[讲义答案]第4讲函数综合-a3990978ed7a_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
1
解析
解：
、为实数，集合
表示把集合
中的元素映
射到集合
中仍为， 
通过映射可得
， 
解得
， 
可得
，解得
， 
， 
故答案为．
答 案
B
解析
当
时，没有
； 
当
时，有
，个； 
当
时，有
，
，个； 
当
时，有
，
，
，个； 
当
时，有个；当
时，有个． 
所以满足
的映射个数为
，故选B．
答 案
C
解析
模块1：映射与函数
：映射与函数
1
2  73%
1
例题1
∵a
b
M =
 , 1
, N =
{a
b
}
a, 0 , f :
{
}
x →x
M
x
N
x
∴1
1 ∈N
a = 1
 →
a
b
 ∈
a
b
N,
 =
a
b
0
b = 0
∴a + b = 1
1
f a =
( )
1
f a >
( )
f b =
( )
f c
( )
f a =
( )
2
f a >
( )
f b =
( )
f c =
( )
1
1
f a =
( )
3
f a >
( )
f b =
( )
f c =
( )
2
f a >
( )
f b =
( )
f c =
( )
1
2
f a =
( )
4
f a >
( )
f b =
( )
f c =
( )
3
f a >
( )
f b =
( )
f c =
( )
2
f a >
( )
f b =
( )
f c =
( )
1
3
f a =
( )
5
4
f a =
( )
6
5
f a >
( )
f b =
( )
f c
( )
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
例题2
解：对于A，函数
，与
的定义域不同，不是同一函
数； 
对于B，函数
，与
的对应法则不同，不是同一
函数； 
对于C，函数
，与
的定义域相同，对应法则相
同，是同一函数； 
对于D，函数
，与
的定义域不同，不
是同一函数． 
故选：C．
答 案
解析
解：由
， 
解得：
且
． 
函数
的定义域为
． 
故答案为：
．
答 案
D
解析
函数
的值域为
．函数
的值域为
．函数
的值域为
．
答 案
解析
模块2：定
：定义域与
域与值域
1
1
1
f x =
( )
1 x ∈R
(
)
g x =
( )
x =
0
1 x=
 0
( / )
f x =
( )
 =
x2
∣x∣(x ∈R)
g x =
( )
x x ∈R
(
)
f x =
( )
 
=
(
3 x)
3
x x ∈R
(
)
g x =
( )
x x ∈R
(
)
f x =
( )
 =
x −1
x −1
2
x + 1 x=
 1
( / )
g x =
( )
x + 1 x ∈R
(
)
例题3
2, 3 ∪
[
)
3, 4
(
)
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧x −2 ⩾0
4 −x > 0
3 −x= 0
/
2 ⩽x < 4
x=
 3
/
∴
f x =
( )
 +
x −2
lg 4 −x −
(
)
3 −x
(
)0
2, 3 ∪
[
)
3, 4
(
)
2, 3 ∪
[
)
3, 4
(
)
例题4
y = 3
 x
2
0, 1 ∪
(
)
1, +∞
(
)
y =
 
2 −1
x
0, +∞
[
)
y =
 
2 + 1
x
1, +∞
(
)
例题5
−∞, 2
(
]
解：由
，得
，函数的定义域为
， 
由于
在
上单调递增， 
在
上也是单调递增， 
所以函数
是
上的增函数， 
所以
, 
值域为
, 
故答案为：
.
答 案
解析
解：由条件有
， 
所以
， 
整理得
． 
因为
，所以
， 
即
， 
解得
或
． 
由题意知
，故
．
答 案
解析
求
值域即可．
答 案
、
解析
解：由
可得
， 
故函数
的定义域为
， 
由于函数在
上是减函数，在
上是增函数， 
2
1  75%
模块3：函数性
：函数性质综
质综合应用
1
1−x ⩾0
x ⩽1
−∞, 1
(
]
y
 =
1
2x
−∞, 1
(
]
y
 =
2
−4
 
1 −x
−∞, 1
(
]
y = 2x−4
 
1 −x
−∞, 1
(
]
y ⩽f 1 =
( )
2
−∞, 2
(
]
−∞, 2
(
]
y ⩾
 
2
3
 3
y −x =
 
4x + 9
2
y −x
=
(
)2
4x +
2
9
3x +
2
2yx + 9 −y
=
(
2)
0
x ∈R
Δ ⩾0
4y −
2
12 9 −y
⩾
(
2)
0
y ⩾
 
2
3
 3
y ⩽−
 
2
3
 3
y > 0
y ⩾
 
2
3
 3
例题6
−1 ⩽a < 2
a =
2 −2
−
(
−∣x∣)
2
2
例题7
−∞, 1
(
)
1, +∞
(
) 1
t = x −
2
2x + 3 = x −1
+
(
)2
2 > 0
x ∈R
f x =
( )
log
 x −2x + 3
2 (
2
)
R
t
−∞, 1
(
)
1, +∞
(
)
故函数
的单调区间为
、
． 
由于当
时，函数
有最小值，故函数
有最
小值
， 
故答案为
、
，．
答 案
A
解析
定义域为
；
． 即
是偶函
数．选A.
答 案
解析
偶函数为
 
