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2024~2025 学年度第二学期期中考试
高一数学试题
（考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分）
一､单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出 ，进而求出其共轭的虚部.
【详解】衣题意， ， ，
所以 的虚部为 .
故选：B
2. 已知向量 则两向量之间的夹角 为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的夹角公式求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
第 1页/共 15页故选：C
3. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】在 中利用余弦定理化简题干信息即可.
【详解】在 中利用余弦定理，则 ，
得 ，则 为直角三角形.
故选：B
4. 下列关于向量 ，说法正确的是（）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 与 夹角为钝角 D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于 ，当 时 与 不一定共线；对于 ，当 时 不一定等于 ；对于 ，当
时，满足 ；对于 ，根据向量的运算性质即可判断.
【详解】对于 ，当 时，满足 ，但 与 不一定共线，故 错误；
对于 ，当 时， ，但 不一定等于 ，故 错误；
对于 ，当 时，满足 ，此时 与 夹角不是钝角，故 错误；
对于 ，根据向量的运算性质可知 ，故 正确.
故选：D.
5. 已知函数 ，则 的值域为（ ）
A. B. C. D.
第 2页/共 15页【答案】C
【解析】
分析】利用二倍角公式化简函数 ，再利用余弦函数及二次函数求出值域.
【详解】函数 ，而 ，
则当 时，有 ；当 时，有 ，
所以 的值域为 .
故选：C
6. 如图，在矩形 中， 均为边长 2 的等边三角形， 为六边形
边上的动点（含端点），则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的几何图形，求出 在 方向上投影的数量，再利用数量积的定义求出范围.
【详解】令 在 方向上投影的数量为 ，
当点 在线段 上时， ；当点 在线段 上（不含点 ）时， ；
当点 在线段 上（不含点 ）时， ，
则当点 在折线 上时， ，
同理当点 在折线 上时， ，
因此点 为六边形 边上运动时， ，
于是 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B
第 3页/共 15页7. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别平方后相加即可求 ，再用二倍角公式求解即可.
【详解】
①
②
①＋②得：
，
，
故选：
8. 在 中，角 的对边分别为 的面积为 ，且满足条件 ，
为 边上一点， ，则 的边长为（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出 ，再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、
正弦定理求解.
【详解】在 中，由 及余弦定理、面积公式得：
，则 ，而 ，故 ，
第 4页/共 15页在 中， ，
则 ， ，
中， ，
由正弦定理得 .
故选：D
二､多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ，其中 为实数， 为虚数单位，则（ ）
A. 若 为纯虚数，则 或
B. 若复平面内表示复数 的点位于第四象限，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】由纯虚数的定义，求出 的值，即可判断 A；由复数表示的点所在象限，求出 的范围，即可判
断 B；由题意求得 ，求出 的值，即可判断 C；由题意可得 ，再求出 ，即
可判断 D.
【详解】对于 A，因为 为纯虚数，
第 5页/共 15页所以 ，解得 ，故 A 错误；
对于 B，因为复平面内表示复数 的点位于第四象限，
所以 ，解得 ，故 B 正确；
对于 C，当 时， ，
所以 ，故 C 错误；
对于 D，因 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：BD.
10. 如图，在矩形 中， ，点 满足 ，其中 ，设
，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐项求解判断.
【详解】在矩形 中，以点 为原点，射线 分别为 轴非负半轴建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，由 ，得 ，
第 6页/共 15页由 ，得 ， ，
对于 AB， ， ，A 正确，B 错误；
对于 CD， ，C 错误，D 正确.
故选：AD
11. 尺规作图是一种传统的几何作图方法，这种方法仅使用无刻度直尺和圆规这两种工具，通过有限次的操
作步骤完成几何图形的构造.已知 中， ，现需用尺规作图作出该三角形，
下列说法正确的有（ ）
A. 可以作出两个不同的三角形
B. 作出的三角形中没有锐角三角形
C. 作出的三角形中，三角形的面积不变
D. 作出的三角形中， 可能为锐角，也可能为钝角
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理确定三角形的个数，再逐项判断.
【详解】在 中， ，由正弦定理得 ，
由 ，得 ，由 ，得 或 ，
因此可以作出两个不同的三角形， 可能为锐角，也可能为钝角，AD 正确；
当 时， ， 是钝角三角形；当 时， 是钝角三角形，B
正确；
当 时， ；当 时， ，
的面积 有两个不同值，C 错误.
故选：ABD
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ，则 在 上的投影向量的坐标为_______.
