[讲义答案]第9讲三角函数公式-2f81a9d8c460_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
解析
由
，
，得
，由
，
，得
，
，再由两角差的正弦公式得
．
答 案
解析
解：
， 
两边平方可得：
①， 
， 
两边平方可得：
②， 
由①
②得：
，即
， 
． 
． 
故答案为：
．
答 案
1
解析
模块1：和角公式与差角公式
：和角公式与差角公式
1  74%
2
3
例题1
 
3
 3
α ∈(0,
 )
2
π
cos α =
 3
1
sinα =
 
3
2
 2
β ∈(π,
 )
2
3π
tanβ =
 
2
 2
cos β = −
 
3
 6
sinβ = −
 
3
 3
sin(β −α) = sinβ cos α −sinα cos β =
 
3
 3
−
 2
1
sinα + cos β = 1
sin α +
2
2 sinα cos β + cos β =
2
1
cos α + sinβ = 0
cos α +
2
2 cos α sinβ + sin β =
2
0
+
2 + 2 sinα cos β + cos α sinβ =
(
)
1
2 + 2 sin α + β =
(
)
1
∴2 sin α + β =
(
)
−1
∴sin α + β =
(
)
−
 2
1
−
 2
1
解：由
 
 
 
 
， 
故答案为．
答 案
解析
，
， 
 
．
答 案
D
解析
当
，
时，
成立，而
不成立． 
由
，得
， 
． 
．当
时，
不成立，故选D．
答 案
解析
当
时， 
 
， 
1  93%
2
1
 
cos 63∘
cos 27 −
 sin18
∘
2
∘
=
 
cos 63∘
cos 45 −18
−
 sin18
(
∘
∘)
2
∘
=
 
cos 63∘
 cos 18 +
 sin18 −
 sin18
2
 2
∘
2
 2
∘
2
∘
=
 
cos 63∘
 cos 18 −
 sin18
2
 2
∘
2
 2
∘
=
 =
cos 63∘
cos 45 + 18
(
∘
∘)
1
1
例题2
 7
1
∵tanα =
 3
1
tan α + β =
(
)
 2
1
∴tanβ = tan α + β −α =
(
)
 
1 + tan α + β tanα
(
)
tan α + β −tanα
(
)
=
 =
1 +
 ×
 
2
1
3
1
 −
 
2
1
3
1
 7
1
A =
 2
π
B = −
 4
π
P
Q
1 + tanA
1 + tanB =
(
) (
)
2
tanA + tanB = 1 −tanA tanB
∴tan A + B =
(
)
1
∴A + B = kπ +
 4
π
k=
 0
/
P
例题3
223
α + β = 45∘
1 + tanα
1 + tanβ =
(
) (
)
1 + tanα + tanβ + tanα ⋅tanβ
= 1 + tan α + β
1 −tanα tanβ +
(
) (
)
tanα tanβ = 2
且
， 所以
 
 
 
．
答 案
解析
解：
  
， 
又
， 
， 
代入
式，得 
 
， 
 
 
 
． 
故答案为：
．
答 案
解析
因为为锐角，所以
，即得
， 因为
，所以
， 所以
， 
， 
， 故答案为
．
2
模块2：倍角公式
：倍角公式
1
1 + tan45 =
∘
1 + 1 = 2
1 + tan1
1 + tan2
1 + tan3
⋯1 + tan45
(
∘) (
∘) (
∘)
(
∘)
=
1 + tan1
1 + tan44
1 + tan2
1 + tan43
⋯
[(
∘) (
∘)] [(
∘) (
∘)]
1 + tan22
1 + tan23
1 + tan45
[(
∘) (
∘)] (
∘)
= 223
261
∵
1 +
 tank
1 +
 tan 60 −k
(
3
∘) [
3
(
∘
∘)]
= 1 +
 tank +
3
∘
 tan 60 −k
+
3
(
∘
∘)
3 tank tan 60 −k
∘
(
∘
∘)(1)
∵tan60 =
∘
tan 60 −k + k
=
(
∘
∘
∘)
 