 
．
答 案
见解析
解析
(1)轴对称，对称轴为
； 
(2)周期，周期为； 
(3)中心对称，对称中心为
； 
(4)周期，周期为．
2
1
1
1  60%
f x =
( )
log
 x −2x + 3
2 (
2
)
−∞, 1
(
)
1, +∞
(
)
x = 1
t = x −
2
2x + 3
2
f x =
( )
log
 x −2x + 3
2 (
2
)
log
 2 =
2
1
−∞, 1
(
)
1, +∞
(
)
1
f x
( )
(−∞, 0) ∪(0, +∞)
f x −
( )
f −x =
(
)
 −
1 −2x
x
 −
2
x
 +
1 −2−x
−x
 =
2
−x
 −
1 −2x
x −x2x
x = 0
f x
( )
例题8
 log
 x + x + 1
2
1
2 (
4
2
)
 f x + f −x
2
1 [ ( )
(
)]
=
 log
 x + x + 1 + log
 x −x + 1
2
1 [
2 (
2
)
2 (
2
)]
=
 log
 x + x + 1
2
1
2 (
4
2
)
例题9
x = 3
4
3, 0
(
)
8
例题10
答 案
B
解析
函数
， 
设
的对称中心的横坐标为， 
则
，将
，
代入函数
中，解得
， 
， 
，函数的对称中心为
．
答 案
A
解析
提示：
， 
所以，
是以为周期的函数． 
所以，
．
答 案
0.5
解析
提示：因为， 
 
， 
故
． 
所以
．
答 案
B
1
2  41%
考法：0
1  39%
∵
f x =
( )
 +
x + 1
x
 +
x + 2
x + 1
 =
x + 3
x + 2
3 −
 +
 +
 
( x + 1
1
x + 2
1
x + 3
1
)
f x
( )
t
f t −x =
(
)
f t + x
(
)
t −x
t + x
f x =
( )
3 −
 +
 +
 
( x + 1
1
x + 2
1
x + 3
1
)
t = −2
f −4 −x =
(
)
3 +
 +
 +
 
( x + 1
1
x + 2
1
x + 3
1
)
∴f x +
( )
f −4 −x =
(
)
6
∴
−2, 3
(
)
例题11
f x + 6 =
(
)
−
 =
f x + 3
(
)
1
f x
( )
f x
( )
6
f 2013 =
(
)
f 3 =
( )
−
 =
f 0
( )
1
−
 2
1
f x + 4 =
(
)
f x + 2 + 2 =
(
)
 
f x + 2 + 1
(
)
f x + 2 −1
(
)
=
 =
 + 1
f x +1
( )
f x −1
( )
 −1
f x +1
( )
f x −1
( )
−
 
f x
( )
1
f x + 8 =
(
)
f x
( )
f 2013 =
(
)
f 5 =
( )
−
 =
f 1
( )
1
 2
1
例题12
解析
要定量判断交点的坐标关系，直接用图象无法解决，联立两个函数的方程
， 法一:代
数方法 去分母整理得:
． 由题意知，此方程有且仅有两根
，故必有一根
是重根，不妨设
是重根， 于是有
， 故
，故
，
同号，
异号，且
， 
． ①当
时，
，
，
，
； ②当
时，
，
 ，
，
．故B正确． 法二:数形结合 将
变
形为:
，函数
与
的交点的横坐标即为
， 注意此时交点的纵
坐标不是
，记为
， 如图，当直线
与
的一支相切，另一支相交
时，满足题意， 由
的图象关于轴对称知， 
时，有
，从而
，且
，
； 
时，有
，从而
，且
，
．  
答 案
解析
解：
， 
， 
， 
， 
故
， 
故函数
的反函数是
． 
所以答案为：
．
模块4：反函数
：反函数
1
y = ax +
2
bx
ax +
3
bx −
2
1 = 0
x
 , x
 
1
2
x1
ax +
3
bx −
2
1 = a(x −x
 )(x −
1
x
 )(x −
1
x
 )
2
{ax x = 1
1
2
2
2x x + x
 = 0
1
2
12
x
 =
 0
1/
a, x
 2
x
 , x
 
