[讲义答案]第10讲三角函数变形-12f940800eb3_学而思高一全套_2019秋季高一1_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_2019秋高一数学筑梦班（全国）李昊伟_讲义

答 案
解析
因为
，所以
 
，所以
．
答 案
解析
，所以
，注意到
，所以
，所以
．
答 案
解析
原式
 
．
模块1：和差化
：和差化积与积化和差
化和差
1
2
1
2
例题1
 4
1
cos α + cos β =
 2
1
cos
 +
 
+
(
2
α + β
2
α −β )
cos
 −
 
(
2
α+β
2
α −β )
= 2 cos
 cos
 =
2
α + β
2
α −β
 2
1
cos
 cos
 =
2
α + β
2
α −β
 4
1
2 +
 3
 =
4
1
sin
A +
 
−
2 (
12
π )
sin
A −
 
=
2 (
12
π )
 
1 −cos 2A +
 
−1 + cos 2A −
 
2
1 (
(
6
π )
(
6
π ))
 =
2
1
sin2A
A ∈
 ,
 
( 4
π
2
π )
A =
 
12
5π
tanA = 2 +
 3
例题2
2 −
 3
=
 =
cos 7 +
 cos 23 −cos 7
∘
2
1 (
∘
∘)
sin7 +
 sin23 −sin7
∘
2
1 (
∘
∘)
 =
cos 23 + cos 7
∘
∘
sin23 + sin7
∘
∘
 
2 cos 15 cos 8
∘
∘
2 sin15 cos 8
∘
∘
= tan15 =
∘
 =
sin30∘
1 −cos 30∘
2 −
 3
答 案
解析
原式
 
．
答 案
B
解析
由（2）得
，又因为
，所以
．
答 案
解析
解：
．
答 案
见解析
解析
解：由合分比定理得： 
， 
利用万能公式得： 
， 
模块2：万能代
：万能代换公式
公式
1  84%
2
考法：0
1
−
 4
3
= −
 cos 60 −cos 40
+
2
1 (
∘
∘)
 cos 120 −cos 20
+
2
1 (
∘
∘)
cos 80 −cos 60
2
1 (
∘
∘)
= −
 +
4
3
 cos 40 + cos 80 −cos 20
=
2
1 (
∘
∘
∘)
−
 +
4
3
 2 cos 60 cos 20 −cos 20
=
2
1 (
∘
∘
∘)
−
例题3
cos θ =
 =
cos
+ sin
 
2
2
θ
2
2
θ
cos
−sin
 
2
2
θ
2
2
θ
 
1 + tan
 
2
2
θ
1 −tan
 
2
2
θ
 ∈
2
θ
0,
 
[
2
π ]
tan
 =
2
θ
 
7
 7
−
 
5
2
 5
cos 2 x +
 
=
(
4
π )
−sin2x =
 =
1 + tan x
2
−2 tanx
−
 
5
2
 5
例题4
 =
tan
 −1
2
a
tan
 + 1
2
a
 =
−2
2 tana + c
(
)
−tana + c
(
)
 =
t −1
t + 1
−
 + c
( 1 −t2
2t
)
化简得：
， 
，即
．
答 案
见解析
解析
解：令
．则
， 
利用万能公式将不等式化为： 
， 
即
， 
， 
 
， 
，
， 
即
， 
解之得： 
，
．
答 案
①②③④
解析
首先由公式
可知： 
，于是②成立，然后应用
可知①成立，最后应用比例的性质可知③④也成立．
1
考法：0
1
模块3：三角函数公式
：三角函数公式综合
1 + c t =
(
) 2
c −1
∴t = ±
 
 
c + 1
c −1
tan
 =
2
a
±
 
 
c + 1
c −1
例题5
tan
 =
2
x
t
0 < t < +∞
 >
1 +
 
1+t2
1−t2
 
 
1+t2
2t
1
 >
2t 1 + t
(
2)
2
t +
3
t −2 > 0
t −1
t + t + 2 >
(
) ( 2
)
0
∴t +
2
t + 2 =
t +
 