1 −tank tan 60 −k
∘
(
∘
∘)
tan 60 −k
+ tank
(
∘
∘)
∘
∴tan 60 −k
+
(
∘
∘)
tank =
∘
1 −tank tan 60 −k
3 [
∘
(
∘
∘)]
1
( )
1 +
 tank
1 +
 tan 60 −k
(
3
∘) [
3
(
∘
∘)]
= 1 + 3 tank tan 60 −k
+
∘
(
∘
∘)
3 −3 tank tan 60 −k
=
∘
(
∘
∘)
4
∴
1 +
 tan1
1 +
 tan2
1 +
 tan3
⋯1 +
tan60
(
3
∘) (
3
∘) (
3
∘)
(
3
∘)
=
1 +
 tan1
1 +
 tan59
1 +
 tan2
1 +
 tan58
[(
3
∘) (
3
∘)] [(
3
∘) (
3
∘)]
⋯
1 +
 tan29
1 +
 tan31
1 +
 tan30
1 +
 tan60
[(
3
∘) (
3
∘)] (
3
∘) (
3
∘)
= 2 × 2 × ⋯× 2 = 261
261
例题4
 
50
17
 2
α
0 < α <
 2
π
 <
6
π
α +
 <
6
π
 
3
2π
cos α +
 
=
(
6
π )
 5
4
sin α +
 
=
(
6
π )
 5
3
sin 2α +
 
=
(
3
π )
2 sin α +
 
⋅
(
6
π ) cos α +
 
=
(
6
π )
2 ×
 ×
5
3
 =
5
4
 
25
24
cos 2α +
 
=
(
3
π )
2cos
α +
 
−
2 (
6
π )
1 = 2 ×
 
−
( 5
4 )
2
1 =
 
25
7
sin 2α +
 
=
(
12
π )
sin
2α +
 
−
 =
[(
3
π )
4
π ]
sin 2α +
 
cos
 −
(
3
π )
4
π
cos 2α +
 
sin
(
3
π )
4
π
=
 ×
25
24
 −
2
 2
 ×
25
7
 =
2
 2
 
50
17
 2
 
50
17
 2
答 案
解析
解:
为锐角，
，
， 
，
， 
，
， 
， 又
，
， 
且
， 
，
， 故答案为
．
答 案
A
解析
解：
 
 
故选：A．
答 案
B
解析
由（2）得
，又因为
，所以
．
答 案
解析
解：
 
 
2
1
2  88%
1
 4
π
∵α, β
sinα =
 
10
 2
sinβ =
 
10
 
10
∴cos α =
 
10
7
 2
cos β =
 
10
3
 
10
∴sin2β = 2 sinβ cos β =
 5
3
cos 2β = cos β −
2
sin β =
2
 5
4
∴cos(α + 2β) =
 ×
10
7
 2
 −
5
4
 ×
10
 2
 =
5
3
 
2
 2
sinα =
 <
10
 2
 2
1
sinβ =
 <
10
 
10
 2
1
∴0 < α <
 6
π
0 < β <
 6
π
∴0 < α + 2β <
 2
π
∴α + 2β =
 4
π
 4
π
例题5
cos 75 +
2
∘
cos 15 +
2
∘
cos 75 ⋅
∘
cos 15 =
∘
cos 75 +
2
∘
sin 75 +
2
∘
sin15 ⋅
∘
cos 15∘
= 1 +
 sin30 =
2
1
∘
 4
5
cos θ =
 =
cos
+ sin
 
2
2
θ
2
2
θ
cos
−sin
 
2
2
θ
2
2
θ
 
1 + tan
 
2
2
θ
1 −tan
 
2
2
θ
 ∈
2
θ
0,
 
[
2
π ]
tan
 =
2
θ
 
7
 7
例题6
3
tan20 ⋅
∘
tan40 ⋅
∘
tan80 =
∘
tan20 ⋅
∘
tan 60 −20
⋅
(
∘
∘) tan 60 + 20
(
∘
∘)
= tan 3 × 20
(
∘)
．
答 案
见解析
解析
证明：
 
 
 
