[讲义答案]第13讲三角函数最值-6e3a6af22742_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
解析
函数可化为
，
，令
，
，则
在
处取到最大值
，在
处取
到最小值
，所以
的值域是
.
答 案
见解析
解析
令
 则
则对称轴为
 当
即
时，
 当
即
时，
 
当
即
时，
．
答 案
D
解析
模块1：三角函数最
：三角函数最值问题
值问题
考法：0
1
2
考法：0
1  56%
例题1
 ,
 
[
2
1 −
 2
4
5 ]
y = 1 −cos x +
2
cos x
cos x ∈
−
 ,
 
[
2
 2
2
 2 ]
f t =
( )
−t +
2
t + 1
t = cos x ∈
−
 ,
 
[
2
 2
2
 2 ]
f t( )
t =
 2
1
f
 
=
( 2
1 )
 4
5
t = −
 
2
 2
f
−
 
=
(
2
 2 )
 
2
1 −
 2
y = sin x +
2
cos x
 ,
 
[
2
1 −
 2
4
5 ]
y = 1 −cos x +
2
a cos x +
 −
8
5a
 ,
2
3
t = cos x ∈0, 1
[
]
f(t) = −t +
2
at +
 −
8
5a
  ,
2
1
t =
 2
a
 ⩽
2
a
0
a ⩽0
y
 =
max
f(0) =
 −
8
5a
 2
1
0 <
 <
2
a
1
0 < a < 2
y
 =
max
f(
 ) =
2
a
 +
4
a2
 −
8
5a
 2
1 (3)
 ⩾
2
a
1
a ⩾2
y
 =
max
f(1) =
 −
8
13a
 2
3
例题2
解：
的定义域为
，值域为
，而
，
， 
，
，
． 
均在区间
内，而
， 
故选D．
答 案
C
解析
函数
在
上有
 函数的周期
 值域
含有最小值不含最大
值，故定义域
小于一个周期 
 故选C
答 案
解析
解： 
时
取得最大值， 
由
，得
．
答 案
解析
解：由
，得
．
答 案
A
2  76%
考法：0
1
2
1
∵y = sinx
 , b
[ 6
5π
]
−1,
 
[
2
1 ]
sin
 =
6
5π
sin
 =
6
13π
 2
1
sin
 =
2
3π
−1
∴
 ⩽
2
3π
b ⩽
 
6
13π
∴
 ⩽
3
2π
b −
 ⩽
6
5π
3
4π
∴b −
 ∈
6
5π
 ,
 
[ 3
2π
3
4π ]
∵
 ,
 ,
 
6
5π
6
7π
3
4π
∈
 ,
 
[ 3
2π
3
4π ]
 ∈ 
2
3π /
 ,
 
[ 3
2π
3
4π ]
y = 2 sinx
R
−2 ⩽y ⩽2
T = 2π
−2, 1
[
]
a, b
[
]
b −a < 2π
例题3
 2
π
x = 2
f x =
( )
sin 2π + φ =
(
)
sinφ
0 < φ < 2π
φ =
 2
π
 
2
197π
 ⋅
4
197
 ⩽
ω
2π
1
ω ⩾
 
2
197π
例题4
解析
解：
， 
是偶函数， 
，
， 
则
，
， 
， 
， 
则
， 
将
的图象向右平移个单位得到函数
的图象， 
即
， 
， 
，
， 
则当
时，
取得最小值
， 
故选：A．
答 案
B
解析
当
时，
，当
时，
， 函
数可变为
，可得最小值为
，故选B．
答 案
解析
解：函数
， 分母不能为零，即
， 设
， 
，且
． 则
， 可得函数
， 根据一次函数的单调性，可
得函数
的值域为
． 故答案为：
．
1  50%
2
f x =
( )
 sin(2x +
3
θ) + cos(2x + θ) = 2 sin(2x + θ +
 )
6
π
∵f x
( )
∴θ +
 =
6
π
 +
2
π
kπ
k ∈Z
θ =
 +
3
π
kπ
k ∈Z
∵0 < θ < π
∴θ =
 3
π
f x =
( )
2 sin(2x +
 +
3
π
 ) =
6
π
2 cos 2x
f x
( )
θ
g x
( )
g x =
( )
2 cos 2(x −
 ) =
3
π
2 cos(2x −
 )
3
2π
∵−
 ⩽
4
π
x ⩽
 6
π
∴−
 ⩽
2
π
2x ⩽
 3
π
−
 ⩽
6
7π
2x −
 ⩽
3
2π
−
 3
π
2x −
 =
3
2π
−π
g x
( )
g x =
( )
2 cos −π =
(
)
−2
例题5
x ∈
 ,
 π
[ 4
π
4
5 ]
sinx ⩾cos x
x ∈0,
 
∪
[
4
π )
 π, 2π
( 4
5
]
cos x > sinx
∴
f(x) =
 
{
2 sinx, x ∈
 ,
 π
[ 4
π
4
5 ]
2 cos x, x ∈0,
 ∪
 π, 2π
[
4
π )
( 4
5
]
−
 2
[
 , 1) ∪
2
−
 + 1
2
(1,
 ]
2
 + 1
2
y =
 
