[讲义答案]第6讲不等式拓展-d646020451d2_学而思高一全套_2020年寒假高一_2020寒假目标自招综评班高一数学直播班7讲刘雯完结

答案
C
解析
由柯西不等式，得 
． 
由
，可得
． 
由
，，
，得
， 
即
， 
所以
． 
于是
 
． 
综上，得
，选C．
答案
见解析
解析
证明：因为
， 
且
，
，
， 
所以
，
，
，
， 
即
． 
因此，
．
模块1：不等式
：不等式证明常
明常见方法
方法
1
1
2019寒高一目
寒高一目标自招
自招综评
综评班第
班第
6讲不等式拓展
不等式拓展
例题1
a + b + c
1 + 1 + 1
⩾
( 2
2
2) ( 2
2
2)
a ⋅1 + b ⋅1 + c ⋅1
(
)2
a + b + c = 2
a +
2
b +
2
c ⩾
2
 3
4
0 < a
b
c < 1
1 −a
1 −b
1 −c >
(
) (
) (
)
0
1 −a + b + c +
(
)
ab + bc + ca −
(
)
abc > 0
ab + bc + ca > 1
a +
2
b +
2
c =
2
a + b + c
−
(
)2
2 ab + bc + ca
(
)
= 4 −2 ab + bc + ca <
(
)
4 −2 = 2
 ⩽
3
4
a +
2
b +
2
c <
2
2
例题2
 −
1 + a2
a
 =
1 + b2
b
 
1 + a
1 + b
(
2) (
2)
a −b
1 −ab
(
) (
)
0 < a < b < 1
1 + a >
2
0
1 + b >
2
0
a −b < 0
ab < 1
1 −ab > 0
1 + a
1 + b
>
(
2) (
2)
0
 <
1 + a
1 + b
(
2) (
2)
a −b
1 −ab
(
) (
)
0
 <
1 + a2
a
 
1 + b2
b
答案
见解析
解析
法一：
，令
，
，则
．要证
，即证
，即证
，
即证
显然成立，故得证． 
法二：
，
，
，
，要证
，即证
，即证
，即证
．因为
，故得证．
答案
见解析
解析
证明：由
，
，得
，
． 
根据性质“
”，得 
待证不等式等价于
， 
展开并整理得
． 
因为
，
，所以
， 
从而 
得证．
答案
见解析
解析
证明：假设
不成立，即有
． 
两边平方，得
． 
因为，是直角三角形两直角边，是斜边， 
所以
． 
1
1
1
例题3
∵a > b > c
∴
x = a −b > 0
y = b −c > 0
a −c = x + y > 0
 +
a −b
1
 +
b −c
1
 >
c −a
1
0
 +
x
1
 −
y
1
 >
x + y
1
0
x + y
 +
 
>
(
) ( x
1
y
1 )
1
 +
x
y
 >
y
x
−1
∵a > b > c
∴a −b > 0
b −c > 0
a −c > 0
∴
 +
a −b
1
 +
b −c
1
 >
c −a
1
0
a −c
 +
 +
 
>
(
) ( a −b
1
b −c
1
c −a
1
)
0
a −b + b −c
 +
 
−
(
) ( a −b
1
b −c
1
)
1 > 0
 +
a −b
b −c
 +
b −c
a −b
1 > 0
 +
a −b
b −c
 +
b −c
a −b
1 ⩾2 + 1 = 3 > 0
例题4
x > 0
y > 0
 >
x + y
2
2
0
 >
3 x + y
3
3
0
a > b > 0 ⇔a >
n
b >
n
0 n ∈N
(
∗)
x + y
>
(
2
2)
3
x + y
(
3
3)
2
x +
2
y >
2
 xy
3
2
x > 0
y > 0
x +
2
y ⩾
2
2xy >
 xy
3
2
 >
x + y
2
2
 
3 x + y
3
3
例题5
c ⩾
 
 2
a + b
c <
 c > 0
 2
a + b (
)
c <
2
 
2
a + b + 2ab
2
2
a
b
c
c =
2
a +
2
b2
于是，有
， 
即
，与
矛盾． 
因此，假设不成立，即
成立．
答案
见解析
解析
证明：
 
 
 
．
答案
见解析
解析
证明：如图，设
，
，
，
，
，则 
， 
， 
． 
在
中，
， 
即
 
． 
1
1
a +
2
b <
2
2
a + b + 2ab
2
2
a +
2
b <
2
2ab
a +
2
b ⩾
2
2ab
c ⩾
 
 2
a + b
例题6
sin x ⋅
3
sin3x = sin x sinx ⋅sin3x
2
(
)
=
 1 −cos 2x
2 cos 2x + 1
1 −cos 2x
4
1 (
) (
) (
)
⩽
 
 
4
1 [
3
1 −cos 2x + 2 cos 2x + 1 + 1 −cos 2x
(
)
(
)
(
) ]
3
=
 4
1
例题7
OA = x
OB = y
OC = z
∠AOB = 90∘
∠BOC = 60∘
AB =
∣
∣
 
x + y
2
2
BC =
∣
∣
 
z + y −zy
2
2
AC =
∣
∣
 
z + x +
 xz
2
2
3
△ABC
AC ⩽
∣
∣
AB +
∣
∣
BC
∣
∣
z + x +
 xz
2
2
3
⩽
 +
x + y
2
2
 
y + z −yz
2
2
例题8
答案
见解析
解析
证明：设
，
，
，
，则 
 
 
 