 
 
，得证．
答 案
解析
解：
，最小正周期
， 
． 
， 
． 
故答案为：
．
答 案
C
解析
解：函数
，故只需将函数
的图象向
右平移
个单位，即可得到
的图象． 
故选：C．
2
1
模块3：辅
：辅助角公式
助角公式
1
= tan60 =
∘
 3
sin3α = sin 2α + α =
(
)
sin2α cos α + cos 2α sinα
= 2 sinαcos α +
2
cos α −sin α sinα
(
2
2 )
= sinα 3cos α −sin α
(
2
2 )
= sinα
 cos α + sinα
 cos α −sinα
(
3
) (
3
)
= sinα ⋅2 sin
 −α
⋅
( 3
π
) 2 sin
 + α
( 3
π
)
= 4 sinα sin
 −α sin
 + α
( 3
π
)
( 3
π
)
例题7
 
2
 3
∵f x =
( )
sin
 x cos
 x
=
( 6
π )
( 6
π )
 sin
 x
2
1
3
π
T = 6
f 1 +
( )
f 2 +
( )
f 3 +
( )
f 4 +
( )
f 5 +
( )
f 6 =
( )
0
∴f 1 +
( )
f 2 +
( )
⋯+ f 2018
(
)
= 336 × 6 + f 2017 +
(
)
f 2018 =
(
)
f 1 +
( )
f 2 =
( )
 
2
 3
 
2
 3
例题8
y = sin3x + cos 3x =
 cos 3x −
 
2
(
4
π )
y =
 cos 3x
2
 
12
π
y =
 cos 3 x −
 
=
2
[ (
12
π )]
 cos 3x −
 
2
(
4
π )
答 案
A
解析
解：
， 
函数
的最大值为，
，
，且
的最小值为
， 
函数
的周期
， 
由周期公式可得
，解得
． 
故选：A．
答 案
B
解析
由题意，知
，于是
． 
从而
． 
，
，
． 
所以，
．故选B．
答 案
解析
解：
， 
则
． 
， 
即
． 
设
，则
． 
因为
，
， 
所以
，
． 
又因为
时，
是增函数， 
2  51%
1
1
f x =
( )
sinωx −
 cos ωx =
3
2 sin ωx −
 
(
3
π )
∵
f x
( )
2
f x
 =
(
1)
2
f x
 =
(
2)
0
x
 −x
 
∣
1
2∣
 
2
3π
∴
f x
( )
T = 4 ×
=
2
3π
6π
T =
 =
ω
2π
6π
ω =
 3
1
例题9
sinα cos β + sinβ cos α = sin α + β =
(
)
1
a + β = 2kπ +
 k ∈Z
2
π (
)
sinα + sinβ = sinα + cos α =
 sin α +
 
2
(
4
π )
∵α ∈−
 ,
 
[
2
π
2
π ]
∴α +
 ∈
4
π
−
 ,
 
[
4
π
4
3π ]
sin α +
 
∈
(
4
π )
−
 , 1
[
2
 2
]
sinα + sinβ =
 sin α +
 
∈
2
(
4
π )
−1,
 
[
2]
例题10
 2
1
2 cos x +
x
2
=
 2
π
a ⋅2x
sin
 −x
+
( 2
π
)
2
=
−x
2
π
a
 cos y +
3
siny = 2a −2y+
 +1
3
π
sin y +
 
+
(
3
π )
2
=
y+
 3
π
a
f t =
( )
sint + 2t
f
 −x
=
( 2
π
)
f
y +
 
(
3
π )
0 ⩽x ⩽
 6
π
0 ⩽y ⩽
 6
π
 ⩽
3
π
 −
2
π
x ⩽
 2
π
 ⩽
3
π
y +
 ⩽
3
π
 2
π
t ∈
 ,
 
[ 3
π
2
π ]
f t( )
所以
，即
， 
所以
．
答 案
，
．
解析
解：函数
 
 
 
