初识平面向量
模块1
平面向量的概念
4
模块2
平面向量的基本运算
6
利用坐标研究平面向量
模块1
平面向量的共线与坐标运算
18
模块2
余弦定理及其应用
33
解三角形问题
模块1
正弦定理及其应用
30
模块2
余弦定理及其应用
33
复数
模块1
复数的概念
42
模块2
复数的运算
44
模块3
复数的几何意义
48
目录
Contents
空间几何体
模块1
空间几何体的初步认识
54
模块2
空间几何体的体积和表面积
59
空间中的平行关系
模块1
点线面的位置关系
66
模块2
空间中的平行关系的判定
68
空间中的垂直关系
模块1
空间中的垂直关系的认识
78
模块2
空间中的垂直关系的判定
79
第1 讲
初识平面向量
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3
1
知识引航
向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公
元前350 年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四
边形法则来得到。
“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学
家牛顿。
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19 世纪末、20 世
纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利
用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b 为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定
义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们
逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。
但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要
寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19 世纪中期，英国数学家哈密顿发明了四元数（包括数量部分和
向量部分），以代表空间的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础。随后，电磁理论的发现
者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。
三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的吉布斯和海维塞德于19 世纪80 年代各自独立
完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法，
即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中
来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。
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4
1
1
模块
1
平面向量的概念
知识凝炼
1
向量的概念与表示
我们把具有大小和方向的量称为向量．向量可以由有向线段来表示.
向量的表示有两种方法：
⑴几何表示法：用有向线段表示向量.
⑵字母表示法：一个单独的字母加箭头−→a 或者双大写字母−→
AB，注意起点在前，终点在后．
向量−→
AB 的大小或长度叫做向量的模，记作|−→
AB|．
2
向量的关系
相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量．
相反向量：大小相等而方向相反的向量叫做相反向量.
平行（共线）向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，向量−→a 平行于向量−→b ，记作−→a //−→b ．
3
零向量
长度等于零的向量，叫做零向量．记作：−→0 ．
4
单位向量
长度等于1 的向量，叫做单位向量．
精讲精练
考点1: 平面向量的概念辨析
例1
★★
判断下列说法的正误：
（1）若−→a //−→b 且−→b //−→c ，则−→a //−→c ．
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5
1
（2）与非零向量−→a 平行的单位向量只有一个．
（3）−→
AB 与−→
CD 是共线向量，则A、B、C、D 四点共线．
（4）两平行非零向量所在直线平行．
（5）若
−→a
>
−→b
，则−→a > −→b ．
达标检测1
★★
正确率：52%
下列说法正确的是( )
A. 共线向量一定在同一条直线上
B. 向量−→a 与−→b 不共线，则−→a 与−→b 都不是零向量
C. 向量−→
AB//−→
CD，则AB//CD
D. 两个共线的单位向量相等
达标检测2
★★★
正确率：80%
下列说法正确的是( )
A. 如果两个向量的长度相等，那么这两个向量一定相等
B. 如果
−→a
>
−→b
，那么−→a > −→b
C. 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
D. 在平行四边形ABCD 中，−→
AB = −→
CD
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6
1
2
模块
2
平面向量的基本运算
知识凝炼
1
向量的加法
⑴三角形法则
已知向量−→a 、−→b ，在平面上任取一点A，作−→
AB =−→a ，−→
BC =−→b ，再作向量−→
AC，则向量−→
AC 叫做−→a 与−→b 的和
（或和向量），记作−→a +−→b ，即−→a +−→b =−→
AB+−→
BC = −→
AC.
⑵平行四边形法则
已知两个不共线的向量−→a ，−→b ，作−→
AB =−→a ，−→
AD =−→b ，则A，B，D 三点不共线，以−→
AB，−→
AD 为邻边作平行四边
形ABCD，则对角线上的向量−→
AC =−→a +−→b .
⑶向量加法的运算律
①向量加法的交换律：−→a +−→b = −→b +−→a ；
②向量加法的结合律：
(−→a +−→b
)
+−→c = −→a +
(−→b +−→c
)
；
2
向量的减法
一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
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7
1
精讲精练
考点2: 平面向量的加法和减法
例2
★★
下列向量的线性运算正确的是( )
A. −→
AB+−→
AC = −→
BC
B. −→
AB+−→
CB = −→
AC
C. −→
AB−−→
CB = −→
AC
D. −→
AB−−→
AC = −→
BC
达标检测3
★★
正确率：84%
向量
(−→
AB+−→
MB
)
+
(−→
BO+−→
BC
)
+−−→
OM 化简后等于( )
A. −→
BC
B. −→
AB
C. −→
AC
D. −→
AM
例3
★★★
在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则−→
AD−−→
AC =( )
A. −→
CB
B. −→
BC
C. 1
2
−→
CB
D. 1
2
−→
BC
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8
1
例4
★★
化简：−→
AB−−→
DC −−→
CB =( )
A. −→
AD
B. −→
AC
C. −→
DA
D. −→
DB
例5
★★★
如图，在矩形ABCD 中，−→
AO+−→
OB+−→
AD=( )
A. −→
AB
B. −→
AC
C. −→
AD
D. −→
BD
达标检测4
★★★
正确率：69%
在四边形ABCD 中，−→
AB = −→a ，−→
AD = −→b ，−→
BC = −→c ，则−→
DC =( )
A. −→a −−→b +−→c
B. −→b −(−→a +−→c )
C. −→a +−→b +−→c
D. −→b −−→a +−→c
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9
1
例6
★★★
图中的小网格由大小相等的小正方形拼成，则向量−→
AC −−→
BC =( )
A. −→
e1 +3−→
e2
B. −→
e1 −3−→
e2
C. −−→
e1 +3−→
e2
D. −−→
e1 −3−→
e2
例7
★★★★
已知−→
OA = −→a ，−→
OB = −→b ，且
−→
OA
= 5，
−→
OB
= 12，∠AOB = 90◦，则
−→a −−→b
=
．
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10
1
知识凝炼
1
向量的数乘
数乘向量：我们规定实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ−→a
它的长度与方向规定如下：
(1)|λ−→a | = |λ||−→a |；
(2) 当λ > 0 时，λ−→a 与−→a 同向；λ < 0，λ−→a 与−→a 反向；λ = 0 时，λ−→a 是零向量．
2
向量数乘的运算律
(1)λ (µ−→a ) = λµ−→a ；
(2)(λ + µ)−→a = λ−→a + µ−→a ；
(3)λ
(−→a +−→b
)
= λ−→a +λ−→b
精讲精练
考点3: 平面向量的数乘
例8
★★
设λ，u ∈R，下面叙述不正确的是( )
A. λ (u−→a ) = (λu)−→a
B. (λ +u)−→a = λ−→a +u−→a
C. λ
(−→a +−→b
)
= λ−→a +λ−→b
D. λ−→a 与−→a 的方向相同(λ̸ = 0)
例9
★★★
已知点P 在线段AB 上，且
−→
AB
= 3
−→
AP
，设−→
AP = λ−→
PB，则实数2λ =
．
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11
1
例10 ★★★
若−→
P1P = −2
5
−→
PP2，−−→
P1P2 = λ−→
PP1，则λ 的值为
．
考点4: 平面向量综合运算
例11
★★
计算：6
(−→a −−→b +−→c
)
−4
(−→a −2−→b +−→c
)
−2(−2−→a +−→c )．
达标检测5
★★
若−→a 、−→b 、−→c 是平面内任意三个向量，λ ∈R，则下列关系式中，不一定成立的是( )
A. −→a +−→b = −→b +−→a
B. λ
(−→a +−→b
)
= λ−→a +λ−→b
C.
