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第3讲 平面向量的数量积
复习要点 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.
了解平面向量投影的概念及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.
能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角.5.会
用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学
和实际问题中的作用．
一 平面向量数量积的定义及几何意义
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，O是平面上任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 就是向
量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量 | a | | b |·cos θ 叫做向量a
定义
与b的数量积，记作a·b
投影
向量
如图，AB＝a，CD＝b，则A1B1叫做向量a在向量b方向上的投
影向量
几何
数量积a·b等于b与a在b方向上的投影向量A1B1的乘积
意义
二 向量数量积的运算律
1．a·b＝b·a.
2．(λa)·b＝λ(a·b)＝ a ·( λ b ) ．
3．(a＋b)·c＝ a · c ＋ b · c .
三 平面向量数量积的性质
设a＝(x，y)，b＝(x，y).
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充
a·b ＝ 0 xx ＋ y y ＝ 0
1 2 1 2
要条件
|a·b|与
|xx＋yy|≤
1 2 1 2
|a||b|的 |a·b|≤|a||b|
关系常/用/结/论
1．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
2．(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
3．两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)．
4．两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．()
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()
(3)(a·b)·c＝a·(b·c)．()
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()
2．(2024·海南海口模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝2，b＝(－1，)，则a在b
方向上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
解析：a在b方向上的投影向量为|a|cos θ·＝2×cos ×＝.故选C.
答案：C
3．(2024·山东济宁阶段考试)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝
3，AB与AC的夹角为60°，则|MA|＝________.
解析：因为M为BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)，所以|MA|2＝(AB＋AC)2＝(|AB|2＋|
AC|2＋2AB·AC)＝×(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，所以|MA|＝.
答案：
4．(2024·北京模拟)已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹
角的余弦值为________．
解析：设a，b的夹角为θ，依题意，(a－2b)·(2a＋b)＝0，则2a2－3a·b－2b2＝0，故
2×4－3×2×3×cos θ－2×32＝0，则cos θ＝－.
答案：－
题型 平面向量数量积的概念及运算
典例1(1)已知a＝(1,2)，b为单位向量，若a·b＋|a|·|b|≤0，则b＝( )
A. B.
C. D.
(2)已知点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则 A B · B C ＋ B C · C A ＋ C A · A B
注意各向量的夹角并非三角形的内角．的值是________．
解析：(1)由a·b＋|a|·|b|≤0，可得 | a |· | b |·cos 〈 a ， b 〉＋ | a |· | b |≤0 ，得cos〈a，b〉＋1≤0，
从两向量的夹角作为切入点，代入条件方程．
得cos〈a，b〉≤－1，又cos〈a，b〉≥－1，所以cos〈a，b〉＝－1，得 〈 a ， b 〉＝
180° ，可知 a 与 b 共线且反向 ．可以由此直接得到b ＝－.
方法一：不妨设b＝(x，y)，因为 b 为单位向量 ，
题眼．
所以|b|＝1.由
得或
当b＝时，a＝b，a与b共线且同向，不合题意；当b＝时，a＝－b，a与b共线且反
向，符合题意．
方法二： b ＝－＝－ (1,2) ＝，与 a共线的单位向量可表示为±，“”表示与a同向的单
位向量，“ －”表示与a反向的单位向量．
故选D.
(2)方法一：如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，
∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB
＝BC·CA＋CA·AB
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cos C－150cos A
＝－20×－15×＝－25.
方法二：如图，建立平面直角坐标系，则
A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．
坐标法省脑筋，专注运算即可．
∴AB＝(－3,0)，BC＝(0,4)，CA＝(3，－4)．
∴AB·BC＝－3×0＋0×4＝0，BC·CA＝0×3＋4×(－4)＝－16，CA·AB＝3×(－3)＋(－4)×0
＝－9.
∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝－25.
方法三：由题可知AB⊥BC，∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝0＋ C A ·( B C ＋ A B ) ＝ C A · A C ＝
－ A C 2＝－25. 向量的合成．
方法四：由题可知AB⊥BC，AB＋BC＋CA＝0，将其两边平方可得 A B 2 ＋ B C 2 ＋ C A 2 ＋ 2( A B · B C ＋ A B · C A ＋ B C · C A ) ＝0，故
这个思路很清晰，简捷．
AB·BC＋AB·CA＋BC·CA＝－(AB2＋BC2＋CA2)＝－25.
