第5讲 空间向量及其应用
复习要点 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向
量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数
量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平
面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明
立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
一 空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量(或 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的
平行向量) 向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
二 空间向量的有关定理
1．共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a ＝ λ b .
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对(x，y)，使 p ＝ x a ＋ y b .
3．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组
(x，y，z)，使得 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c .其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数
组(x，y，z)，使OP＝ x OA ＋ y OB ＋ z OC .
三 数量积及坐标运算
1．数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝ | a | | b |cos 〈 a ， b 〉 ．
2．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b).
1 2 3 1 2 3
向量表示 坐标表示
数量积 a·b ab ＋ a b ＋ a b
1 1 2 2 3 3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a ＝ λb ， a ＝ λb ， a ＝ λb
1 1 2 2 3 3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ab ＋ a b ＋ a b ＝ 0
1 1 2 2 3 3
模 |a|
夹角余 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝弦值 (a≠0，b≠0)
四 直线的方向向量和平面的法向量
1．直线的方向向量
就是指所在的直线和这条直线平行或重合的向量，显然一条直线的方向向量可以有无
数个．
2．平面的法向量
(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量
也有无数个，它们是共线向量．
(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面
是唯一确定的．
3．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
(1)直线l 的方向向量为u＝(a，b，c)，直线l 的方向向量为u＝(a，b，c)．
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
若l∥l，则u∥u u＝ku ( a ， b ， c ) ＝ k ( a ， b ， c ) ．
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
若l⊥l，则u⊥u u·u＝0 aa ＋ b b ＋ c c ＝ 0 .
1 2 1 2⇔ 1 2 ⇔ 1 2 1 2 1 2
(2)直线l的方向向量为u＝(a，b，c)，平面α的法向量为n＝(a，b，c)．
⇔ 1⇔ 1 1 2 2 2
若l∥α，则u⊥n u·n＝0 aa ＋ b b ＋ c c ＝ 0 .
1 2 1 2 1 2
若l⊥α，则u∥n u＝kn ( a ， b ， c ) ＝ k ( a ， b ， c ) ．
⇔ ⇔ 1 1 1 2 2 2
(3)平面α 的法向量为u＝(a，b，c)，平面α 的法向量为u＝(a，b，c)．
1 ⇔ 1 1⇔ 1 1 2 2 2 2 2
若α⊥α，则u⊥u u·u＝0 aa ＋ b b ＋ c c ＝ 0 .
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
若α∥α，则u∥u u＝ku ( a ， b ， c ) ＝ k ( a ， b ， c ) ．
1 2 1 2⇔ 1 2 ⇔ 1 1 1 2 2 2
常/用/结/论
⇔ ⇔
1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是OA＝xOB＋yOC( 其中 x ＋ y ＝ 1 ， x ，
y ∈ R )，O为平面内任意一点．
2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是OP＝xOA＋yOB＋zOC( 其中 x ＋ y ＋ z
＝ 1 ， x ， y ， z ∈ R )，O为空间任意一点．
上面两个结论很相似，我们应学习这种由平面到空间，一些命题是如何演变的. 如下
面的类比：在Rt△ABC中，＝＋.
在三棱锥OABC中：OA，OB，OC两两垂直，OH⊥平面ABC，则有＝＋＋.1．判断下列结论是否正确．
(1)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()
(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(√)
(3)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．()
(4)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．()
2．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ的值分别为( )
A.， B．－，－
C．5,2 D．－5，－2
解析：若两向量平行，则有＝，2μ－1＝0，解得λ＝，μ＝.
答案：A
3．已知直线l在平面α外，且a＝(－2,2,5)是直线l的方向向量，b＝(6，－4,4)是平面
α的法向量，则直线l与平面α的位置关系为________．
解析：∵a·b＝－2×6＋2×(－4)＋5×4＝0，且直线l在平面α外，∴直线l与平面α平行．
答案：平行
4．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t的
值是________．
解析：因为u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,5)分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，所以
u⊥v，所以－2×6＋2×(－4)＋t×5＝0，解得t＝4.
答案：4
题型 空间向量的线性运算
典例1如图所示，在平行六面体 ABCDABC D 中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，
1 1 1 1
M，N，P分别是AA，BC，C D 的中点，试用a，b，c表示以下各向量．
1 1 1
(1) AP；(2)A1N；(3) MP＋NC1.
解：(1)∵P是C D 的中点，
1 1
∴ AP ＝ AA1 ＋ A1D1 ＋ D1P ＝a＋AD＋D1C1
向量加法的多边形法则．
＝a＋c＋ AB＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋ BC
＝－a＋b＋ AD＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA 的中点，
1
∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP
＝－a＋＝a＋b＋c.