， 
令
，
， 
解得
，
， 
函数
的单调增区间为：
，
．
答 案
解析
解：
， 
， 
又
， 
， 
， 
， 
．
1
2
 −
2
π
x = y +
 3
π
x + y =
 6
π
sin x + y =
(
)
 2
1
例题11
kπ −
 , kπ +
 
[
12
5π
12
π ]
k ∈Z
f x =
( )
 sinx cos x +
3
2cos x −
2
sin x
2
=
 sin2x +
2
 3
2 ⋅
 −
2
1 + cos 2x
 
2
1 −cos 2x
=
 sin2x +
2
 3
 cos 2x +
2
3
 2
1
=
 sin 2x +
 
+
3
(
3
π )
 2
1
−
 +
2
π
2kπ ⩽2x +
 ⩽
3
π
 +
2
π
2kπ
k ∈Z
−
 +
12
5π
kπ ⩽x ⩽
 +
12
π
kπ
k ∈Z
∴
f x
( )
kπ −
 , kπ +
 
[
12
5π
12
π ]
k ∈Z
 2
1
∵f α =
( )
 sin 2α +
 
+
3
(
3
π )
 =
2
1
2
∴sin 2α +
 
=
(
3
π )
 
2
 3
α ∈
 ,
 
[12
π
12
5π ]
∴
 ⩽
2
π
2α +
 ⩽
3
π
 
6
7π
∴2α +
 =
3
π
 
3
2π
∴2α =
 3
π
∴cos 2α =
 2
1
例题12
答 案
见解析
解析
 
． 
，最小正周期
．
答 案
见解析
解析
 
． 
，
，
，
，解得
．
答 案
见解析
解析
 
． 
令
，
，
，函数
，
，在
定义域内单调递增，函数
的增区间为原函数的增区间，令
，解得
，
，原函数的增区间为
，
．
答 案
见解析
解析
1
2
3
4
f x =
( )
4a ×
 −
2
1 + cos 2x
2
 a sin2x +
3
2 −a
= 2a cos 2x −2
 a sin2x +
3
a + 2 = 4a cos 2x +
 
+
(
3
π )
a + 2
∵a > 0
∴
T =
 =
2
2π
π
f x =
( )
4a ×
 −
2
1 + cos 2x
2
 a sin2x +
3
2 −a
= 2a cos 2x −2
 a sin2x +
3
a + 2 = 4a cos 2x +
 
+
(
3
π )
a + 2
∵x ∈0,
[
6
π ]
∴2x +
 ∈
3
π
 ,
 
[ 3
π
3
2π ]
∴cos 2x +
 
∈
(
3
π )
−
 ,
 
[
2
1
2
1 ]
∴f x
 =
[ ( )]min
4a ×
−
 
+
(
2
1 )
a + 2 = 1
a = 1
f x =
( )
4a ×
 −
2
1 + cos 2x
2
 a sin2x +
3
2 −a
= 2a cos 2x −2
 a sin2x +
3
a + 2 = 4a cos 2x +
 
+
(
3
π )
a + 2
t = 2x + 3
π
u = cos t
y = 4at + a + 2
∵
t = 2x +
 3
π
y = 4at + a + 2
∴
u = cos t
∴
2kπ −π ⩽2x +
 ⩽
3
π
2kπ
kπ −
 ⩽
3
2π
x ⩽kπ −
 6
π
k ∈Z
∴
kπ −
 , kπ −
 
[
3
2π
6
π ]
k ∈Z
1
2
 
． 
令
，解得
，
，即原函数的对称轴为
，
．
令
，解得
， ，即原函数的对称中心为
， 
．
f x =
( )
4a ×
 −
2
1 + cos 2x
2
 a sin2x +
3
2 −a
= 2a cos 2x −2
 a sin2x +
3
a + 2 = 4a cos 2x +
 
+
(
3
π )
a + 2
2x +
 =
3
π
kπ
x =
 −
2
kπ
 6
π
k ∈Z
x =
 −
2
kπ
 6
π
k ∈Z
2x +
 =
3
π
kπ +
 2
π
x =
 +
2
kπ
 
12
π
 +
 , a + 2
( 2
kπ
12
π
)
k ∈Z