(−→a +−→b
)
+−→c = −→a +
(−→b +−→c
)
D. −→b = λ−→a
例12 ★★★
正确率：60%
如图，已知−→
AB = −→a ，−→
AC = −→b ，−→
DC = 3−→
BD，−→
AE = 2−→
EC，则−→
DE =( )
A. 3
4
−→b −1
3
−→a
B. 5
12
−→a −3
4
−→b
C. 3
4
−→a −1
3
−→b
D. 5
12
−→b −3
4
−→a
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12
1
例13 ★★★★正确率：21%
如图，在△ABC 中，已知−→
AN = 1
2
−→
AC，P 是BN 上一点，若−→
AP = m−→
AB+ 1
4
−→
AC，则实数2m 的值是
．
例14 ★★★★
正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若−→
AE = λ−→
AB+ µ−→
AC，则λ + µ 的值为
．
例15 ★★★★
如图，在长方形ABCD 中，M，N 分别为线段BC，CD 的中点，若−−→
MN = λ1
−→
AM + λ2
−→
BN，λ1，λ2 ∈R，则
λ1 +λ2 的值为
．
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13
1
随堂测试
测试1
正确率：53%
下列说法正确的是( )
A. 若−→a //−→b 且−→b //−→c ，则−→a //−→c
B. 若−→a = −→b 且−→b = −→c ，则−→a = −→c
C. 与非零向量−→a 共线的单位向量只有一个
D. 在平行四边形ABCD 中，−→
AB = −→
CD
测试2
正确率：57%
设−→
a0 为单位向量，①若−→a 为平面内的某个向量，则−→a = |−→a |−→
a0；②若−→a 与−→
a0 平行，则−→a = |−→a |−→
a0；
③若−→a 与−→
a0 平行且|−→a | = 1，则−→a = −→
a0．上述命题中，假命题的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
测试3
正确率：62%
下列说法正确的个数是( )
①方向相同的向量叫相等向量；
②零向量的长度为0；
③共线向量是在同一条直线上的向量；
④零向量是没有方向的向量；
⑤共线向量不一定相等；
⑥平行向量方向相同．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
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14
1
春季你会遇见
正确率：71%
G 为△ADE 的重心，点P 为△DEG 内部(含边界) 上任一点，B,C 均为AD,AE 上的三等分点(靠
近点A)，−→
AP = α−→
AB+β−→
AC(α,β ∈R)，则α + 1
2β 的范围是( )
A. [1,2]
B. [1, 3
2]
C. [3
2,2]
D. [3
2,3]
答案
D
解析
解:G 为△ADE 的重心，点P 为△DEG 内部(含边界) 上任一点，B,C 均为AD,AE 上
的三等分点(靠近点A)，∴当点P 在点D 处，α = 3,β = 0,α + 1
2β = 3；当点P 在点E 处，
α = 0,β = 3,α + 1
2β = 3
2；当点P 在点G 处，α = 1,β = 1,α + 1
2β = 3
2；故选:D
寒假我们学习了平面向量的基本概念和线性运算，在春季学期我们会学习数量积运算和向量分解的
构造方法. 相对难度也会有很大提升.
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15
1
课堂总结
第2 讲
利用坐标研究平
面向量
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17
2
知识引航
线性代数是数学中的一个重要分支, 尽管在20 世纪才独立成一个体系, 但它的历史非常久远. 线性代数的
核心，其实就是向量和其上的矩阵. 在费马和笛卡尔的工作下, 现代意义的线性代数才真的出现, 而且在相当长
的一段时间内, 其核心就是我们在高中阶段将要学习的平面向量和空间向量.
线性代数在现代数学中具有绝对核心的地位, 数据分析、计算机图形学、工程分析, 没有任何例外的都高度
依赖于线性代数的理论, 而平面向量的坐标表示, 就是我们在研究线性代数时的基础内容.
