文档文本内容
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8-16
2019 秋·高二课改凌云
（数列+选2-1+导数）
LECTURE 14
1
LECTURE 8
LECTURE 9
LECTURE 10
LECTURE 11
LECTURE 12
LECTURE 13
利用导数研究单调性
向量与角度
点差法与单动点问题
空间向量与立体几何
导数的运算与几何意义
LECTURE 14
LECTURE 14
LECTURE 16
LECTURE 15
利用导数研究极值最值
单变量恒成立（存在性）问题
双变量恒成立（存在性）问题
利用导数判断零点个数
1
秋·课改凌云班
历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学
则使人善于争论。—— 培根
LECTURE 8 向量与角度
1.向量问题
2.比例问题：
针对共线线段的弦长比例问题，通常有以下思路：
由于线段共线，根据相似分别可以得出三点横坐标之间关系式，纵坐标之间关系式，结合韦达定理求出相应的参数
或者取值范围。
3.角度问题：
（1）角度条件的转化：
当A，OB 三点不共线的时候，
①∠AOB 为直角，ܱퟀ
ሬԦ
ሬሬሬ∙ܱ
a
ሬԦ
ሬሬሬ= 0
②∠AOB 为锐角，ܱퟀ
ሬԦ
ሬሬሬ·ܱ
a
ሬԦ
ሬሬሬ> 0
③∠AOB 为钝角，ܱퟀ
ሬԦ
ሬሬሬ·ܱ
a
ሬԦ
ሬሬሬ< 0
1.已知
是双曲线
上的一点，
，
是
的左、右两个焦点，若
，
则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】解：由题意，
，
所以
．故选：A．
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秋·课改凌云班
LECTURE 9 点差法与单动点问题
1.弦中点问题与点差法
（1）椭圆中的点差公式：当x0 不为零时，有
2
2
0
0
a
b
k
x
y
AB
；也可写成斜率积的形式：
2
2
a
b
k
k
AB
OP
（2）双曲线中的点差公式：当x0 不为零时，有
2
2
0
0
a
b
k
x
y
AB
；也可写成斜率积的形式：
2
2
a
b
k
k
AB
OP
（3）抛物线中的点差公式：当x0 不为零时，有
p
k
y
AB
0
（4）弦的中垂线问题：
对称轴蕴含两个条件：①弦与对称轴垂直⇒斜率乘积为-1 ②中点在对称轴上⇒中点满足对称轴方程。
2.单动点问题
我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。—— 纳皮尔
1.椭圆
上动点
与定点
的连线段
的中点
所形成的曲线的方程为________．
【答案】
【解析】解：设
，
，
，
是
的中点，故有
，
，
又
为椭圆
上一动点，
，
整理得
．
故
的中点
的轨迹方程是
．
故答案为：
．
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秋·课改凌云班
LECTURE 10 空间向量与立体几何
1、平面的法向量
定义：已知平面α，如果向量݊ሬԦ的基线与平面α垂直，则向量݊ሬԦ叫做平面α的法向量或说向量݊ሬԦ与平面α正交
2、平面法向量的性质
平面α的一个法向量垂直于平面α的所有的向量；一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行
3、向量法证明立体几何中的平行、垂直
设直线l，m 的方向向量分别为ܽሬԦǡܾሬԦ，平面α，β的法向量分别为ݑሬԦ, ݒሬԦ则有以下结论
线线平行：l∥m⟺ܽሬԦ צܾሬԦ ⟺ܽሬԦ =ܾ݇
ሬԦ
线面平行：l∥α ⟺ܽሬԦ ٣ uሬԦ ⟺ܽሬԦ ∙uሬԦ=0
面面平行：α∥β⟺ݑሬԦ ∥ݒሬԦ ⟺ݑሬԦ = kݒሬԦ
k∈R
线线垂直：l⊥m⟺ܽሬԦ ⊥ܾሬԦ ⟺ܽሬԦ ∙ܾሬԦ=0
线面垂直：l٣ α ⟺ܽሬԦ ∥uሬԦ ⟺ܽሬԦ = kuሬԦ
k∈R
面面垂直：α⊥β⟺ݑሬԦ ⊥ݒሬԦ ⟺ݑሬԦ ∙ݒሬԦ=0
数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。—— 努瓦列斯
1.如图，空间四边形
中，
，
，
，点
在
上，且
，
点
为
中点，则
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：由题意
．又
，
，
故选：B．
2
1
LECTURE 11 导数的运算与几何意义
秋·课改凌云班
1.
导数的基础知识回顾：
回忆导数的公式表及四则运算法则，注意(݂
ݔ݃
ݔሻڃ的四则运算法则。注意以下几个公式
ࢌ࢞
= ࢇ࢞
ࢌڃ࢞
= ࢇ࢞ࢇ
ࢌ࢞
= thࢇ࢞
ࢇ> hǡࢇ്
ǡ࢞
> h
ࢌڃ࢞
=
࢞
ࢇ
2.