又 NC1 ＝ NC ＋ CC1 ＝ BC ＋ AA1
以上都是采用向量的三角形加法法则向基向量转化的，也是用基底表示出目标向量．
＝ AD＋a＝c＋a，
∴MP＋NC1＝＋
＝a＋b＋c.
用已知向量表示某一向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来．向量线性运算
一定要结合图形特点.
对点练1 如图所示，在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC
的重心，用基向量OA，OB，OC表示MG， OG.
解：连接ON(图略)．MG＝MA＋AG＝OA＋ AN＝OA＋( ON－OA)
＝OA＋
＝－OA＋OB＋OC.
OG＝OM＋MG＝ OA－OA＋ OB＋OC＝OA＋OB＋OC.
题型 空间向量的共线、共面问题
典例2 如图所示，已知斜三棱柱ABCABC ，点M，N分别在AC 和BC上，且满足
1 1 1 1
AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．
(1)向量 MN 是否与向量 AB ， AA1 共面 ？
转化为MN是否可写成AB，AA1的线性和的形式．
(2)直线MN是否与平面ABBA 平行？
1 1
解：(1)连接BA(图略)，∵AM＝kAC1， BN＝kBC(0≤k≤1)，
1
∴ MN ＝ MA ＋ AB ＋ BN向量的线性运算最终转化成AB，AA1的线性和．
＝kC1A＋AB＋kBC＝k(C1A＋BC)＋AB
＝k(C1A＋B1C1)＋AB＝kB1A＋AB＝AB－kAB1
＝AB－k(AA1＋AB)＝(1－k)AB－kAA1，
∴由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面．
(2) 当 k ＝ 0 时 ，点M，A重合，点N，B重合，MN
特殊情形，单独讨论．
在平面ABBA 内，∴MN不平行于平面ABBA；
1 1 1 1
当0<k≤1时，MN不在平面ABBA 内，又由(1)知MN与AB，AA1共面，∴MN∥平面
1 1
ABBA.
1 1
证明三点共线和四点共面的方法
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB MP＝xMA＋yMB
即 PA ， PB 共线 即 MP ， MA ， MB 三个向量共面．
对空间任一点O，OP 对空间任一点O， OP＝OM＋xMA＋yMB
＝OA＋tAB
对空间任一点O，OP 对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y) OB
＝xOA＋(1－x)OB
对点练2(1)(多选)(2024·湖北武汉质检)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若AB， CD共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝ OA＋ OB＋ OC，则P，A，
B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC( PB， PC不共线)，则λ＋μ＝1
是A，B，C三点共线的充要条件
(2)(2024·湖南长沙一中月考)已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不
为零的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
解析：(1)由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，
当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若AB，CD共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝ OA＋ OB＋OC，因为＋＋＝
1，
可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB， PC不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA－PC＝λ(PB－PC)，即CA＝λCB，所以A，B，C
三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．
(2)∵A，B，C三点共线，∴存在实数k，使得AB＝kBC.∵AB＝OB－OA， BC＝OC－OB，∴OB－OA＝k(OC－OB)，化简整理，得OA＝(k
＋1)OB－kOC.∵存在三个不为零的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，∴OA＝－OB
－OC，由共面向量定理得k＋1＝－，－k＝－，∴m＝(－k－1)λ，n＝kλ.由此可得，λ＋m＋
n＝λ＋(－k－1)λ＋kλ＝0.
答案：(1)CD (2)0
题型 空间向量的数量积及其应用
典例3已知平行六面体ABCDABC D 中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA＝2，
1 1 1 1 1
∠AAB＝∠AAD＝120°.
1 1
(1)求线段AC 的长；
1
(2) 求异面直线 AC 与 A D 所成角的余弦值；
1 1
用基底表示出两个向量，严格按照向量夹角公式求解．
(3)证明：AA⊥BD.
1
(1)解：如图所示，设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA1 ＝ c ，
一组基底．
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 120°＝－1.
∵AC1＝AB＋BC＋CC1＝a＋b＋c，
∴ | AC1 | 2 ＝ ( a ＋ b ＋ c ) 2
“遇模想平方”，从而把模的计算化为数量积的计算．
＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝1＋1＋22－2－2＝2.
∴|AC1|＝，即线段AC 的长为.
1
(2)解： ∵ AC 1 ＝ a ＋ b ＋ c ， A1D ＝ b － c ，
∴ AC 1 · A1D ＝ ( a ＋ b ＋ c )· ( b － c ) ＝ a · b
计算对应向量数量积．
－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.
又|A1D|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，∴|A1D|＝.