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18
2
1
模块
1
平面向量的共线与坐标运算
知识凝炼
向量共线的条件（平行向量基本定理）
如果−→a = λ−→b ，则−→a //−→b ；反之，如果−→a //−→b ，且−→b̸ = −→0 ，则一定存在唯一的一个实数λ，使−→a = λ−→b ．
精讲精练
考点1: 向量共线定理的应用
达标检测1
★★
下列四个结论：①若向量−→a 与−→b 共线，则存在实数λ，使得−→b = λ−→a ；②若向量−→a 与−→b 共线，则存
在实数m，n 使得m−→a = n−→b ；③若存在实数λ，使得−→b = λ−→a ，则向量−→a 与−→b 共线；④若存在实数
m，n，使得m−→a = n−→b ，则向量−→a 与−→b 共线．其中正确的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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19
2
例1
★★
若向量λ−→
e1 −−→
e2 与−→
e1 −λ−→
e2 共线，其中−→
e1，−→
e2 为不共线的单位向量，则实数λ 的值等于
．
例2
★★
正确率：66%
向量−→a 、−→b 不共线，向量λ1−→a +2−→b 与−→a −λ2
−→b 共线，则λ1 与λ2 满足关系式
．
例3
★★★
已知−→
AB = −→a +5−→b ，−→
BC = −2−→a +8−→b ，−→
CD = 3
(−→a −−→b
)
，则( )
A. A、B、D 三点共线
B. A、B、C 三点共线
C. B、C、D 三点共线
D. A、C、D 三点共线
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20
2
知识凝炼
1
平面向量基本定理：如果−→
e1，−→
e2 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量−→a ，
有且只有一对实数λ1、λ2，使−→a = λ1−→
e1 +λ2−→
e2.−→
e1，−→
e2 叫做这一平面内的一组基底．
精讲精练
考点2: 平面向量基本定理
达标检测2
★★★
正确率：74%
下列有关平面向量分解定理的四个命题：
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③平面向量的基底可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．
其中正确命题的个数是( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
例4
★★
正确率：25%
若−→
e1 和−→
e2 是表示平面内的一组基底，则下面四组向量中不能作为一组基底的个数为( )
①−→
e1 和−→
e1 +−→
e2；②−→
e1 −2−→
e2 和4−→
e1 −2−→
e2；③−→
e1 +−→
e2 和−→
e1 −−→
e2；④2−→
e1 −−→
e2 和1
2
−→
e2 −−→
e1．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
达标检测3
★★★
如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，−→
BG = 2−→
GO，设−→
CD//−→
AG，若−→
AD = 1
5
−→
AB+λ−→
AC(λ ∈R)，则λ
的值为( )
A. 1
5
B. 1
2
C. 6
5
D. 2
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21
2
知识凝炼
1
向量的直角坐标
如果基底的两个基向量−→
e1、−→
e2，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分
解．
2
向量的坐标表示
在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量−→
OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(x,y)，由平面向量
基本定理，有−→
OA = x−→
e1 +y−→
e2 = (x,y)，即点A 的位置向量−→
OA 的坐标(x,y)，也就是点A 的坐标；反之，点A 的
坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量−→
OA 的坐标．
3
向量的坐标运算
⑴设−→a = (a1,a2)，−→b = (b1,b2)，则
①−→a +−→b = (a1 +b1,a2 +b2)；
②−→a −−→b = (a1 −b1,a2 −b2)；
③λ−→a = λ(a1,a2) = (λa1,λa2)；
⑵若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量−→
AB = −→
OB−−→
OA = (x2 −x1,y2 −y1)，即：一个向量的坐标等于向量终点的坐
标减去始点的坐标．
精讲精练
例5
★★
已知点A(0,1),B(3,2)，向量−→
BC = (−7,−4)，则向量−→
AC =( )
A. (10,7)
B. (10,5)
C. (−4,−3)
D. (−4,−1)
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22
2
达标检测4
★★
已知直角坐标系中点A(0,1)，向量−→
AB = (−4,−3)，−→
BC = (−7,−4)，则点C 的坐标为( )
A. (11,8)
B. (3,2)
C. (−11,−6)
D. (−3,0)
例6
★★★
已知O 为原点，A(−1,3)，B(2,−4)，−→
OP = 2−→
OA+m−→
OB，若点P 在y 轴上，则实数m =( )
A. 0
B. 1
C. −1
D. −2
例7
★★★
正确率：73%
已知向量−−→
OM = (−2,3)，−→
ON = (−1,−5)，则1
2
−−→
MN =( )
A. (8,1)
B.
(
1
2,−4
)
C.
(
−1
2,4
)
D.
(
−1,−1
2
)
例8
★★★★
在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若−→
AB = (2,4)，−→
AC = (1,3)，则−→
BD =
．
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23
2
2
模块
2
坐标法研究平面向量
知识凝炼
1
向量共线的坐标表示
设−→a = (a1,a2)，−→b = (b1,b2)
则−→a //−→b ⇔a1b2 −a2b1 = 0；
2
向量的模长
向量的长度公式：|−→a | =
√
a2
1 +a2
2.
推论：如果A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|−→
AB| =
√
(x2 −x1)2 +(y2 −y1)2．
精讲精练
例9
★★
（1）已知向量−→a = (1,2)，−→b = (2x,−3)，若−→a //−→b ，则x =( )
A. 3
B. 3
4
C. −3
D. −3
4
（2）若平面向量−→a = (x,1)，−→b = (2,3x−1)，若−→a //−→b ，则x =( )
A. 1
5
B. −2
3
C. 1 或−2
3
D. 1 或1
5
（3）设向量−→a = (m,2)，−→b = (1,m+1)，且−→a 与−→b 的方向相反，则实数m 的值为( )
A. −2
B. 1
C. −2 或1
D. m 的值不存在
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24
2
达标检测5
★★★
已知向量−→a = (1,1)，2−→a +−→b = (4,3)，−→c = (x,−2)，若−→b //−→c ，则x 的值为( )
A. 4
B. −4
C. 2
D. −2
例10 ★★★
已知平面向量−→a = (1,−3)，−→b = (−2,0)，则
−→a +2−→b
=( )
A. 3
√
2
B. 3
C. 2
√
2
D. 5
例11
★★★
已知平面向量−→a = (2m+1,3)，−→b = (2,m)，若−→a ，−→b 平行且方向相反，则
−→a +−→b
等于( )
A.
