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第5讲 空间向量及其应用
复习要点 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向
量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数
量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平
面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明
立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
一 空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量(或 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的
平行向量) 向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
二 空间向量的有关定理
1．共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a ＝ λ b .
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对(x，y)，使 p ＝ x a ＋ y b .
3．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组
(x，y，z)，使得 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c .其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数
组(x，y，z)，使OP＝ x OA ＋ y OB ＋ z OC .
三 数量积及坐标运算
1．数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝ | a | | b |cos 〈 a ， b 〉 ．
2．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b).
1 2 3 1 2 3
向量表示 坐标表示
数量积 a·b ab ＋ a b ＋ a b
1 1 2 2 3 3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a ＝ λb ， a ＝ λb ， a ＝ λb
1 1 2 2 3 3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ab ＋ a b ＋ a b ＝ 0
1 1 2 2 3 3
模 |a|
夹角余 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝弦值 (a≠0，b≠0)
四 直线的方向向量和平面的法向量
1．直线的方向向量
就是指所在的直线和这条直线平行或重合的向量，显然一条直线的方向向量可以有无
数个．
2．平面的法向量
(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量
也有无数个，它们是共线向量．
(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面
是唯一确定的．
3．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
(1)直线l 的方向向量为u＝(a，b，c)，直线l 的方向向量为u＝(a，b，c)．
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
若l∥l，则u∥u u＝ku ( a ， b ， c ) ＝ k ( a ， b ， c ) ．
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
若l⊥l，则u⊥u u·u＝0 aa ＋ b b ＋ c c ＝ 0 .
1 2 1 2⇔ 1 2 ⇔ 1 2 1 2 1 2
(2)直线l的方向向量为u＝(a，b，c)，平面α的法向量为n＝(a，b，c)．
⇔ 1⇔ 1 1 2 2 2
若l∥α，则u⊥n u·n＝0 aa ＋ b b ＋ c c ＝ 0 .
1 2 1 2 1 2
若l⊥α，则u∥n u＝kn ( a ， b ， c ) ＝ k ( a ， b ， c ) ．
⇔ ⇔ 1 1 1 2 2 2
(3)平面α 的法向量为u＝(a，b，c)，平面α 的法向量为u＝(a，b，c)．
1 ⇔ 1 1⇔ 1 1 2 2 2 2 2
若α⊥α，则u⊥u u·u＝0 aa ＋ b b ＋ c c ＝ 0 .
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
若α∥α，则u∥u u＝ku ( a ， b ， c ) ＝ k ( a ， b ， c ) ．
1 2 1 2⇔ 1 2 ⇔ 1 1 1 2 2 2
常/用/结/论
⇔ ⇔
1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是OA＝xOB＋yOC( 其中 x ＋ y ＝ 1 ， x ，
y ∈ R )，O为平面内任意一点．
2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是OP＝xOA＋yOB＋zOC( 其中 x ＋ y ＋ z
＝ 1 ， x ， y ， z ∈ R )，O为空间任意一点．
上面两个结论很相似，我们应学习这种由平面到空间，一些命题是如何演变的. 如下
面的类比：在Rt△ABC中，＝＋.
在三棱锥OABC中：OA，OB，OC两两垂直，OH⊥平面ABC，则有＝＋＋.1．判断下列结论是否正确．
(1)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()
(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(√)
(3)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．()
(4)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．()
2．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ的值分别为( )
A.， B．－，－
C．5,2 D．－5，－2
解析：若两向量平行，则有＝，2μ－1＝0，解得λ＝，μ＝.
答案：A
3．已知直线l在平面α外，且a＝(－2,2,5)是直线l的方向向量，b＝(6，－4,4)是平面
α的法向量，则直线l与平面α的位置关系为________．
解析：∵a·b＝－2×6＋2×(－4)＋5×4＝0，且直线l在平面α外，∴直线l与平面α平行．
答案：平行
4．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t的
值是________．
解析：因为u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,5)分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，所以
u⊥v，所以－2×6＋2×(－4)＋t×5＝0，解得t＝4.
答案：4
题型 空间向量的线性运算
典例1如图所示，在平行六面体 ABCDABC D 中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，
1 1 1 1
M，N，P分别是AA，BC，C D 的中点，试用a，b，c表示以下各向量．
1 1 1
(1) AP；(2)A1N；(3) MP＋NC1.
解：(1)∵P是C D 的中点，
1 1
∴ AP ＝ AA1 ＋ A1D1 ＋ D1P ＝a＋AD＋D1C1
向量加法的多边形法则．
＝a＋c＋ AB＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋ BC
＝－a＋b＋ AD＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA 的中点，
1
∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP
＝－a＋＝a＋b＋c.
又 NC1 ＝ NC ＋ CC1 ＝ BC ＋ AA1
以上都是采用向量的三角形加法法则向基向量转化的，也是用基底表示出目标向量．
＝ AD＋a＝c＋a，
∴MP＋NC1＝＋
＝a＋b＋c.
用已知向量表示某一向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来．向量线性运算
一定要结合图形特点.
对点练1 如图所示，在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC
的重心，用基向量OA，OB，OC表示MG， OG.
解：连接ON(图略)．MG＝MA＋AG＝OA＋ AN＝OA＋( ON－OA)
＝OA＋
＝－OA＋OB＋OC.
OG＝OM＋MG＝ OA－OA＋ OB＋OC＝OA＋OB＋OC.
题型 空间向量的共线、共面问题
典例2 如图所示，已知斜三棱柱ABCABC ，点M，N分别在AC 和BC上，且满足
1 1 1 1
AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．
(1)向量 MN 是否与向量 AB ， AA1 共面 ？
转化为MN是否可写成AB，AA1的线性和的形式．
(2)直线MN是否与平面ABBA 平行？
1 1
解：(1)连接BA(图略)，∵AM＝kAC1， BN＝kBC(0≤k≤1)，
1
∴ MN ＝ MA ＋ AB ＋ BN向量的线性运算最终转化成AB，AA1的线性和．
＝kC1A＋AB＋kBC＝k(C1A＋BC)＋AB
＝k(C1A＋B1C1)＋AB＝kB1A＋AB＝AB－kAB1
＝AB－k(AA1＋AB)＝(1－k)AB－kAA1，
∴由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面．
(2) 当 k ＝ 0 时 ，点M，A重合，点N，B重合，MN
特殊情形，单独讨论．
在平面ABBA 内，∴MN不平行于平面ABBA；
1 1 1 1
当0