故答案为－25.
求向量a，b的数量积的三种方法
(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量
的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，
b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．
(3)若图形适合建立平面直角坐标系，则建立坐标系，求出 a，b的坐标，通过坐标运
算求解.\s\up7( )
对点练1(1)(2023·全国乙卷，文)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED
＝( )
A. B．3
C．2 D．5
(2)(2023·全国乙卷，理)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与
⊙O交于B，C两点，D为BC的中点．若|PO|＝，则PA·PD的最大值为( )
A. B.
C．1＋ D．2＋
解析：(1)在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，且 AB＝2，所以 EC·ED＝(EB＋
BC)·(EA＋AD)＝(EB＋BC)·(BC－EB)＝|BC|2－|EB|2＝4－1＝3，故选B.
(2)如图所示，|OA|＝1，|OP|＝，则由题意可知∠APO＝45°，
由勾股定理可得PA＝＝1.
当点A，D位于直线PO的异侧时，设∠OPC＝α，0≤α≤，则|PD|＝cos α，
则PA·PD＝|PA|·|PD|cos
＝1×cos αcos
＝cos α
＝cos2α－sin αcos α
＝－sin 2α
＝－sin，
∵0≤α≤，则－≤2α－≤，
∴当2α－＝－时，PA·PD有最大值1；当点A，D位于直线PO的同侧时，设∠OPC＝α，0≤α≤，则|PD|＝cos α，
则PA·PD＝|PA|·|PD|cos
＝1×cos αcos
＝cos α
＝cos2α＋sin αcos α
＝＋sin 2α
＝＋sin，
∵0≤α≤，则≤2α＋≤π，
∴当2α＋＝时，PA·PD有最大值.
综上可得，PA·PD的最大值为.
故选A.
答案：(1)B (2)A
题型 投影向量的概念及运用
典例2已知向量b在单位向量a上的投影 向量为－ 4 a ，则(a＋b)·a＝( )
严格投影向量的概念，可计算得a·b的值．
A．－3 B．－1
C．3 D．5
解析：∵向量b在单位向量a上的投影向量为－4a，∴ · ＝－ 4 a ，∴a·b＝－4，
题眼：要记住投影向量公式．
∴(a＋b)·a＝1－4＝－3.故选A.
投影向量的求法
方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量．
方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为 | a |·cos 〈 a ， b 〉 ·. 前面 |a|·cosa，
b是a在b上的投影的值，后面为与b同向的单位向量.
对点练2(2023·湖南部分名校联盟5月冲刺)在△ABC中，已知AC＝3，向量AB在向量
AC上的投影向量为，点D是BC边上靠近C的三等分点，则AD·AC＝( )
A．3 B．6
C．7 D．9
解析：作出图形如图，选AB，AC作为一组基底，根据投影向量的计算公式，可知向
量AB在向量AC上的投影向量为·，由题意知·＝，于是＝1，即AB·AC＝3.又AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，
所以AD·AC＝·AC＝AB·AC＋AC·AC＝×3＋×9＝7.故选C.
答案：C
题型 数量积应用的多维研讨
维度1 解决两向量垂直问题
典例3(2020·全国Ⅱ卷，文)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b
垂直的是( )
最直接的笨方法，计算各选项与b的数量积．
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
解析：方法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝
≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于
C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1
－1＝0，所以(2a－b)⊥b.
方法二：不妨设 a ＝， b ＝ (1,0) ，则a＋2b
由于a，b＝60 °，才设出a＝，各选项都有坐标，与b垂直的向量，它的横坐标为
0，只盯着这一项指标就可以作出判断．
＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b.
方法三：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，
如图所示，
A B
C D
发挥图形运算的优点，从另一视角审视各个选项．
由图易知，只有D满足题意．故选D.