√
2
B. 15
2 或
√
2
C. 15
2
D. 10
√
2
7
例12 ★★★★
已知向量⃗a = (4,2)，向量⃗b = (2−k,k −1)，若
⃗a+⃗b
=
⃗a−⃗b
，则k 的值为
．
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25
2
随堂测试
测试1
正确率：65%
下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是( )
A. −→
e1 = (0,2)，−→
e2 = (0,−1)
B. −→
e1 = (2,1)，−→
e2 = (0,0)
C. −→
e1 = (3,1)，−→
e2 =
(
5, 5
3
)
D. −→
e1 = (−2,1)，−→
e2 = (4,2)
测试2 已知向量⃗a = (−3,4)，则下列能使⃗a = λ−→
e1 + µ−→
e2 (λ,µ ∈R) 成立的一组向量−→
e1,−→
e2 是( )
A. −→
e1 = (0,0),−→
e2 = (−1,2)
B. −→
e1 = (−1,3),−→
e2 = (2,−6)
C. −→
e1 = (−1,2),−→
e2 = (3,−1)
D. −→
e1 =
(
−1
2,1
)
,−→
e2 = (1,−2)
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26
2
春季你会遇见
设m ∈R，向量−→a = (1,−2)，−→b = (m,m−2)，若−→a ⊥−→b ，则m 等于( )
A. −2
3
B. 2
3
C. −4
D. 4
答案
D
解析
解：−→a = (1,−2)，−→b = (m,m−2)，
∵−→a ⊥−→b ，
∴−→a ·−→b = m−2m+4 = 0，m = 4，
故选D．
寒假我们学习了平面向量的基本概念和计算方法，在春季我们会继续学习数量积的计算，以及
等和线、最值问题等等相关的知识.
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27
2
课堂总结
第3 讲
解三角形问题
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29
3
知识引航
在非著名游戏Bridge Constructor（桥梁构造者）中，玩家需要客串搬砖民工，在资金有限的情况下，建造出
一座足够牢固的大桥，保障过往车辆的安全. 如果不幸你失败了，那么大概就会变成下面这样：
或者这样：
在构筑一座靠谱的桥梁的过程中，我们很容易发现，三角形的结构是最稳定的，成功的桥梁大概像下面这
样：
或者这样：
那么问题来了，网校最帅——哦不，为什么三角形能够具有如此优越的稳定性？能够在起重机、屋顶、吊臂、
桥梁等诸多方面有如此多的应用呢？
通俗一点来理解的话，当所有的边长都固定以后，其余的多边形的形状都是不固定的，会有无穷多种情况，
而对于三角形而言，就只会有一种情况，正是这种确定性，导致了它的稳固.
也正是因为这种确定性，使得我们能够确定一个三角形的形状，称为解三角形.
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30
3
1
模块
1
正弦定理及其应用
知识凝炼
1
解三角形
一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形．
2
正弦定理
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R（R 为△ABC 的外接圆半径）
精讲精练
例1
★★
（1）正确率：82%
在△ABC 中，已知A = 60◦,B = 45◦,b=4，则a =( )
A.
√
5
B.
√
6
C. 2
√
6
D. 2
√
7
（2）正确率：65%
在△ABC 中，角A、B、C 的对应边分别是a、b、c．已知A = 75◦，B = 45◦，c = 4，则b =( )
A. 4
√
6
3
B. 4
√
3
3
C. 4
√
6
D. 2
√
6
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31
3
达标检测1
★★
在△ABC 中，已知cosB = 4
5，b = 2，A=30◦，则a =( )
A. 5
3
B. 4
3
C. 5
4
D. 3
4
例2
★★★
（1）在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c．已知B = 45◦,b = 2,a =
√
6，求A．
（2）在△ABC 中，角A、B、C 对边分别是a、b、c．已知A = 45◦,b =
√
3,a =
√
6，求B．
（3）在△ABC 中，已知a = 5
√
2，c = 10，A = 30◦，则B 等于
．
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32
3
达标检测2
★★★
在△ABC 中，b = 19 ，c = 20 ，B = 60◦，那么这样的三角形有( )
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
例3
★★★
在锐角△ABC 中，BC = 1，B = 2A，则AC 的取值范围是
．
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33
3
2
模块
2
余弦定理及其应用
知识凝炼
余弦定理
c2 = a2 +b2 −2abcosC
b2 = a2 +c2 −2accosB
a2 = b2 +c2 −2bccosA
或者变形为：
cosC = a2 +b2 −c2
2ab
cosB = a2 +c2 −b2
2ac
cosA = b2 +c2 −a2
2bc
.
精讲精练
例4
★★
（1）正确率：83%
在△ABC 中，已知A = 60◦,b = 2,c = 3，则a =( )
A.
√
5
B.
√
6
C.
√
7
D. 2
√
2
（2）在△ABC 中，若AB = 2，BC = 3，cosB = −1
4，则cosC =( )
A. 7
8
B. 5
8
C. 2
3
D. 1
2
（3）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c．已知a =
√
5，c = 2，cosA = 2
3，则b =( )
A.
√
2
B.
√
3
C. 2
D. 3
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34
3
例5
★★
在△ABC 中，a =
√
3，b = 1，c = 2，则A =( )
A. 30◦
B. 45◦
C. 60◦
D. 75◦
达标检测3
★★
正确率：55%
在△ABC 中，已知b2 = a2 −c2 −
√
3bc，则A =( )
A. 105◦
B. 120◦
C. 135◦
D. 150◦
达标检测4
★★★
正确率：66%
在三角形ABC 中，AB = 5，BC = 6，AC = 8，则三角形ABC 的形状是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 非钝角三角形
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35
3
例6
★★★★正确率：74%
若△ABC 为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x 的取值范围是( )
A.
(
1,
√
5
)
B.
(√
13,5
)
C.
(√
5,
√
13
)
D.
