[讲义答案]第3讲平面向量的数量积及其应用-29f5916e12df_学而思高一全套_2020年寒假高一_2020寒假目标自招综评班高一数学直播班7讲刘雯完结

答 案
B
解析
，
，
，  
，  
，  
故选：B．
答 案
B
解析
解：
， 
， 
即
， 
， 
， 
， 
又
， 
在
上的投影为
． 
故选：B．
模块1：平面向量的数量
：平面向量的数量积
1  66%
1
1
例题1
∵
 
 =
∣∣∣a ∣∣∣
1
=
c
+
a
b
⊥
c
a
∴
⋅
c
=
a
+
⋅
( a
b )
=
a
 
 +
∣∣∣a ∣∣∣2
⋅
a
=
b
1 +
⋅
a
=
b
0
∴
⋅
a
=
b
−1
例题2
∵
 +
 =
∣∣∣a
b∣∣∣
 
 −
 
2 ∣∣∣a
b∣∣∣
∴
+
a2
2 ⋅
a
+
b
=
b
2
2
−
a2
4 ⋅
a
+
b
2b
2
2 + 2 ⋅
a
=
b
4 −4 ⋅
a b
∴
⋅
a
=
b
 3
1
∴
+
=
(a
b)
2
+
a2
2 ⋅
a
+
b
=
b
2
 3
8
∴
 +
 =
∣∣∣a
b∣∣∣
 
3
2
 6
⋅
a
+
=
(a
b)
+
a2
⋅
a
=
b
 3
4
∴a
+
a
b
cos⟨，+
∣a∣
a
a
⟩=
b
 =
 
3
2
 6
 3
4
 
3
 6
例题3
答 案
D
解析
①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;②由向量的减法运算可知
、
、
恰为一
个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真; ③因为
，所以垂直.故③
假; ④
成立.故④真.
答 案
D
解析
解：
与
的夹角为锐角， 
， 
即
， 
向量
与
的夹角为
，
，
， 
， 
即
， 
解得
或
， 
当
与
同向时，即
，即
时，不符合题意， 
综上所述，实数的取值范围是
， 
故选：D．
答 案
C
解析
设
，则
，
，解得
，
，故选C．
1
1  89%
1
∣
∣
a
∣
∣
b
∣
−
a
∣
b
[(
⋅
b
)
−
c
a
(
⋅
c
)
] ⋅
a
b
=
c
(
⋅
b
)
⋅
c
a
−
c
(
⋅
c
)
⋅
a
b
=
c
0
(3
+
a
2
) ⋅
b
(3
−
a
2
) =
b
9
⋅
a
−
a
4
⋅
b
=
b
9∣
∣−
a
2
4∣
∣
b
2
例题4
∵λ
 +
e
 1
 
e
 2
3
 +
e
 1
λ
 
e
 2
∴
λ
 +
 
3
 + λ
 >
( e
 1
e
 2) ( e
 1
e
 2)
0
3λ
 +
e
 1
2
λ
 +
e
 2
2
3 + λ
 ⋅
(
2) e
 1
 >
e
 2
0
∵
e
 1
e
 2
 4
π
 =
e
 
∣1∣
1
 =
e
 
∣2∣
 2
∴3λ + 2λ + 3 + λ
>
(
2)
0
λ +
2
5λ + 3 > 0
λ >
 
2
−5 +
 
13
λ <
 
2
−5 −
 
13
λ
 +
e
 1
 
e
 2
3
 +
e
 1
λ
 
e
 2
λ =
2
3
λ = ±
 3
λ
−∞,
 
∪
(
2
−5 −
 
13 )
 ,
 
∪
(
2
−5 +
 
13
3)
 , +∞
(
3
)
例题5
=
c
x, y
(
)
⋅
a
=
c
2x + y = 4
⋅
b
=
c
−x + 3y = −9
x = 3
y = −2
例题6
答 案
解析
由
，可知
， 
经化简得
， 
解得
或
或
或
．
答 案
4
解析
解：
， 
则
 
 
 