【答案】
第 7页/共 15页【解析】
【分析】先求出 ，再由投影向量的坐标表示求出即可.
【详解】由题意可得 ，
在 上的投影向量为 ，
所以 在 上的投影向量的坐标为 ，
故答案为： .
13. 已知 ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用平方关系及正余弦齐次式法求得目标值.
【详解】由 ，得 .
故答案为：
14. 在 中， 是 边上靠近 的四等分点，过点 的直线分别交直线 于不同的两点
，设 ，其中 ，则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件可得 ，再利用共线向量定理的推论及基本不等式求出最大值.
【详解】在 中，由 是 边上靠近 的四等分点，得 ，则 ，
而 ，则 ，由 共线，得 ，
又 ，因此 ，当且仅当 时取等号，
第 8页/共 15页因此 ， ，
所以当 时， 取得最大值 .
故答案为：
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 满足 与 的夹角为 .
（1）求 ；
（2）当 为何值时，向量 与 垂直？
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用数量积的定义求出 ，再利用数量积的运算律求出模.
（2）利用垂直关系的向量表示列式，再利用数量积的运算律求解.
【小问 1 详解】
由 与 的夹角为 ，得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由向量 与 垂直，得
，解得 ，
所以当 时，向量 与 垂直.
16. 已知向量 ，函数 .
第 9页/共 15页（1）求函数 的周期，最大值，最小值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）周期为 ，最大值为 2，最小值为 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出 ，再利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合正弦函数的性
质求解.
（2）由（1）求得 ，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解.
【小问 1 详解】
向量 ，
则 ，
所以函数 的周期为 ，最大值为 2，最小值为 .
【小问 2 详解】
由 ，得 ，
所以 .
17. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）若 ，求角 ；
（2）若 的平分线与边 交于点 ，且 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据条件限制出 的范围，并求出 ，然后在 中利用正弦定理即可；
（2）先证明角平分线定理并得出 ，，再利用余弦定理得出 的值，即可利用面积公式求解.
【小问 1 详解】
第 10页/共 15页因 ，且 ，
则 且 ，
在 中利用正弦定理得， ，即 ，得 ，
因 ，则 或 ，
若 ，则 ，不符合题意；若 ，则 ，
故 .
【小问 2 详解】
因 是 的角平分线，且 ，
则 ，则 ，
在 中利用余弦定理得， ，
得 ，则 ，
则 的面积 .
18. 在 中，角 的对边分别为 为锐角三角形，已知 ，且满足条件
.
（1）求 的大小；
（2）求 取值范围；
第 11页/共 15页（3）求 的内切圆半径 的最大值.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出 .
（2）利用正弦定理，结合和差角 正余弦公式求出 的范围.
（3）利用三角形面积公式可得 ，结合（2）中信息求出 最大值即可.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
在锐角 中，由余弦定理得 ，而 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，则 ，令 ，由锐角 ，得 ，
由正弦定理得 ，则 ，
因此
，
由 ，得 ，则 ， ，
所以 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
由（2）得 ，
第 12页/共 15页又 ，则 ，由 ，
得 ，
则当 ，即 时， ，
所以 的内切圆半径 的最大值 .
19. 设 是平面内相交成 的两条射线， 分别是与 同向的单位向量，定义平
面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 ，则记 .
（1）在 仿射坐标系中
①若 ，求 ；
②若 且 与 的夹角为 ，求 ；
（2）如图所示，在 仿射坐标系中， 分别在 轴、 轴正半轴上，且 ，点 分别为
的中点，求 的最大值.
【答案】（1）① ；②
（2） .
【解析】
【分析】（1）①利用数量积的定义及运算律求出 ；②由 表示出 和 及 ，再利用夹角公
式建立方程求解.
（2）设出点 的坐标，用 表示 ，利用数量积的运算律，结合正余弦定理及三角恒等变换
求出最大值.
第 13页/共 15页【小问 1 详解】
①由 ，得 ，
则 ，
所以 ；
②由 ，即 ，
得 ，
，
，
由 与 的夹角为 ，得 ，得 ，而 ，
所以 .
【小问 2 详解】
依题意，设 ， ，
，在 中，由余弦定理得 ，
由 为 中点，得 ，
由 为 中点，得 ，
则
，
在 中，由正弦定理得 ，
设 ，则 ，
第 14页/共 15页，其中锐角 由 确定，
由 ，得 ，则当 时， ，
所以 的最大值为 .
第 15页/共 15页