(
1,
√
5
)
∪
(√
13,5
)
达标检测5
★★★★
设m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( )
A. 0 < m < 3
B. 1 < m < 3
C. 3 < m < 4
D. 4 < m < 6
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36
3
随堂测试
测试1
正确率：61%
△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角A，B，C 所对的边长，若a : b : c = 5 : 11 : 13，则该三角形的形状为
( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定
测试2
正确率：66%
在△ABC 中，若sin2A+sin2B < sin2C，则△ABC 的形状是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定
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37
3
春季你会遇见
正确率：63%
在△ABC 中，已知(a+b+c)(a−b−c) = −3bc，则A =( )
A. 30◦
B. 150◦
C. 60◦
D. 120◦
答案
C
解析
(a+b+c)(a−b−c) = −3bc 展开移项得b2 +c2 −a2 = bc，
由余弦定理，得cosA = b2 +c2 −a2
2bc
= 1
2，∴A = 60◦．
我们已经学习过了正弦定理和余弦定理的基本内容。春季我们会看到它们结合起来共同解决
问题，以及涉及到三角形中线、角平分线等等问题的应用，加油！
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38
3
课堂总结
第4 讲
复数
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41
4
知识引航
复数的历史
16 世纪意大利米兰学者卡丹在1545 年发表了《重要的艺术》一书中, 公布了三次方程的一般解法, 被后
人称为“卡丹公式”, 他是第一个把负数的平方根写到公式中得数学家. 他在讨论能否把写出两个数使得它们的
和是10 的同时乘积是40，他写下了两个数5±
√
−15, 尽管他认为
√
−15 是没有意义的, 可还是把答案写成这
样.
1637 年, 法国数学家笛卡尔在《几何学》一书中提出：
“虚的数”与“实的数相对应”. 自此, 虚数流传开来,
但却引起数学家的一片困惑. 很多大数学家都不承认.1702 年德国数学家莱布尼茨说:“虚数是神灵循迹的精微
而奇异的隐避所, 它大概是存在和虚妄两界中的两栖物.”欧拉也说过:“一切形如√−1 的数学式子是不可能有
的”,“它们纯属虚幻的”.
然而. 真理是经得起考验的.
1747 年, 法国数学家达朗贝尔指出按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算的结果总是a+bi
(
a,b是实数
)
的形式.
1748 年, 欧拉发现了有名的关系式eiπ+ 1 = 0 并且在1777 年发表的《微分公式》中第一次用了i 来表
示−1 的平方根.
1779 年, 挪威的测量学家成塞尔给虚数以直观的几个解释并首先发表了其作法, 但没有引起学术界的重
视.
1806 年, 德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法, 又在1832 年提出“复数”这个名词, 并且将复数的知
识系统的表述出来. 终于虚数在高斯手中得到发展.
自此复数理论才比较完整和系统的建立起来.
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42
4
1
模块
1
复数的概念
知识凝炼
复数的概念
1
虚数单位i：i2 = −1
2
复数：所有形如a+bi(a,b ∈R) 的数称为复数，复数通常用小写字母z 表示，即z = a+bi(a,b ∈R)，其中a
叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.
3
复数的分类：z = a+bi（a,b ∈R）
若b = 0，则z 为实数；
若b̸ = 0，则z 为虚数；特别地,a = 0，b̸ = 0 时，z 称为纯虚数．
4
复数集：全体复数所构成的集合，常用C 表示，即C = {z|z = a+bi,a ∈R,b ∈R}．
5
复数的模长：复数z = a+bi 的模长为
√
a2 +b2，用符号|z| 表示.
精讲精练
考点1: 复数的概念
例1
★★
若x ∈R，当x 取何值时，
(
x2 +x−2
)
+
(
x2 −3x+2
)
i 是实数？虚数？纯虚数？
例2
★★
复数z =
(
m2 −m−4
)
+
(
m2 −5m−6
)
i(m ∈R)，如果z 是纯虚数，那么m =
．
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43
4
达标检测1
★★
若2i2 +ai = b+4i，其中a，b ∈R，i 为虚数单位，则a+b =( )
A. −2
B. −1
C. 0
D. 2
例3
★★★
已知(x−3)+
(
x2 −14x+40
)
i > 5，则实数x =
．
达标检测2
★★★
已知复数z = x+yi(x,y ∈R)，若−3+3i = x+(y−1)i，则|z| =( )
A. 2
B.
√
2
C.
√
5
D. 5
例4
★★★★
复数z1 = a+2i，z2 = −2+i，若|z1| < |z2|，则实数a 的取值范围是( )
A. (−1,1)
B. (1,+∞)
C. (0,+∞)
D. (−∞,−1)∪(1,+∞)
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44
4
2
模块
2
复数的运算
知识凝炼
1
复数的加法
定义：设z1 = a+bi(a,b ∈R)，z2 = c+di(c,d ∈R)，定义z1 +z2 = (a+c)+(b+d)i．
复数的加法运算满足交换律、结合律．
2
复数的减法：
定义：z1 −z2 = (a+bi)−(c+di) = (a−c)+(b−d)i．
3
复数的乘法
定义：z1 ·z2 = (a+bi)·(c+di) = (ac−bd)+(bc+ad)i
复数的乘法符合多项式的运算，且满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
4
共轭复数：
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z 的共轭复数用z 表示，即当z = a+bi 时，z = a−bi．¯¯z = z．
5
复数的除法
(a+bi)÷(c+di) = a+bi
c+di = (a+bi)(c−di)
c2 +d2
，
1
z =
1
a+bi =
a−bi
(a+bi)(a−bi) = a−bi
a2 +b2 =
z
|z|2 ，1
z 称为复数z（z̸ = 0）的倒数．
精讲精练
考点2: 复数的四则运算
达标检测3
★★
(6−3i)−(3i+1)+(2−2i) 的结果为( )
A. 5−3i
B. 3+5i
C. 7−8i
D. 7−2i
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45
4
例5
★★★
已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi = 1−i，则z2 =( )
A. −2i
B. 2i
C. −2
D. 2
例6
★★
复数
2
1−i =( )
A.
√
2+
√
2i
B.
√
2
2 +
√
2
2 i
C. 1−i
D. 1+i
例7
★★
1+2i
3−4i =
．
例8
★★★
复数4−2i
(1+i)2 =( )
A. 1−2i
B. 1+2i
C. −1+2i
D. −1−2i
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46
4
例9
★★★
已知复数z 满足(2+i)z = 2−i(i 为虚数单位)，则z =( )
A. 3+4i
B. 3−4i
C. 3
5 + 4
5i
D. 3
5 −4
5i
达标检测4
★★★
正确率：63%
若复数a+3i
1+2i (a ∈R) 为纯虚数，则实数a =( )
A. 6
B. −6
C. −3
2
D. 3
2
考点3: 共轭复数及其性质
例10 ★★
复数3+4i 的共轭复数是( )
A. 3−4i
B. 3+4i
C. −3+4i
D. −3−4i
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47
4
考点4: 复数运算综合
例11
★★★
已知复数z = 1−3i
1+2i，则|z|=( )
A. 2
B.