∴cos〈AC1，A1D〉＝＝＝－.
∴ 异面直线 AC 与 A D 所成角的余弦值为 .
1 1
须注意区别向量夹角并非异面直线的夹角，向量夹角的范围是[0，π]，而异面直线的
夹角范围是.
(3)证明：∵AA1＝c，BD＝b－a，
∴AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.∴AA1⊥BD，即AA⊥BD.
1空间向量数量积的应用中的主要题型
(1)求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角．
(2)求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计
算问题．
(3)解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的
计算问题．
⇔
对点练3(2024·山东枣庄模拟)在空间直角坐标系Oxyz上，有一个等边三角形ABC，其
中点A在z轴上．已知该等边三角形的边长为2，重心为G，点B，C在平面Oxy上，若
OG在z轴上的投影向量的模是z，则| OG|2＝________(用字母z表示)．
解析：如图，设BC的中点为M，连接AM，因为等边三角形ABC的重心为G，所以
GM＝AM，设OG在z轴上的投影向量是ON，则ON＝OA，OG在z轴上的投影向量的模是
z，所以OA＝3z，该等边三角形的边长为2，在Rt△OAB中，OB＝，同理可得OC＝，因
为OG＝(OA＋OB＋OC)，所以|OG|2＝( OA＋OB＋OC)2＝(OA2＋OB2＋OC2＋2OA·OB＋
2OA·OC＋2OC·OB)＝＝－3z2.
答案：－3z2
题型 向量法证明平行、垂直
典例4如图，已知AA⊥平面ABC，BB∥AA ，AB＝AC＝3，BC＝2，AA ＝，BB ＝
1 1 1 1 1
2，点E和F分别为BC和AC的中点．
1
(1)求证：EF∥平面ABBA；
1 1
(2)求证：平面AEA⊥平面BCB.
1 1
证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA ⊥ 平面 ABC ，AA∥BB，
1 1 1
线面垂直是建立空间直角坐标系的基础，因此每一个题目，我们都非常关注线面垂直、
面面垂直．所以 过 E 作平行于 BB 的直线，以其为 z 轴， EC ， EA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴，建
1
立如图所示的空间直角坐标系．建系技巧：①尽量利用已知线面垂直关系；②尽可能使更
多的点落在坐标轴上．
因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2，
所以E(0,0,0)，C(，0,0)，A(0,2,0)，B(－，0,0)，A(0,2，)，则F.
1
(1)EF＝，AB＝(－，－2,0)，AA1＝(0,0，)．
设平面ABBA的一个法向量为n＝(x，y，z)，
1 1
则所以
取所以n＝(－2，，0)．
因为EF·n＝×(－2)＋1×＋×0＝0，所以EF⊥n.
又EF⊄平面ABBA，所以EF∥平面ABBA.
1 1 1 1
(2)易知EC＝(，0,0)为平面AEA 的一个法向量，
1
EA ＝ (0,2,0) 为平面 BCB 的一个法向量．
1
当然几何法更显优点．
因为EC·EA＝0，所以EC⊥EA，
故平面AEA⊥平面BCB.
1 1
1．利用向量法证明平行问题
其实对于普通的垂直，平行关系常采用几何法．
(1)线线平行：方向向量平行．
(2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(3)面面平行：两平面的法向量平行．
2．利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法
线线垂直
证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
问题
线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为
问题 证明线线垂直
面面垂直
证明两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直
问题
对点练4如图所示，在长方体ABCDABC D 中，AA＝AD＝1，E为CD的中点．
1 1 1 1 1(1)求证：BE⊥AD.
1 1
(2)在棱AA 上是否存在一点P，使得DP∥平面BAE？若存在，求AP的长；若不存在，
1 1
说明理由．
(1)证明：以A为原点， AB， AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立
如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D(0,1,1)，E，B(a,0,1)．
1 1
故AD1＝(0,1,1)，B1E＝.
因为B1E·AD1＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以B1E⊥AD1，即BE⊥AD.
1 1
(2)解：存在满足要求的点P，
假设在棱AA 上存在一点P(0,0，z)，
1 0
使得DP∥平面BAE，此时DP＝(0，－1，z)，
1 0
设平面BAE的法向量为n＝(x，y，z)．
1
AB1＝(a,0,1)， AE＝.
因为n⊥平面BAE，所以n⊥AB1，n⊥AE，
1
得
取x＝1，则y＝－，z＝－a，
故n＝.
要使DP∥平面BAE，只需n⊥DP，
1
则－az＝0，解得z＝.
0 0
所以存在点P，满足DP∥平面BAE，此时AP＝.
1