 
，其中
，
， 
则当
时，
的值最小，最小值为
．
答 案
D
解析
解：由
得
， 
所以
． 
从而
 
 
． 
上式当且仅当
时取等号． 
所以
． 
又知
， 
当且仅当
时取等号， 
所以
， 
2
1
−3
⊥
a
b
⋅
a
=
b
0
⋅
a
=
b
0
2 cos
 
cos
 −sin
 
⋅
2
θ (
2
θ
2
θ )
2cos
 + 5 sin
 cos
 −3sin
 
=
(
2
2
θ
2
θ
2
θ
2
2
θ )
0
cot
 =
2
θ
0
cot
 =
2
θ
1
cot
 =
2
θ
 2
1
cot
 =
2
θ
−3
+
a
=
b
cos α + 3, sinα + 4
(
)
 
+
 =
∣∣∣a
b ∣∣∣
 
cos α + 3
+ sinα + 4
(
)2
(
)2
=
 
cos α + 6 cos α + 9 + sin α + 8 sinα + 16
2
2
=
 
8 sinα + 6 cos α + 26
=
 
26 + 10
sinα +
 cos α
( 5
4
5
3
)
=
 
26 + 10 sin α + θ
(
)
sinθ =
 5
3
cos θ =
 5
4
sin α + θ =
(
)
−1
 
+
 
∣∣∣a
b ∣∣∣
 =
26 −10
 =
16
4
例题7
 
 =
∣∣∣a ∣∣∣
2
x +
2
y +
2
z =
2
4
=
b
2
4
 
−2
 =
∣∣∣a
b ∣∣∣2
−
a
2
4
⋅
a
+
b
4 b
2
= 20 −4 xy + yz + zx
(
)
= 4 + 2 x −y
+
(
)2
2 y −z
+
(
)2
2 z −x
⩾
(
)2
4
x = y = z
 
−2
 
 =
∣∣∣a
b ∣∣∣
min
2
 
−2
 =
∣∣∣a
b ∣∣∣
28 −2 x + y + z
⩽
(
)2
28
x + y + z = 0
 
−2
 
 =
∣∣∣a
b ∣∣∣
max
2
 7
于是
． 
故选D．
答 案
解析
解：设
，
，
． 
，
， 
， 
，
， 
， 
， 
， 
， 
． 
当
，即
时，有
， 
当
时，
有最小值，且
； 
当
，即
时，有
， 
当
时，
有最小值，且
． 
综上，
．
答 案
C
解析
1
模块2：平面向量
：平面向量综合应用
1
 
−2
 
 +
∣∣∣a
b ∣∣∣
min
 
−2
 
 =
∣∣∣a
b ∣∣∣
max
2 + 2
 7
例题8
 4
5
=
e
1, 0
(
)
=
a
x
 , y
 
(
1
1)
=
b
x
 , y
 
(
2
2)
∵
⋅
a
=
e
1
⋅
b
=
e
2
∴
 
{x
 = 1
1
x
 = 2
2
∴
=
a
1, y
 
(
1)
=
b
2, y
 
(
2)
∴
−
a
=
b
−1, y
 −y
 
(
1
2)
∵
 
−
 =
∣∣∣a
b ∣∣∣
2
∴
 =
1 + y
 −y
 
( 1
2)2
2
∴y
 −y
 
=
( 1
2)2
3
∴y
 −
1
y
 =
2
±
 3
y
 −
1
y
 =
2
 3
y
 =
1
y
 +
2
 3
⋅
a
=
b
2 + y
 y
 =
1
2
2 + y
 y
 +
 =
2 ( 2
3)
y
 +
2
2
 y
 +
3
2
2 =
y
 +
 
+
( 2
2
 3 )
2
 4
5
∴
y
 =
2
−
 
2
 3
⋅
a
b
⋅
 =
( a
b )
min
 4
5
y
 −
1
y
 =
2
−
 3
y
 =
1
y
 −
2
 3
⋅
a
=
b
2 + y
 y
 =
1
2
2 + y
 y
 −
 =
2 ( 2
3)
y
 −
2
2
 y
 +
3
2
2 =
y
 −
 