√
2
C.
√
10
D. 5
达标检测5
★★★
若z = 4+3i，则
¯z
|z| =( )
A. 1
B. −1
C. 4
5 + 3
5i
D. 4
5 −3
5i
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48
4
3
模块
3
复数的几何意义
知识凝炼
复数的几何意义
1
复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i．实轴与虚轴的交点叫做原点，
原点(0,0) 对应复数0．
复数z = a+bi 在复平面中可以表示为点(a,b).
2
复数的模：
从直角坐标系中看，复数的模长就是其所对应的点到原点的距离.
3
复数的运算：
复数的运算从向量角度来看，复数的加法就是向量的加法，复数的减法就是向量的减法.
4
复数的共轭
两个共轭复数在坐标系中是关于实轴对称的.
精讲精练
例12 ★★
复数z = 1−i(i 是虚数单位) 在复平面上对应的点位于第
象限．
例13 ★★★
已知复数z =
2i
1−i，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
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49
4
例14 已知复数x2 −6x+5+(x−2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是
．
例15 ★★★★
在复平面内，若复数z =
(
m2 −m−2
)
+
(
m2 −3m+2
)
i 的对应点①在虚轴上；②在第二象限；③在直
线y = x 上，分别求实数m 的取值范围．
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50
4
随堂测试
测试1 已知i 为虚数单位，若
(√
2+
√
3i
)
z =
√
6−
√
3i，则|z| =( )
A. 1
2
B. 2
C. 3
√
5
5
D.
√
5
3
测试2 复数z = 2+4i
1−i (i 为虚数单位) 在复平面内对应点的坐标是( )
A. (3,3)
B. (−1,3)
C. (3,−1)
D. (2,4)
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51
4
课堂总结
第5 讲
空间几何体
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53
5
知识引航
立体几何(Solidgeometry) 是三维欧氏空间的几何的传统名称，实际上大致就是我们生活的空间．在正式学
习之前，我们先来看一个故事．
在颜色问题上，千百年来一直有一个难解的谜：太阳光看起来是白的，可雨后的天空为什么有时会出现一
条七色彩虹呢？对此，众说纷纭．科学家们就开始解释了．法国数学家笛卡儿就说：颜色是许多小粒子在转，转
速不同，颜色也就不同．可将这个现象解释得最好的科学家，还是牛顿．
1666 年，牛顿还在剑桥大学当穷学生时，他脑海里就翻腾过这个颜色问题．有天他一边把玩一块三棱镜，
一边思考问题，不经意间用三棱镜截住了透进房间的细光，他回过头去看这光落在墙上的影子．这一看不要紧，
那墙上竟出现一段红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的彩色光带．
于是牛顿大受启发，又弄来一块三棱镜，布置起一个真正的暗室．他先让一束光穿过一个黑色木板上的小
孔，用三棱镜将它分成七条不同的彩色光，再用一个有孔的木板挡住分解后的光，让每条单色光逐一从孔里通
过，木板后再放一个三棱镜．这时新的发现出现在粉墙上：一是这单色光通过三棱镜时不会再分解，二是各色光
束经过三棱镜时折射的角度不同．凭着数学天才和实践才能，牛顿很快就计算出红、绿、蓝三色光的折射指数．
这一实验后不久，1669 年底牛顿就开始在剑桥大学向学生们开设光学课了．三棱镜真是个神奇的物体！
事实上，三棱镜的形状就是三棱柱，在立体几何里面我们会学习柱体、锥体、台体和球等几何体，还有空间
里面的直线和平面．不仅如此，我们还会把平面直角坐标系和平面向量拓展到三维，进化成空间直角坐标系和
空间向量，来帮我们解决更多的问题！
高一数学·目标985 班（浙江）·寒
54
5
1
模块
1
空间几何体的初步认识
知识凝炼
一、几何体
1
立体几何中的基本元素：点、线、面．
2
几何体：只考虑形状与大小, 不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体, 比如长方体, 球体等．
3
多面体：由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体．
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面（侧面、底面），相邻两个面的公共边叫做多面体的棱（侧棱、底
边），棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．
凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多
面体就叫做凸多面体．
4
旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体.
这条定直线叫做旋转体的轴．
5
截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面．
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55
5
二、多面体的结构特征
1
棱柱: 两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫
做棱柱，如图可记作：棱柱ABCD−A1B1C1D1．
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱（如：正三棱柱，正四棱柱）．
特殊的四棱柱
2
棱锥：一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥，如图记作：棱锥
S−ABCDE．
高一数学·目标985 班（浙江）·寒
56
5
正棱锥：底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．
正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．
正四面体：三棱锥又叫四面体，其中由四个全等正三角形围成的空间封闭图形叫做正四面体.
3
棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台，如图记作棱台ABCD −
A1B1C1D1．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫
做棱台的斜高．
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57
5
如果三棱锥的顶点都是正方体的某个顶点，存在多少种这样的三棱锥呢？
高一数学·目标985 班（浙江）·寒
58
5
精讲精练
例1
长方体的三个面的面积分别是
√
2，
√
3，
√
6，则长方体的对角线长是( )
A.
√
6
B. 3
C. 2
√
3
D. 3
√
2
例2
正确率：60%
正四棱台的高为
√
17，两底面的边长分别是4 和8，它的侧棱长和斜高分别为( )
A. 10，5
B.
√
21，10
C. 5，
√
21
D. 5，10
达标检测1
正确率：57%
正方体的体对角线长为l，则侧面对角线长是( )
A.
√
2
2 l
B.
√
2l
C.
√
6l
D.
√
6
3 l
达标检测2
若正四面体的所有棱长都为2，则它的高为( )
A.
√
6
3
B. 2
√
6
3
C.
