
]
y =
 
2t −t2
当
时，
；当
时，有
， 
， 
当
时，
有最大值为
，此时
； 
当
时，
有最小值为，此时
． 
故函数的最大值为
，最小值为．
答 案
最大值为
，最小值为
解析
． 
法一：令
，则当
时，
，则函数的值域为
，故最大值为
，最小值为
． 
法二：
在
上单调递增，
在
上单调
递减，因而
在
上单调递减，则当
时，函数取得最大值
；当
时，函数取得最小值
．
答 案
无最小值，
解析
解：将原式变形为
， 
若
，故
． 
当
时，又因
， 
 
 
， 
， 
故
不存在，
．
1
1
模块4：求解函数最
：求解函数最值常用方法
常用方法归纳
归纳
x = 0
t = 0
x=
 0
/
t =
 ⩽
x + 4 +
 x
3
1
 =
2
 + 4
3
1
 
2
2 −
 3
∴t ∈
0,
[
2
2 −
 3 ]
t =
 
2
2 −
 3
y =
 
2t −t2
 2
1
x =
 3
t = 0
y =
 
2t −t2
0
x = 0
 2
1
0
例题8
 3
1
−
 
18
29
y =
 =
x + 2x + 3
2
−2x −4x + 1
2
 =
x + 2x + 3
2
−2 x + 2x + 3 + 7
(
2
)
−2 +
 
x + 2x + 3
2
7
t = x +
2
2x + 3 = x + 1
+
(
)2
2
x ∈0, 3
[
]
t ∈3, 18
[
]
−
 ,
 
[
18
29
3
1 ]
 3
1
−
 
18
29
∵y = x +
2
2x + 3
x ∈0, 3
[
]
∴y =
 
x + 2x + 3
2
7
x ∈0, 3
[
]
y = −2 +
 
x + 2x + 3
2
7
x ∈0, 3
[
]
x = 0
 3
1
x = 3
−
 
18
29
例题9
y
 =
max
6
y −2 x +
(
)
2
y −2 x +
(
)
y −5 = 0
y = 2 ⇒−3 = 0
y=
 2
/
y=
 2
/
x ∈R
∴Δ = y −2
−
(
)2
4 y −2
y −5 ⩾
(
) (
)
0
⇒y −2
y −6 ⩽
(
) (
)
0
⇒2 ⩽y ⩽6
∴2 < y ⩽6
y
 
min
y
 =
max
6
答 案
见解析
解析
由
，知
． 
此时由
且
得
，
时，
取得最小值．
答 案
25
解析
由
，知
，代入
得： 
 
此时函数化为二元函数，设为主元，则 
 
 
(当且仅当
时等号成立)． 
再设
 
 
(当且仅当
时等号成立)， 
故当
，
时， 
取得最小值为
． 
此时
，故答案为
．
答 案
见解析
解析
由于
， 
上式可看成直线
上的点
和双曲线
上的点
间距离的平
方，如图 
1
1
1
例题10
f x, y =
(
)
x −y −7
+
(
)2
5 y −2
+
(
)2
3
f x, y ⩾
(
)
3
x −y −7 = 0
y −2 = 0
x = 9
y = 2
f x, y
(
)
3
例题11
x + y + 2z = 1
x = 1 −y −2z
f x, y, z
(
)
f x, y, z =
(
)
1 −y −2z
+
(
)2
y +
2
z =
2
2y +
2
5z −
2
2y −4z + 4yz + 1
y
f x, y, z =
(
)
g y =
( )
2y +
2
4z −2 y +
(
)
5z −
2
4z + 1
= 2 y +
 
+
(
2
2z −1 )
2
5z −
2
4z −
 +
2
2z −1
(
)2
1
⩾5z −
2
4z + 1 −
 
2
2z −1
(
)2
y = −
 
2
2z −1
h z =
( )
5z −
2
4z −
 +
2
4z −4z + 1
2
1 = 5z −
2
4z −2z +
2
2z −
 +
2
1
1
= 3z −
2
2z +
 =
2
1
3 z −
 
+
(
3
1 )
2
 ⩾
6
1
 6
1
z =
 3
1
x = y =
 6
1
z =
 3
1
f x, y, z
(
)
 6
1
 =
q
p
 6
1
p + q = 7
例题12
x −y
+
(
)2
x +
 + 1
=
(
y
1
)
2
x −y
+
(
)2
[ −x −1 −
 ]
(
)
y
1 2
y = −x −1
x, −x −1
(
)
xy = 1
y,
 
(
y
1 )
 
因此，所求的最小值即为该直线和双曲线最近距离的平方．由函数的图像，可知
三点的坐
标分别是
，
．于是，所求最小值是
．又
，且
，故
为所求．
答 案
解析
由
，得
，于是
． 
当且仅当
时取等号．
答 案
解析
函数
的反函数
，依题意 
，所以
．
答 案
解析
依题意，
，
，所以
．设
，则
， 
1
1
2
A, B, C
1, 1
(
)
−1, −1 ,
−
 , −
 
(
) (
2
1
2
1 )
∣BC∣
∣BC∣=
 −
2
 =
2
 2
 
2
 2
∣BC∣=
2
 2
1
f x, y
 =
(
)min
 2
1
例题13
2
 +
10
2
 2
a +
2
ab + ac + bc = 6 + 2
 5
a + b
a + c =
(
) (
)
6 + 2
 5
3a + b + 2c = a + b +
(
)
2 a + c ⩾
(
)
2
 =
2 a + b
a + c
(
) (
)
2
 
 + 1
=
2 (
5
)
2
 +
10
a + b = 2 a + c
(
)
例题14
2
f x
( )
f
x =
−1 ( )
log
 8 −a
2 (
x)
log
 8 −a
=
2 (
x)
log
 8 −2
a (
x)
a = 2
2log
 7
a
8 −2 >
x
0
8 −2
>
−x
0
x ∈−3, 3
(
)
g x =
( )
f x +
( )
f −x
(
)
g x =
( )
f x +
( )
f −x =
(
)
log
 65 −8 2 + 2
x ∈−3, 3
a [
( x
−x)] (
(
))
因为
，所以
．由
可知， 
， 
当
时等号成立．故
时，函数
的最大值是
．
2 +
x
2
⩾
−x
2
65 −8 2 + 2
⩽
( x
−x)
49
a > 1
log
 65 −8 2 + 2
⩽
a [
( x
−x)]
log
 49 =
a
2log
 7
a
x = 0
a > 1
y = f x +
( )
f −x
(
)
2log
 7
a