+
( 2
2
 3 )
2
 4
5
∴
y
 =
2
 
2
 3
⋅
a
b
⋅
 =
( a
b )
min 
 4
5
⋅
 =
( a
b )
min
4
5
例题9
解：如图， 
 
过
作
于点
． 
正六边形
的边长为， 
，
， 
 
．
答 案
-16
解析
解：由极化恒等式： 
 
 
．
答 案
-1
解析
解：
， 
取
中点为
，
中点为
，连接
、
、
、
、
，则由极化恒等式： 
 
， 
等号当
时取得． 
又
，此时等号当
，
，
三点共线时取得． 
1
2
A5
A H⊥A
 A
 
5
1
3
H
∵
A A A A A A
1
2
3
4
5
6
1
∴
 
 
 =
∣∣∣A
 A
 
1
3∣∣∣
 3
 
 
 =
∣∣∣A
 H
3
∣∣∣
 
2
 3
∴
 ⋅
A
 A
 
1
3
 =
A
 A
 
3
5
 
 
 ⋅
∣∣∣A
 A
 
1
3∣∣∣
 
 
 cos⟨
 ,
 ⟩
∣∣∣A
 A
 
3
5∣∣∣
A
 A
 
1
3 A
 A
 
3
5
= −
 
 
 
 
 
 =
∣∣∣A
 A
 
1
3∣∣∣
∣∣∣A
 H
3
∣∣∣
−
 ×
3
 =
2
 3
−
 2
3
例题10
⋅
AB
=
AC
AM
−
∣
∣2
 BC
4
1 ∣
∣2
= 9 −
 ×
4
1
102
= 9 −25 = −16
⋅
PC
+
=
(PA
PB)
⋅
PC
+
PA
⋅
PC
PB
AC
D
BC
E
PA
PB
PC
PD
PE
⋅
PC
+
PA
⋅
PC
=
PB
PD
+
∣
∣2
PE
−
∣
∣2
 ×
4
1
4 × 2
= PD
+
∣
∣2
PE
−
∣
∣2
2 ⩾
 −
2
PD + PE
(∣
∣
∣
∣)2
2
PD =
∣
∣
PE
∣
∣
 −
2
PD + PE
(∣
∣
∣
∣)2
2 ⩾
 −
2
DE
∣
∣2
2 = −1
D
P
E
故最小值为
． 
答 案
解析
由条件得
． 
设
，
，则 
， 
所以
， 
即
．
答 案
解析
画出单位圆，结合图象不难得出： 
 
原式
 
， 
构造个单位向量 
， 
， 
， 
， 
， 
将
，
，
，
，
看作个单位共点力，它们的夹角都是
，由力学知识知，合力为零．即
1
1
−1
例题11
1
3x −4y = 5
=
m
x, y
(
)
=
n
3, −4
(
)
⋅
m
=
n
3x −4y = 5 ⩽
 ⋅
x + y
2
2
5
x +
2
y ⩾
2
1
s
 =
min
1
例题12
0
= sin8 +
∘
sin80 +
∘
sin152 +
∘
sin224 +
∘
sin296∘
= sin8 +
∘
sin 8 + 72
+
( ∘
∘)
sin 8 + 2 × 72
+
( ∘
∘)
sin 8 + 3 × 72
+
( ∘
∘)
sin 8 + 4 × 72
( ∘
5
e
 =
1
cos 8 , sin8
(
∘
∘)
e
 =
2
cos 80 , sin80
(
∘
∘)
e
 =
3
cos 152 , sin152
(
∘
∘)
e
 =
4
cos 224 , sin224
(
∘
∘)
e
 =
5
cos 296 , sin296
(
∘
∘)
e1
e2
e3
e4
e5
5
72∘
， 
所以
， 
即原式
．
答 案
解析
建立如图所示的坐标系．用向量表示甲、乙的速度，则 
甲：
， 
乙：
． 
 
由条件知 
， 
， 
， 
 
 
， 
所以
 
． 
又因为
， 
所以
， 
解得
，即
， 
故
， 
即此时甲乙相距
．
1
e
 +
1
e
 +
2
e
 +
3
e
 +
4
e
 =
5
0
sin8 +
∘
sin80 +
∘
sin152 +
∘
sin224 +
∘
sin296 =
∘
0
= 0
例题13
25 25 3 +
 
(
3)
v
 =
1
1,
 
(
3)
v
 =
2
−3, −3
(
)
=
AC
t,
 t
(
3 )
=
BD
−3t, −3t
(
)
=
AB
100, 0
(
)
=
AD
+
AB
BD
= 100,0 + −3t, −3t
(
)
(
)
= 100 −3t, −3t
(
)
=
CD
−
AD
AC
=
100 −4t, −3t −
 t
(
3 )
⊥
CD
AB
100 −4t ×
(
)
100 = 0
t = 25s
=
CD
0, −75 −25
 
(
3)
 
 =
∣∣∣CD∣∣∣
25 3 +
 
(
3)
25 3 +
 m
(
3)