√
6
D. 2
√
6
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59
5
2
模块
2
空间几何体的体积和表面积
知识凝炼
多面体的表面积和体积公式
表中S 表示面积，c′、c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h′ 表示斜高，l 表示侧棱长．
精讲精练
例3
若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16
√
3，则a =
．
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60
5
例4
已知正四棱锥的高为4，侧棱长为3
√
2，则该棱锥的侧面积为
．
达标检测3
已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4 和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( )
A. 80
B. 240
C. 320
D. 640
例5
已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9 和15，则这个棱柱的侧面积
是( )
A. 30
√
34
B. 60
√
34
C. 30
√
34+135
D. 135
达标检测4
已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是
√
5，则该正四棱锥的全面积为
．
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61
5
随堂测试
测试1 已知三棱锥D−ABC 中，AB = BC = 1，AD = 2，BD =
√
5，AC =
√
2，BC⊥AD，则关于该三棱锥的下列叙
述正确的为( )
A. 表面积S = 1
2(
√
5+2
√
2+3)
B. 表面积为S = 1
2(
√
5+2
√
2+2)
C. 体积为V = 1
D. 体积为V = 2
3
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62
5
春季你会遇见
正确率：67%
已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为( )
A.
√
2
π
B.
√
1
π
C.
√
2π
D. √π
答案
A
解析
解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2πr =πl，
∴l = 2r，∵圆锥的表面积为πr2 +πrl =πr2 +2πr2 = 6，∴r2 = 2
π，即r =
√
2
π，故选A．
假期我们学习了多面体棱柱、棱锥、棱台的几何性质及其表面积、体积的计算方法，在春季我们会继
续学习旋转体圆柱、圆锥、圆台和球的相关内容1.
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63
5
课堂总结
第6 讲
空间中的平行关
系
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65
6
知识引航
《星际穿越》中的超正方体
在电影《星际穿越》的最后，主人公库伯掉入了四维超正方体．你知道这个四维超正方体是什么吗？二维
的多边形到了三维对应的是多面体，那么按照同样的类比，在四维空间是什么样的呢？在几何学中超正方体是
立方体的四维类比，四维方体之于立方体，就如立方体之于正方形．它们最先在19 世纪被数学家路德维希
施莱夫利所发现，通过透视投影，我们可以看到它们中的代表长什么样．对于生活在三维空间的人类来说，四维
世界是很神秘的概念．正像生活在二维世界里的小人（如果存在）很难想象三维世界一样，我们同样难以想象
四维世界．不过也正像我们可以通过研究三维物体在二维物体上的投影来研究想象三维物体一样，我们也可以
通过四维物体在三维世界中的立体图形投影来研究四维世界．
《星际穿越》中展示的超正方体，就是“四维的正方体”的透视投影效果．由于人类目前无法理解四维空间，
所以导演诺兰设计让库伯掉入超正方体的其中一个面里．正方体的面是二维的，因此超正方体的面是三维的．
库伯正是掉入超正方体的“三维面”，才没有灰飞烟灭．同时，墨菲的卧室位于超正方体的另外一个三维面上，这
也是为什么库伯会在超正方体中看到墨菲的卧室．
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66
6
1
模块
1
点线面的位置关系
知识凝炼
一、立体几何中的集合语言：
二、平面三公理：
1
公理一：如果一条直线上的两点在同一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
2
公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
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67
6
3
公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．
三、平面基本性质的推论：
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
四、平行公理
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
精讲精练
例1
经过空间任意三点作平面( )
A. 只有一个
B. 可作两个
C. 可作无数多个
D. 只有一个或有无数多个
达标检测1
空间两条直线a、b 与直线l 都成异面直线，则a、b 的位置关系是( )
A. 平行或相交
B. 异面或平行
C. 异面或相交
D. 平行或异面或相交
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6
2
模块
2
空间中的平行关系的判定
知识凝炼
直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么该直线和这个平
面平行．
精讲精练
达标检测2
正确率：72%
能保证直线与平面平行的条件是( )
A. 直线与平面内的一条直线平行
B. 直线与平面内的某条直线不相交
C. 直线与平面内的无数条直线平行
D. 直线与平面内的所有直线不相交
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69
6
例2
在三棱台ABC −A1B1C1 中，A1B1 = 2AB，点E，F 分别是棱B1C1，A1B1 的中点，则在三棱台的各棱所在
的直线中，与平面ACEF 平行的有
．
例3
如图，已知ABCD−A1B1C1D1 为棱长AB = 2 的正方体，E 为棱D1D 的中点．求证：BD1// 平面ACE．
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70
6
例4
如图所示，在直三棱柱ABC −A1B1C1 中，CA = CB，点M，N 分别是AB，A1B1 的中点．求证：BN// 平面
A1MC．
例5
如图，在几何体ABCDE 中，AB⊥平面BCE，且△BCE 是正三角形，四边形ABCD 为正方形，G 是线段
BE 的中点，AB = 2. 若F 是线段CD 上的中点，求证：GF// 平面ADE．
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71
6
知识凝炼
平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
精讲精练
例6
已知长方体ABCD−A
′B
′C
′D
′ 中，E,F 分别是AA
′,CC
′ 的中点．求证：平面BDF// 平面B
′D
′E．
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72
6
例7
如图所示，在正方体AC1 中，M，N，P 分别是棱C1C,B1C1,C1D1 的中点．求证：平面MNP// 平面A1BD．
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73
6
随堂测试
测试1 在空间内，一定可以确定一个平面的是( )
①不共线的三点；
②四边形；
③梯形；
④三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交；
⑤有三个角为直角的四边形；
⑥不同的三个点；
⑦三条两两相交的直线，但不交于同一点．
A. ③④⑥
B. ①②③
C. ①③⑤
D. ①③⑦
测试2 下列命题，能得出直线m 与平面α 平行的是( )
A. 直线m 与平面α 内所有直线平行
B. 直线m 与平面α 内无数条直线平行
C. 直线m 与平面α 没有公共点
D. 直线m 与平面α 内的一条直线平行
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6
春季你会遇见
如图，在四棱锥P−ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB = BC = 1
2AD,∠BAD =
∠ABC = 90o,E 是PD 的中点．证明：直线CE// 平面PAB．
答案
见解析
解析
证明：取PA 的中点F，连接EF，BF，如图所示．
因为E 是PD 的中点，所以EF//AD，且EF = 1
2AD，由∠BAD = ∠ABC = 90◦得BC//AD，又
BC = 1
2AD，所以EF
//= BC．故四边形BCEF 为平行四边形，CE//BF．
又BF ⊂平面PAB，CE̸ ⊂平面PAB，故直线CE// 平面PAB．
寒假我们学习了线面平行和面面平行的判定定理，在春季我们会继续学习相关的性质定理及其应用
方法.