1 + sinx −cos x
sinx cos x
∵
sinx −cos x=
 −
/
1
t = sinx −cos x =
 sin(x −
2
 )
4
π
∴−
 ⩽
2
t ⩽
 2
t=
 −
/
1
sinx ⋅cos x = −
 
2
t −1
2
y =
 =
1 + sinx −cos x
sinx cos x
−
 =
1 + t
 
2
t −1
2
−
 (t −
2
1
1) = −
 t +
2
1
 2
1
y =
 
1 + sinx −cos x
sinx cos x
[
 , 1) ∪
2
−
 + 1
2
(1,
 ]
2
 + 1
2
[
 , 1) ∪
2
−
 + 1
2
(1,
 ]
2
 + 1
2
答 案
解析
解：
 
 
． 
由
，知
． 
所以
．
答 案
见解析
解析
解：函数
， 
函数的最小正周期等于．即
 
． 
可得
， 
由
，
 
得：
 
故得函数的单调递增区间为
，
．
答 案
见解析
解析
， 
当
， 
 
1
1
2
例题6
−
 , 5
[
4
5
)
y =
 =
sinx
sin5x −sinx + sinx
 +
sinx
2 cos 3x ⋅sin2x
1
= 4 cos 3x ⋅cos x + 1 = 2 cos 4x + cos 2x +
(
)
1
= 4cos 2x +
2
2 cos 2x −1
sinx=
 0
/
cos 2x=
 1
/
y ∈−
 , 5
[
4
5
)
例题7
f x =
( )
 cos
 −ωx
+
3
( 2
π
)
cos 2π −ωx =
(
)
 sinωx +
3
cos ωx = 2 sin ωx +
 
(
6
π )
∵
π
 =
ω
2π
π
∴ω = 2
f x =
( )
2 sin 2x +
 
(
6
π )
2kπ −
 ⩽
2
π
2x +
 ⩽
6
π
 +
2
π
2kπ
k ∈Z
kπ −
 ⩽
3
π
x ⩽kπ +
 6
π
kπ −
 , kπ +
 
[
3
π
6
π ]
k ∈Z
∵f x =
( )
2 sin 2x +
 
(
6
π )
x ∈0,
 
[
2
π ]
2x +
 
∈
(
6
π )
 ,
 
[ 6
π
6
7π ]
当
时，函数
取得最大值为． 
当
时，函数
取得最小值为
．
答 案
解析
解：由正弦定理可知
，
， 
， 
其中
，可得
可取
． 
的最大值为
． 
故答案为：
．
答 案
解析
解：
， 
，
， 
，
， 
由
得
． 
由正弦定理得
， 
，
， 
． 
，
． 
． 
． 
故答案为
．
模块2：解三角形中的最
：解三角形中的最值问题
值问题
1
2
∴
2x +
 =
6
π
 2
π
f x
( )
2
2x +
 =
6
π
 
6
7π
f x
( )
−1
例题8
10
 =
sinC
AB
 =
sinA
BC
 ⇒
sinB
AC
AB =
 sinC
2
AC =
 sinB
2
∴2
 AB +
2 ∣
∣
3 AC =
∣
∣
4 sinC + 3
 sin
 −C
=
2
( 4
π
)
sinC + 3 cos C =
 sin C
10
(
tanα = 3
C + α
 2
π
∴2
 AB +
2 ∣
∣
3 AC
∣
∣
 
10
10
 , 1
( 2
 2
)
∵C −B =
 2
π
∴C = B +
 2
π
A = π −B −C =
 −
2
π
2B
∴sinA = cos 2B
sinC = cos B
A =
 −
2
π
2B > 0
0 < B <
 4
π
 =
sinA
a
 =
sinB
b
 
sinC
c
∴b =
 =
sinA
a sinB
 
cos 2B
sinB
c =
 =
sinA
a sinC
 
cos 2B
cos B
∴c −b =
 =
cos 2B
cos B −sinB
 =
cos B −sin B
2
2
cos B −sinB
 =
cos B + sinB
1
 
 sin B +
 
2
(
4
π )
1
∵0 < B <
 4
π
∴
 <
4
π
B +
 <
4
π
 2
π
∴1 <
 sin B +
 
<
2
(
4
π )
 2
∴
 <
2
 2
 <
 sin B +
 
2
(
4
π )
1
1
 , 1
( 2
 2
)
答 案
D
解析
，这个形式很容易联想到余弦定理：
①， 而条件中
的“高”容易联想到面积，
， 即
②，将②代入①得： 
， 
，当
时取得最大值， 故选D．
答 案
解析
由余弦定理知
．
答 案
见解析
解析
解：由
， 
得
， 
， 
， 
， 
又
， 
．
答 案
见解析
1
2
1
2
例题9
 +
b
c
 =
c
b
 
bc
c + b
2
2
cos A =
 
2bc
b + c −a
2
2
2
a ⋅
a =
6
3
bcsinA
a =
2
2
 bcsinA
3
b +
2
c =
2
2bc(cos A +
 sinA)
3
∴
 +
b
c
 =
c
b
2(cos A +
 sinA) =
3
4 sin A +
 