1
2
x
 +
1
2x
 =
2
0
y
 +
1
y
 =
2
 +
x
 1
1
 =
x
 2
1
 =
x
 x
 
1
2
x
 + x
 
1
2
 =
x
 x
 
1
2
−x
 2
−
 
x
 1
1
a > 0
x
 >
2
0
x
 <
1
0
x
 +
1
x
 =
2
−x
 <
2
0
y
 +
1
y
 =
2
−
 >
x
 1
1
0
a < 0
x
 <
2
0
x
 >
1
0
x
 +
1
x
 =
2
−x
 >
2
0
y
 +
1
y
 =
2
−
 <
x
 1
1
0
 =
x
1
ax +
2
bx
 =
x2
1
ax + b
y =
 
x2
1
y = ax + b
x
 , x
 
2
1
y
 , y
1
2
y
 , y
 
1
′
2
′
y = ax + b
y =
 
x2
1
y =
 
x2
1
y
a > 0
y
 >
2′
y
 1′
x
 <
2
0 < x
 1
x
 +
1
x
 <
2
0
y
 +
1
y
 =
2
 +
x
 1
1
 =
x
 2
1
 >
x
 x
 
1
2
x
 + x
 
1
2
0
a < 0
y
 >
1
′
y
 2
′
x
 <
1
0 < x
 2
x
 +
1
x
 >
2
0
y
 +
1
y
 =
2
 +
x
 1
1
 =
x
 2
1
 <
x
 x
 
1
2
x
 + x
 
1
2
0
例题13
y = −
 x ⩾−1
x + 1
(
)3 (
)
∵y =
 −
3 x2
1 x ⩽0
(
)
∴y ⩾−1
∴y + 1
=
(
)3
x2
∵x ⩽0
x = −
 
y + 1
(
)3
y =
 −
3 x2
1 x ⩽0
(
)
y = −
 x ⩾−1
x + 1
(
)3 (
)
y = −
 x ⩾−1
x + 1
(
)3 (
)
答 案
解析
， 
， 
， 
．
答 案
2020
解析
令
则
， 
， 
．
答 案
4
解析
函数
在
上单调递增，
的值域为
，
在
上单调递增，
在
上单调递增，当
时，有
．
答 案
见解析
解析
解：函数
的反函数是
，所以
，而
，其反函数为
2
1  45%
2  74%
1
y =
 +
2 +
 
x
4
9
 2
3
∵x −
2
3x = 2
x > 3
y (
)
∴y −
2
3y = 2
y > 3
x (
)
∴
y −
 
=
(
2
3 )
2
2 +
x
 4
9
∴y =
 +
2 +
 
x
4
9
 2
3
例题14
g(x) = f(x + 1)
g
(x) =
−1
f
(x +
−1
1)
f(x + 1) = g(x) = g(f
(f(x))) =
−1
g(g
(f(x) −
−1
1)) = f(x) −1
f(2018) = f(2017) −1 = ⋯= f(1) −2017 = 2020
∵
f x =
( )
4
+
x−2
x −1
0, 2
[
]
∴f x
( )
−
 , 2
[
16
15
]
∴f
x
−1 ( )
−
 , 2
[
16
15
]
∴y = f x +
( )
f
x
−1 ( )
0, 2
[
]
∴
x = 2
y
 =
max
4
例题15
g x =
( )
x +
2
1 x > 0
(
)
g
x =
−1 ( )
 x > 1
x −1 (
)
g
x + 1 =
−1 (
)
 x > 0
x (
)
g x + 1 =
(
)
x + 1
+
(
)2
1 x > −1
(
)
． 
故函数
不满足“ 和性质”．
答 案
见解析
解析
解：设函数
满足“ 和性质”，
． 
因为
，所以
． 
而
，得反函数为
， 
由“ 和性质”的定义可知，
对
恒成立． 
故
，
，即所求一次函数为
．
答 案
见解析
解析
解：设
，
，且点
在
的图象上，则
在函数
的图象上，故
，可得
， 
令
，则
，所以
，即
． 
综上所述，
，此时
．其反函数就是
， 
而
，故
与
互为反函数．
2
3
y =
 −
x −1
1 x > 1
(
)
g x =
( )
x +
2
1 x > 0
(
)
1
f x =
( )
kx + b x ∈R
(
)
2
k=
 0
/
f
x =
−1 ( )
 x ∈R
k
x −b (
)
f
x + 2 =
−1 (
)
 
k
x + 2 −b
f x + 2 =
(
)
k x + 2 +
(
)
b x ∈R
(
)
y =
 
k
x −b −2k
2
 =
k
x + 2 −b
 
k
x −b −2k
x ∈R
k = −1
b ∈R
y = f x =
( )
−x + b b ∈R
(
)
a > 0
x
 >
0
0
x
 , y
 
(
0
0)
y = f ax
(
)
y
 , x
 
( 0
0)
y = f
ax
−1 (
)
{f ax
 = y
 
(
0)
0
f
ay
 = x
 
−1 (
0)
0
ay
 =
0
f x
 =
(
0)
af ax
 
(
0)
ax
 =
0
x
a =
 
x
 0
x
f x
 =
(
0)
 f x
x
 0
x
( )
f x =
( )
 
x
x f x
 
0
(
0)
f x =
( )
 k=
 0
x
k ( / )
f ax =
(
)
 
ax
k
y =
 
ax
k
f
ax =
−1 (
)
 
ax
k
y = f ax
(
)
y = f
ax
−1 (
)