文档内容
2024~2025 学年度第二学期期中考试
高一数学试题
（考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分）
一､单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知向量 则两向量之间 夹角 为（ ）
A B. C. D.
3. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
4. 下列关于向量 ，说法正确的是（）
A 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 与 夹角为钝角 D.
5. 已知函数 ，则 的值域为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，在矩形 中， 均为边长 2 的等边三角形， 为六边形
边上的动点（含端点），则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ，则 （ ）
第 1页/共 4页A B. C. D.
8. 在 中，角 的对边分别为 的面积为 ，且满足条件 ，
为 边上一点， ，则 的边长为（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
二､多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ，其中 为实数， 为虚数单位，则（ ）
A. 若 为纯虚数，则 或
B. 若复平面内表示复数 的点位于第四象限，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
10. 如图，在矩形 中， ，点 满足 ，其中 ，设
，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 尺规作图是一种传统的几何作图方法，这种方法仅使用无刻度直尺和圆规这两种工具，通过有限次的操
作步骤完成几何图形的构造.已知 中， ，现需用尺规作图作出该三角形，
下列说法正确的有（ ）
A. 可以作出两个不同的三角形
B. 作出的三角形中没有锐角三角形
C. 作出的三角形中，三角形的面积不变
第 2页/共 4页D. 作出的三角形中， 可能为锐角，也可能为钝角
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ，则 在 上的投影向量的坐标为_______.
13. 已知 ，则 __________.
14. 在 中， 是 边上靠近 的四等分点，过点 的直线分别交直线 于不同的两点
，设 ，其中 ，则 的最大值为__________.
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 满足 与 的夹角为 .
（1）求 ；
（2）当 为何值时，向量 与 垂直？
16. 已知向量 ，函数 .
（1）求函数 的周期，最大值，最小值；
（2）若 ，求 的值.
17. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）若 ，求角 ；
（2）若 的平分线与边 交于点 ，且 ，求 的面积.
18. 在 中，角 的对边分别为 为锐角三角形，已知 ，且满足条件
.
（1）求 的大小；
（2）求 取值范围；
（3）求 的内切圆半径 的最大值.
19. 设 是平面内相交成 的两条射线， 分别是与 同向的单位向量，定义平
面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 ，则记 .
第 3页/共 4页（1）在 仿射坐标系中
①若 ，求 ；
②若 且 与 的夹角为 ，求 ；
（2）如图所示，在 仿射坐标系中， 分别在 轴、 轴正半轴上，且 ，点 分别为
的中点，求 的最大值.
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