(
6
π )
A =
 3
π
4
0.5
cos C =
 =
2ab
a + b −c
2
2
2
 =
2ab
a + b −
 a + b
2
2
2
1 ( 2
2)
 ⩾
4ab
a + b
2
2
 =
4ab
2ab
 2
1
例题10
2 cos A cos C tanA tanC −1 =
(
)
1
2 cos A cos C
 −1
=
( cos A cos C
sinA sinC
)
1
∴2 sinA sinC −cos A cos C =
(
)
1
∴cos A + C =
(
)
−
 2
1
∴cos π −A + C
=
[
(
)]
cos B =
 2
1
0 < B < π
∴B =
 3
π
解析
解：在
中，由余弦定理得
，
 
在
中，由余弦定理得
，
 
相加得
， 
整理得
， 
， 
所以
的面积
， 
当且仅当
时“
”成立． 
的面积的最大值为
．
答 案
见解析．
解析
， 
， 
， 
， 
， 在
中，由余弦定理得：
， 
， 
．
答 案
见解析．
解析
，
为正三角形， 
， 在
中，根据正弦定理，可得：
， 
， 
的周长为
 
 
， 
，
， 
， 
1
2
△ABD
c =
2
1 +
 
−
( 2
b )
2
2 ⋅1 ⋅
 ⋅
2
b
cos ∠ADB
①
△CBD
a =
2
1 +
 
−
( 2
b )
2
2 ⋅1 ⋅
 cos ∠CDB
2
b
②
①②
a +
2
c =
2
2 +
 =
2
b2
2 +
 
2
a + c −2accos B
2
2
a +
2
c =
2
4 −ac
∵a +
2
c ⩾
2
2ac
△ABC
S =
 acsinB ⩽
2
1
 ⋅
2
1
 ⋅
3
4
 =
2
 3
 
3
 3
a = c =
 
3
2
 3
=
∴△ABC
 
3
 3
例题11
∵S
 =
△DAC
2
 , AC =
3
4
 , AD =
3
2
∴
 ⋅
2
1
AD ⋅AC ⋅sin∠DAC = 2
 3
∴sin∠DAC =
 2
1
∵B =
 , ∴
3
π
∠DAC < ∠BAC < π −
 =
3
π
 
3
2π
∴∠DAC =
 6
π
△ADC
DC =
2
AD +
2
AC −
2
2AD ⋅AC cos
 6
π
∴DC =
2
4 + 48 −2 × 2 × 4
 ×
3
 =
2
 3
28
∴DC = 2
 7
∵AB = AD, B =
 3
π
∴△ABD
∵∠DAC =
 −
3
π
C, ∠ADC =
 
3
2π
△ADC
 =
sinC
AD
 =
sin
 
3
2π
4
 3
 
sin
 −C
( 3
π
)
DC
∴AD = 8 sinC, DC = 8 sin
 −C
( 3
π
)
∴△ADC
AD + DC + AC = 8 sinC + 8 sin
 −C
+
( 3
π
)
4
 3
= 8
sinC +
 cos C −
 sinC
+
(
2
 3
2
1
)
4
 =
3
8
 sinC +
 cos C
+
(2
1
2
 3
)
4
 3
= 8 sin C +
 
+
(
3
π )
4
 3
∵∠ADC =
 
3
2π
∴0 < C <
 3
π
∴
 <
3
π
C +
 <
3
π
 
3
2π
(
)
当
，即
时，
的最大值为， 则
的周长最大值为
．
答 案
见解析
解析
， 
， 
 
， 
是
的内角， 
， 
， 
．
答 案
见解析
解析
由(1)可知
， 
， 
由
， 
， 
， 
函数
的值域为
．
1
2
∴
C +
 =
3
π
 2
π
C =
 6
π
sin C +
 
(
3
π )
1
△ADC
8 + 4
 3
例题12
∵
 =
c
2a −b
 
cos C
cos B
∴2a −b cos C =
(
)
ccos B
∴2 sinA cos C = sinB cos C + cos B sinC
∴2 sinA cos C = sin(B + C) = sinA
∵∠A
△ABC
∴sinA=
 0
/
∴2 cos C = 1
∴∠C =
 3
π
∠C =
 3
π
∴f x =
( )
 sin2x −
2
1
 1 −2sin x =
2
 3 (
2 )
 sin2x −
2
1
 cos 2x =
2
 3
sin(2x −
 )
3
π
x ∈[0,
 ]
2
π
∴−
 ⩽
3
π
2x −
 ⩽
3
π
 
3
2π
∴−
 ⩽
2
 3
sin(2x −
 ) ⩽
3
π
1
∴
f x
( )
[−
 , 1]
2
 3