两非零向量垂直的充要条件是a⊥b a·b＝0 | a － b | ＝ | a ＋ b |.几何解释：对角线相等的
⇔ ⇔平行四边形为矩形.
对点练3(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋
μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
解析：由于a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a＋λb＝(1,1)＋(λ，－λ)＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb
＝(1,1)＋μ(1，－1)＝(1＋μ，1－μ)．又∵(a＋λb)⊥(a＋μb)，∴(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋
λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，解得λμ＝－1，故选D.
答案：D
维度2 探究向量模的问题
典例4已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，求 | a ＋ b | 和 | a － 3 b |.遇
模想平方，向量模的计算可通过平方，转化为数量积的运算．
解：方法一：因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos θ＝6×4×＝
12，
所以(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144
＝108.
所以|a＋b|＝2，|a－3b|＝6.
方法二：如图1所示，设OA＝a，OC＝b，则OB＝a＋b，由a，b的夹角为60°知，
∠AOC＝60°，∠BAO＝120°，在△AOB中，由余弦定理，得|a＋b|＝|OB|＝＝2.
图1 图2
向量运算的几何意义，使模的计算更加直观可视！
如图2所示，同上可求得|a－3b|＝|FE|＝6.
利用数量积求解长度(模)问题的处理方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.\s\up7( )
对点练4(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝
________.
解析：由两式分别平方，得
解得|b|＝.
答案：维度3 向量的夹角
典例5(1)已知单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为( )
A. B. C. D.
(2)(2023·全国甲卷，文) 已知向量 a ＝ (3,1) ， b ＝ (2,2) ，则 cos 〈 a ＋ b ， a － b 〉 ＝( )
既然给出了坐标，当然用代数法求夹角！不必费心思在图形上解释夹角了！
A. B. C. D.
(3)(2023·山东淄博一模)若向量a＝(m，－3)，b＝(3,1)，则“m<1”是“ 向量 a ， b 的夹
角为钝角”的( )
夹角为钝角⇔
夹角为锐角⇔
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：(1)方法一：设a与b－a的夹角为θ.
因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以a·b＝0.
因为a，b为单位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝.因为 a ·( b － a ) ＝ a · b － a · a ＝－ 1 ＝ | a | |
b － a |cos θ ， cos θ＝，严格公式．
所以cos θ＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
方法二(几何法)：如图，|a＋b|与|a－b|分别表示
从图形观点转化条件．
以a，b为邻边(共起点)的菱形的两条对角线的长度，且长度相等，从而菱形为正方形，
再作出b－a可知所求夹角为.
方法三(坐标法)：由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系
中取 a ＝ (1,0) ， b ＝ (0,1) ，则b－a＝(－1,1)，由向量夹角
坐标法其实也算是一种图形方法，因为它也是建立在基底上的坐标．
的坐标运算知a与b－a的夹角为.故选D.
(2)由题意知，a＋b＝(5,3)，a－b＝(1，－1)，|a＋b|＝＝，|a－b|＝，(a＋b)·(a－b)＝
5×1－3×1＝2，所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝，故选B.
(3)向量a＝(m，－3)，b＝(3,1)，由向量a，b的夹角为钝角，得
解得m<1且m≠－9，又“m<1”是“m<1且m≠－9”的必要不充分条件，即“m<1”是
“向量a，b的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B.求两向量夹角的方法
(1)一般是利用夹角公式：cos θ＝.
(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量
的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
对点练5(1)(2023·全国甲卷，理)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－
c，b－c〉＝( )
A．－ B．－
C. D.
(2)(2024·河北石家庄质检)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，若∃t∈R，|a＋tb|<|a＋b|，
则向量a与b的夹角不等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：(1)因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝
2，所以a·b＝0.如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD＝，AD
＝，所以CD＝CO＋OD＝＋＝，所以AC＝，tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝，所以cos〈a－
c，b－c〉＝cos∠ACB＝cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×2－1＝.故选D.
(2)设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由向量数量积的运算律可将原问题转化为
∃t∈R，(a＋tb)2<(a＋b)2，即a2＋2ta·b＋t2b20，解得θ≠120°，故选C.
答案：(1)D (2)C