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75
6
课堂总结
第7 讲
空间中的垂直关
系
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77
7
知识引航
欧几里得与《几何原本》
欧几里得是古希腊的数学家, 被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提得
五大公式，其中欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．
《几何原本》的重要性并不在于书中提
出的哪一条定理．书中提出的几乎所有的定理在欧几里德之前就已经为人知晓，使用的许多证明亦是如此．欧
几里得的伟大贡献在于他将这些材料做了整理，并在书中做了全面的系统阐述．这包括首次对公理和公设做了
适当的选择（这是非常困难的工作，需要超乎寻常的判断力和洞察力）．然后，他仔细地将这些定理做了安排，
使每一个定理与以前的定理在逻辑上前后一致．在需要的地方，他对缺少的步骤和不足的证明也做了补充．值
得一提的是，
《几何原本》虽然基本上是平面和立体几何的内容，也包括大量代数和数论的内容．
《几何原本》作为教科书使用了两千多年．在形成文字的教科书之中，它无疑是最成功的．欧几里得的杰
出工作，使以前类似的东西黯然失色．该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的
记忆中消失了．
《几何原本》是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字．它首版于1482 年，即谷登堡发明活字
印刷术30 多年之后．自那时以来，
《几何原本》已经出版了上千种不同版本．
在训练人的逻辑推理思维方面，《几何原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多．在
完整地演绎推理结构方面，该书是一个十分杰出的典范．正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒．
欧几里得是希腊亚历山大的数学教师．著名的古希腊学者阿基米德，是他“学生的学生”——卡农是阿基米
德的老师，而欧几里得是卡农的老师．
欧几里得不仅是一位学识渊博的数学家，同时还是一位有“温和仁慈的蔼然长者”之称的教育家．在著书育
人过程中，他始终没有忘记当年挂在“柏拉图学院”门口的那块警示牌，牢记着柏拉图学派自古承袭的严谨、求
实的传统学风．他对待学生既和蔼又严格，自己却从来不宣扬有什么贡献．对于那些有志于穷尽数学奥秘的学
生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以
批评．
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78
7
1
模块
1
空间中的垂直关系的认识
知识凝炼
1
线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且夹角为直角，则称这两条直线互相垂
直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直.
2
直线与平面垂直：
如果一条直线和一个平面内的任意直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．
这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．
3
平面与平面垂直：
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，
就称这两个平面互相垂直．
精讲精练
例1
已知平面α、β、γ 两两垂直，直线a、b、c 满足：a ⊂α，b ⊂β，c ⊂γ，则直线a、b、c 不可能满足以下哪种关
系( )
A. 两两垂直
B. 两两平行
C. 两两相交
D. 两两异面
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79
7
2
模块
2
空间中的垂直关系的判定
知识凝炼
线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
推论：若两条平行直线，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
精讲精练
达标检测1
正确率：71%
直线l 垂直于平面α 内的两条直线，则l 与α 的关系是( )
A. 垂直
B. 平行
C. 相交
D. 前三者都有可能
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7
例2
如图所示，底面ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E 是PC 的中点．
求证：BD⊥平面PAC．
例3
如图，在三棱锥S−ABC 中，SA⊥底面ABC，AC = AB = SA = 2，AC⊥AB，D，E 分别是AC，BC 的中点，点
F 在SE 上，且SF = 2FE．求证：AF⊥平面SBC．
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7
例4
如图，四棱锥P−ABCD 的底面是边长为1 的正方形，PA⊥底面ABCD，E，F 分别为AB，PC 的中点．
若PA = 1，求证：EF⊥平面PCD．
达标检测2
在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD 的是( )
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7
例5
四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，E 是PC 的中点．求证：BD⊥PC．
例6
如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，∠DAB = 60◦，AB = 2AD = 2，PD⊥平面ABCD．
求证：AD⊥PB．
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83
7
知识凝炼
两平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
精讲精练
例7
如图，已知直三棱柱ABC −A1B1C1 中，AB = BC，E 为AC 的中点．求证：平面BC1E⊥平面ACC1A1．
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84
7
例8
如图，在三棱锥A−BCD 中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G 分别是AC，AD，BC 的中点．求证：
平面EFG⊥平面ABC．
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85
7
随堂测试
测试1 若a，b，c 表示直线，α 表示平面，下列条件中，能使a⊥α 的是( )
A. a⊥b，a⊥c，b ⊂α，c ⊂α，b∩c = A
B. a⊥b，b//α
C. a∩b = A，b ⊂α，a⊥b
D. α⊥b，b⊥a
测试2 如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且SA = SB = SC = SD，其中E，M，N 分别是边
BC，CD，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；②EP//BD；③EP// 平面SBD；④EP⊥平面SAC，
其中恒成立的是( )
A. ①③
B. ③④
C. ①④
D. ②③
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春季你会遇见
如图，在四棱锥P−ABCD 中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 为正方形，PD = DC，E、F 分别是AB，
PB 的中点．若G 是线段AD 上一动点，试确定G 点位置，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
答案
见解析
解析
取AD 中点，记为G，取PC 中点M，连接DM、FM．
∵PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD，
∵BC⊥CD，PD∩CD = D，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DM．
∵PD = DC，M 为PC 中点，∴DM⊥PC，
∵BC ∩PC = C，∴DM⊥平面PCB．
∵MF//BC 且2MF = BC，DG//BC 且2DG = BC，∴MF//DG 且MF = DG，
∴四边形DGFM 为平行四边形，∴GF//DM，∴此时GF⊥平面PCB，
即当点G 是线段AD 的中点时，可使GF⊥平面PCB．
在寒假我们学习了线面垂直和面面垂直的判定方法，在春季我们会继续学习相关的性质定理和动点
问题.
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87
7
课堂总结
1119091112442
