2023届高三数学专题三角函数与解三角形讲义六、正弦定理和余弦定理_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_专项复习_2023届高三数学专题三角函数与解三角形讲义

六、正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA；
公式 ＝＝＝2R b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
(1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； cos A＝；
常见
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； cos B＝；
变形
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝ cos C＝
csin A
2.S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
△ABC
常见结论：1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A>sin B cos A<cos B.
题型一、利用正、余弦定理解三角形
1.已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于( ) ⇔ ⇔ ⇔
A.2 B.1 C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝
________.
3.在 中, 分别是角 的对边,设 , , ,则 ( )
A. 或 B. C. D.以上都不对
4.在 中， ， ， ，则 的解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定的
5.（2020回民中学一模）已知在 中，若 ，则此三角形（）
A. 无解 B. 有一个解 C. 有二个解 D. 解的个数不确定
6.（2019·安徽省涡阳第一中学）在 中，如果 ， ， ，则此三角形有（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．无穷多解
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
8.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A. B. C. D.
9.在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A75,C 60,c  3 ,则b( )
2 3 3 2
A. B. C. D.
2 2 2 2
11. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，
则
A． B． C． D．
12.如图,在 中,已知 , 是 边上一点, , , ,则
( )
A. B. C. 2 D. 3第12题
第13题
13.如图,在 中, 是边 上的点,且 , , ,则 的值为(
)
A. B. C. D.
14.如图，为测量山高 MN ，选择A和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从A点测得M 点的仰角
MAN 60 CAB45 MAC 75 C MCA60
， 点的仰角 以及 ；从 点测得 .已知山高
，则山高 ________ ．
[来源:学科网ZXXK]
A
M
第14题 第15题 D A
N C B
15.如图,无人机在离地面高 的 处,观测到山顶 处的仰角为 、山脚 处的俯角为 ,已知
，则山的高度 为_________ ．
16.如图所示，为了测量 处岛屿的距离，小明在 处观测， 分别在 处的北偏西 、北偏东
方向，再往正东方向行驶40海里至 处，观测 在 处的正北方向，
在 处的北偏西 方向，则 两处岛屿间的距离为（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D．40海里
17.如图，在四边形 中， ， ．已知 ，
．
（1）求 的值；（2）若CD2，且CD BC，求BC的长．
第16题
18.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，
∠BCE成等差数列．(1)求sin∠CED；(2)求BE的长．
3
ABC  ，AB AD,AB1
19.如图 ,在平面四边形 ABDC 中， 4 .
ADC  ，CD4
(Ⅰ)若 AC  5 ,求△ABC的面积；(Ⅱ)若 6 ，求 sinCAD .
题型二、正弦、余弦定理的应用
1.在 中， ， ， ，则 =_______, 边上的高________
2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝( )
A. B. C. D.
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( )
A. B. C. D.
4.△ABC中A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A. B. C. D.
5.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值
为( )
A. B. C. D.6
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sin Asin B，且b＝6，则c＝( )
A.2 B.3 C.4 D.6
7.在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且 ，
则 _________.
8.在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
9.在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cos A，则△ABC为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
11.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(
)
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，则 _________
13.（2020•朝阳区一模）在△ABC中， ．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若c＝5，____，求a．
从 b＝7， 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
① ②14.（2021•揭阳模拟）在 sinC+ cosC＝2， C＝2A， b＝2a这三个条件中任选一个，补充在下面
问题中，若问题中的三角形存在，求a的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
① ② ③
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（3c﹣2b）cosA＝2acosB，c＝1，
_____？
15.（2021•清新区校级模拟）在 2ccosC﹣acosB﹣bcosA＝0， ， （a+b）2＝
① ② ③
ab+c2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求 ，并判断△ABC的形状，请说明理由．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a+c＝2b，____，求 的值并判断△ABC的形状，
请说明理由．
题型四、三角形面积、周长有关的问题
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则
△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面
积是________.
4.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S ＝，则b的值为
△ABC
________.
5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0.
(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋2，求△ABC的面积.
6. （2021•深圳一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sinB﹣cosC
．
（1）求A；（2）若b c，且BC边上的高为2 ，求△ABC的面积．
7.（2021•东莞市校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sinA，sinC，
sinB成等差数列．
（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若S△ABC ，求c的值．8.（2017·全国高考真题（理））△ABC的内角 的对边分别为 ,已知△ABC的面积为
(1)求 ;(2)若 求△ABC的周长.
 
9．在 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且 csin   A 是 与 的等差中项.
 2  acosB bcosA
（1）求角A；（2）若2a bc，且ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积.
题型五、解三角形中的最值、范围问题
1.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面
积的最大值为________.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A.若a＝4，则△ABC周长的最
大值为________.
变式：若改成锐角△ABC，则△ABC周长的最大值为________
3.已知：在 中，内角 的对边分别为 ,且 ．
（1）求角 ；（2）设 ，求 周长的取值范围．
AC
ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asin bsin A．
2
4（.△1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围． b2 a2 c2 sinBC 3accosAC
ABC A,B,C a,b,c
5.锐角 中， 对边为 ，
bc
（1）求A的大小； （2）求代数式 a 的取值范围.
ABC A,B,C a,b,c asinC  3ccosA
6.在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
 
 B
（1）求角A的大小；（2）若 b2 ，且 4 3 ，求边 c 的取值范围.
7．在① ，② ，③ 这三个条
件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在 中，角 所对的边分别为 ，且
___________.
（1）求角A的大小；（2）若 ，求 面积的最大值.