+
(
2
1 )
2
 >
4
7
0
∴t −1 > 0
t > 1
tan
 >
2
x
1
 <
4
π
 <
2
x
 2
π
 <
2
π
x < π
例题6
tanB =
 =
cos B
sinB
 =
2cos B
2
2 sinB cos B
 
1 + cos 2B
sin2B
tan A +
 
=
(
4
π )
 =
1 + cos 2A + 90
(
∘)
sin 2A + 90
(
∘)
 =
1 −sin2A
cos 2A
 
1 −m
n
 =
n
1 + m
 
1 −m
n
例题7
答 案
见解析
解析
证：
 
 
 
． 
 
 
 
．
答 案
见解析
解析
证：
 
 
 
 
 
． 
 
 
 
 
．
1
1
考法：0
1 cos
 cos
 cos
 ⋯cos
 cos
 
( )
2
α
4
α
8
α
2n−1
α
2n
α
=
 
sin
 
2nα
cos
 cos
 cos
 ⋯cos
 cos
 sin
 
2
α
4
α
8
α
2n−1
α
2nα
2nα
=
 
2 ⋅sin
 
2nα
cos
 cos
 cos
 ⋯cos
 sin
 
2
α
4
α
8
α
2n−1
α
2n−1
α
= ⋯=
 
2 ⋅sin
 
n
2nα
sinα
2 tan α + β + γ =
( )
(
)
tan
α + β + γ
[(
)
]
=
 
1 −tan α + β tanγ
(
)
tan α + β + tanγ
(
)
=
 
1 −tanγ ⋅
 
1−tan α tan β
tan α+tan β
 + tanγ
1−tan α tan β
tan α+tan β
=
 
1 −tanα tanβ −tanβ tanγ −tanγ tanα
tanα + tanβ + tanγ −tanα tanβ tanγ
例题8
1 cos x +
( )
cos x + d +
(
)
⋯+ cos x + nd
(
)
=
 
sin
 2
d
cos x ⋅sin
 + cos x + d ⋅sin
 + ⋯+ cos x + nd ⋅sin
 
2
d
(
)
2
d
(
)
2
d
=
 +
sin
 2
d
 sin
 + x +
 sin
 −x
2
1
( 2
d
)
2
1
( 2
d
)
 +
sin
 2
d
 sin x +
 d +
 sin −
 −x
2
1
(
2
3 )
2
1
(
2
d
)
⋯+
 
sin
 2
d
 sin x +
 d +
 sin −x −
 d
2
1
(
2
2n+1 )
2
1
(
2
2n−1 )
=
 
sin
 2
d
 sin
 −x +
 sin x +
 d
2
1
( 2
d
)
2
1
(
2
2n+1 )
=
 
sin
 2
d
sin
 d cos x +
 d
(
2
n+1 )
(
2
n )
2 sinx +
( )
sin x + d +
(
)
⋯+ sin x + nd
(
)
= cos
 −x
+
( 2
π
)
cos
 −x + d
+
[ 2
π
(
)]
⋯+ cos
 −x + nd
[ 2
π
(
)]
= cos x −
 
+
(
2
π )
cos x −
 + d
+
(
2
π
)
⋯+ cos x −
 + nd
(
2
π
)
=
 =
sin
 2
d
sin
 d cos x −
 +
 d
(
2
n+1 )
(
2
π
2
n )
 
sin
 2
d
sin
 d sin x +
 d
(
2
n+1 )
(
2
n )
答 案
解析
 
 
．
答 案
D
解析
是第二象限角，且
，所以
，
，
，代入求得
；故选D.
答 案
A
解析
解：
， 
则
 
 
 
 
 
． 
故选：A．
1
1  15%
2  64%
例题9
 8
9
sin 10 +
4
∘
sin 50 +
4
∘
sin 70 =
4
∘
 
+
(
2
1 −cos 20∘
)
2
 
+
(
2
1 −cos 100∘
)
2
(
2
1 −cos 140
=
 3 + cos 20 + cos 100 + cos 140 −2 cos 20 −2 cos 100 −2 cos 140
4
1 (
2
∘
2
∘
2
∘
∘
∘
∘)
=
 3 + cos 20 + cos 100 + cos 140 −2 cos 20 −2 × 2 cos 120 cos 20
4
1 (
2
∘
2
∘
2
∘
∘
∘
∘)
=
 
