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2020 春
高一数学·一式冲刺
期末试卷
（本试卷共二大题，满分120 分，考试时间80 分钟）
一、填空题（每题8 分，共64 分）
1
设实数x、y 满足sin2x+2sin2y = 3siny．则cos2x−2siny 的取值范围是
．
2
已知复数z1、z2、z3 满足：|z1| = |z2| = |z3| = 1，z1
z2
+ z2
z3
+ z3
z1
= 1．
则|z1 +z2 +z3| =
．
3
设a0 = −2，b0 = 1，且
an+1 = an +bn +
√
a2
n +b2
n
bn+1 = an +bn −
√
a2
n +b2
n
．则a2019 =
．
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4
在△ABC 中，记∠A、∠B、∠C 对应的边为a、b、c．若b = 1，b+c = 2acosB，则△ABC 的面积取最
大值时，cosA =
．
5
设函数f (x) =
|x+1|,x ⩽0
|lgx|,x > 0
．若方程f (x) = a 有四个不同的实数解x1 < x2 < x3 < x4，则x3 (x1 +x2)+
1
x2
3x4
的取值范围是
．
6
如图．在△BCD 中，∠BCD = 90◦，BC = CD = 1．AB⊥平面BCD，∠ADB = 60◦，E、F 分别为AC、AD
上的动点，且AE
AC = AF
AD = λ (0 < λ < 1)．若平面BEF 与平面BCD 所成角的二面角大小为60◦，则λ
的值为
．
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7
一个盒子里有六个不同的小球，每次抽取一个小球，然后放回．每个小球被抽取的概率相等，若干次后
每个小球恰均被抽取过．则抽取次数的数学期望为
．
8
设由不超过1000 的两个正整数组成的数对(m,n) 满足
m
n+1 <
√
2 < m+1
n
．
则所有这样的数对的个数为
．
二、解答题（第9 题16 分，第10、11 题各20 分）
9
已知P(z) = zn +c1zn−1 +c2zn−2 +···+cn−1z+cn 是复变量z 的实系数多项式．若|P(i)| < 1，证明：存在
实数a，b，使得P(a+bi) = 0，且
(
a2 +b2 +1
)2 < 4b2 +1．
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10
已知数列{an} 满足：a1 = 3
5，an+1 =
3an
2an +1 (n = 1,2,···)．证明：a1 +a2 +···+an >
n2
n+1．
11
已知直线l1 : x+2y+2 = 0，l2 : x−y+2 = 0，过点P(1,1) 且与直线l1、l2 围成的三角形面积为S 的直
线恰有三条．求S 的值．
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