 
．
答案
见解析
解析
证明：令
，则 
函数
在
上是增函数． 
又
， 
易得
，所以
．
答案
见解析
解析
证明：当
时，原不等式显然成立． 
当
时，可设 
 
， 
所以
． 
因为
是开口向下的抛物线，从而 
 
． 
即
 
．
1
1
1
 =
a
 1
a, b
(
)
 a, 1 −b
a
 2 (
)
 =
a
 3
1 −a, b
(
)
 =
a
 4
1 −a, 1 −b
(
)
 +
a + b
2
2
 +
a + 1 −b
2
(
)2
 +
1 −a
+ b
(
)2
2
 
1 −a
+ 1 −b
(
)2
(
)2
=
 
 
 +
∣∣∣a
 1∣∣∣
 
 
 +
∣∣∣a
 2∣∣∣
 
 
 +
∣∣∣a
 3∣∣∣
 
 
 
∣∣∣a
 4∣∣∣
⩾
 
 +
 +
 +
 
 
∣∣∣a
 1
a
 2
a
 3
a
 4∣∣∣
=
 
a + a + 1 −a + 1 −a
+ b + 1 −b + b + 1 −b
(
)2
(
)2
= 2
 2
例题9
f t =
( )
t +
3
3t
f t( )
−∞, +∞
(
)
f x −y =
(
)
x −
3
3x y +
2
3xy −
2
y +
3
3x −3y
x −y ⩽1
f x −y ⩽
(
)
f 1 =
( )
4
例题10
x
 +
1
2
x
 +
2
2
x
 =
3
2
1
x
 +
1
2
x
 +
2
2
x
 ⩽
3
2
1
f t =
( )
x
 + x
 + x
 −1 t −
(
1
2
2
2
3
2
) 2
2 x
 y
 + x
 y
 + x
 y
 −1 t +
(
1
1
2
2
3
3
)
y
 + y
 + y
 −1
( 1
2
2
2
3
2
)
= x
 t −y
 
+
(
1
1)2
x
 t −y
 
+
(
2
2)2
x
 t −y
 
−
(
3
3)2
(t −1)2
f t =
( )
x
 −y
 
+
(
1
1)2
x
 −y
 
+
(
2
2)2
x
 −y
 
⩾
(
3
3)2
0
f t( )
Δ
 =
t
4 x
 y
 + x
 y
 + x
 y
 −1
−
(
1
1
2
2
3
3
)2
4 x
 + x
 + x
 −1
(
1
2
2
2
3
2
)
y
 + y
 + y
 −1 ⩾
( 1
2
2
2
3
2
)
0
x
 y
 + x
 y
 + x
 y
 −1
(
1
1
2
2
3
3
)2
⩾x
 + x
 + x
 −1
y
 + y
 + y
 −1
(
1
2
2
2
3
2
) ( 1
2
2
2
3
2
)
例题11
答案
见解析
解析
证明：令
． 
用
方法可计算的取值范围：
． 
又因为
，
， 
所以
，
．
答案
2
解析
试题分析:因为
，所以
，所以 
， 即
的最小值为
，故
，
 ，所以的最大值是．
答案
解析
因为
， 当且仅当
时
取等号， 所以
的最大值为
， 故的取值范围是
．
答案
B
解析
1
模块2：不等式
：不等式综合应用
1
1
1
t =
 
1 + x + x2
1 + x2
Δ
t
 ⩽
3
2
t ⩽2
y = t +
 −
t
1
1
 ⩽
3
2
t ⩽2
y
 =
min
1
y
 =
max
 2
3
例题12
a > b > c
a −b > 0, a −c > 0, b −c > 0
 +
a −b
1
 =
b −c
1
 
 +
 
a −b + b −c
=
a −c
1
( a −b
1
b −c
1
) [(
)
(
)]
 
2 +
 +
a −c
1
(
a −b
b −c
b
a
 +
a −b
1
 
b −c
1
 
a −c
4
 ≥
a −c
4
 
a −c
n2
n ⩽
2
4
n
2
例题13
12, +∞
[
)
f x =
( )
ax −4 −
∣
∣
ax + 8 ≤
∣
∣
ax −4 −ax + 8
=
∣(
)
(
)∣
12
ax ⩽−8
f x
( )
12
k
12, +∞
[
)
例题14
解：
， 
因为点
在线段
(不含端点)上，所以
，
，
三点共线， 
所以
且
，
， 
则
， 
当且仅当
，即
，
时，上式取等号， 
故
有最小值， 
不等式
对
恒成立， 
即
对
恒成立，即
对
恒成立， 
可得：
，解得
． 
则的最小值为
． 
故选：B．
=
AF
x
+
AB
y
=
AC
2x
+
AD
yAC
F
CD
C
F
D
2x + y = 1
x > 0
y > 0
 +
x
1
 =
y
2
 +
 
2x + y =
( x
1
y
2 ) (
)
4 +
 +
x
y
 ⩾
y
4x
4 + 2
 =
 ⋅
 
x
y
y
4x
8
 =
x
y
 
y
4x
x =
 4
1
y =
 2
1
 +
x
1
 y
2
8
 +
x
1
 ⩾
y
2
a +
2
at
t ∈−2, 2
[
]
8 ⩾a +
2
at
t ∈−2, 2
[
]
a +
2
at −8 ⩽0
t ∈−2, 2
[
]
{a −2a −8 ⩽0
2
a + 2a −8 ⩽0
2
a ∈−2, 2
[
]
a
−2