3 +
 +
 +
 
=
4
1 (
2
1 −cos 40∘
2
1 −cos 200∘
2
1 −cos 280∘
)
 8
9
例题10
α
sin(
 +
2
π
α) = −
 
5
 5
sinα =
 
5
2
 5
cos α = −
 
5
 5
 =
2 cos(α −
 )
4
π
cos 2α −1 cos α + 2 sinα
(
)
 
 (cos α + sinα)
2
−2sin α cos α + 2 sinα
2
 =
2 cos(α −
 )
4
π
cos 2α −1 cos α + 2 sinα
(
)
 
5
14
 2
sin
 −x
=
( 6
π
)
 2
1
sin
 −x
+
( 6
19π
)
sin
−
 + x
2 (
3
2π
)
= sin 3π +
 −x
+
(
6
π
)
sin
−
 −
 −x
2 [
2
π
( 6
π
)]
= −sin
 −x
+
( 6
π
)
cos
 −x
2 ( 6
π
)
= −sin
 −x
+
( 6
π
)
1 −sin
 −x
2 ( 6
π
)
= −
 +
2
1
1 −
 
( 2
1 )
2
=
 4
1
答 案
见解析
解析
证明：由
 
 
 
 
 
 
左边等于右边． 
原式成立．
答 案
解析
由
， 
化简即得到
．
答 案
D
解析
， 
， 
． 
故选D．
1
2  85%
1  50%
2
例题11
tan
 −
2
3x
tan
 2
x
=
 −
cos
 
2
3x
sin
 
2
3x
 
cos
 2
x
sin
 2
x
=
 
cos
 cos
 
2
3x
2
x
sin
 cos
 −cos
 sin
 
2
3x
2
x
2
3x
2
x
=
 
cos
 cos
 
2
3x
2
x
sinx
=
 
 cos
 +
 + cos
 −
 
2
1 [
( 2
3x
2
x)
( 2
3x
2
x)]
sinx
=
 
cos x + cos 2x
2 sinx
∴
−
3
tan 70 + 50
=
(
∘
∘)
tan120 =
∘
−
 =
3
 
1 −tan70 tan50
∘
∘
tan70 + tan50
∘
∘
tan70 +
∘
tan50 −
∘
 tan70 tan50 =
3
∘
∘
−
 3
例题12
∵sin2 α + γ +
(
)
sin2β = 2 sin α + γ + β cos α + γ −β =
(
)
(
)
n + 1 sin2β
(
)
sin2 α + γ −
(
)
sin2β = 2 cos α + γ + β sin α + γ −β =
(
)
(
)
n −1 sin2β
(
)
∴
 =
tan α −β + γ
(
)
tan α + β + γ
(
)
 =
2 cos α + γ + β sin α + γ −β
(
)
(
)
2 sin α + γ + β cos α + γ −β
(
)
(
)
 
n −1
n + 1
答 案
解析
由题意知，
，
，而
，
．
．
答 案
见解析
解析
用
代换
中的得
， 
由
得，
，为整数．
1
−
 
10
 2
tanα = 3
sin 2α +
 
=
(
4
π )
 sin2α + cos 2α
2
 2 (
)
sin2α =
 =
1 + tan α
2
2 tanα
 5
3
cos 2α =
 =
1 + tan α
2
1 −tan α
2
−
 5
4
∴sin 2α +
 
=
(
4
π )
 
2
 2
 −
 
=
( 5
3
5
4 )
−
 
10
 2
例题13
 
2 −x
π
f sinx =
(
)
sinnx
x
f cos x =
(
)
sin
 
( 2 −nx
nπ
)
sin
 
=
( 2 −nx
nπ
)
cos nx
n = 4k + 1
k