复合函数求导公式：
对于可导函数࢟
= ࢌ࢛
ǡ࢛
=࢛࢞
Ǣ ࢌ࢛࢞ڃ= ࢌڃ࢛࢛࢞ሻ࢞(ڃ
3.
导数的几何意义：
曲线ݕ=݂
(ݔሻ在点(ݔ0ǡ݂(ݔ0ሻሻ处的切线斜率等于点处的导数值。
点处的切线方程为
y −ݕ0 =݂(ڃݔ0ሻ(ݔെݔ0ሻ
1.函数
的导数为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：根据
可得
．
故选：A．
2.求下列函数的导数：
．
【答案】见解析
【解析】解：
，
．
新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。—— 华罗庚
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1、导数判断函数单调性的方法：
如果函数ݕ=݂
ݔ在x 的某个开区间内，总有݂ڃݔ> 0ǡ则݂
ݔ在这个区间上是增函数；
如果函数ݕ=݂
ݔ在x 的某个开区间内，总有݂ڃݔ< 0ǡ则݂
ݔ在这个区间上是减函数；
2、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数f(x)的定义域
（2）求f'(x)，令f'(x)=0，解此方程，求出在定义域内的一切实根。
（3）把f(x)在间断点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间
分成若干个小区间。
（4）确定f'(x)在各个小区间的符号，根据f'(x)的符号判断函数f(x)在每个相应小区间的增减性。
秋·课改凌云班
LECTURE 12 利用导数研究单调性
数学主要的目标是公众利益和自然现象的解释。—— 傅立叶
1. 设
、
是
上的可导函数，
、
分别为
、
的导函数，且满足
，则当
时，有(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：令
，
则
，
因为
，
所以
在
上单调递减，
又因为
，所以
．故选：C．
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秋·课改凌云班
LECTURE 13 利用导数研究极值最值
宁可少些，但要好些。—— 高斯
1、极值的定义：
已知函数ݕ=݂
ݔ，设x0 是定义域内任一点，如果对x0 附近的所有点x，都有f(x0ሻ>f(x),则称函数݂
ݔ在x0
处极大值，并把x0称为݂
ݔ的一个极大值点。（极小值同理）
2、求极值的方法：
（1）确定函数定义域；
（2）求导数݂
’ ݔ；
（3）求方程݂
’ ݔ=0 的根；
（4）检查݂
’ ݔ在根左右的值的符号，如果左正右负，那么在根处取得极大值，如果左负右正即为极小值。
1.函数
的导函数图象如下图所示，则函数
在图示区间上(
)
A. 无极大值点，有四个极小值点
B. 有三个极大值点，两个极小值点
C. 有两个极大值点，两个极小值点
D. 有四个极大值点，无极小值点
【答案】C
【解析】因为导函数的图象在与
轴的四个交点处都是穿过的，所以都是极值点，根据正负变化情
况知，第一个与第三个交点对应极大值点，第二个与第四个交点对应极小值点(从左到右)，故选C．
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秋·课改凌云班
LECTURE 14 单变量恒成立（存在性）问题
1、单变量问题恒成立的常见表达
对∀ݔאܽ
ǡܾ
ǡ݂
ݔ> t 恒成立
即为݂
ݔt݅݊
> t
对∀ݔאܽ
ǡܾ
ǡ݂
ݔ< t 恒成立
即为݂
ݔtܽݔ< t
对∀ݔאܽ
ǡܾ
ǡ݂
ݔ>݃
(ݔሻ恒成立
即为ሾ݂
ݔെ݃
(ݔሻ쳌t݅݊
> 0
对∀ݔאܽ
ǡܾ
ǡ݂
ݔ<݃
(ݔሻ恒成立
即为ሾ݂
ݔെ݃
(ݔሻ쳌tܽݔ< 0
2、单变量问题存在性的常见表达
对∃ݔאܽ
ǡܾ
ǡ݂
ݔ> t 成立
即为݂
ݔtܽݔ> t
对∃ݔאܽ
ǡܾ
ǡ݂
ݔ< t 成立
即为݂
ݔt݅݊
< t
对∃ݔאܽ
ǡܾ
ǡ݂
ݔ>݃
(ݔሻ成立
即为ሾ݂
ݔെ݃
(ݔሻ쳌max > 0
对∃ݔאܽ
ǡܾ
ǡ݂
ݔ<݃
(ݔሻ成立
即为ሾ݂
ݔെ݃
(ݔሻ쳌t݅݊
< 0
3、端点效应
在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。—— 罗素
已知
对于任意的
恒成立，则(
)
A.
的最小值为
B.
的最小值为
C.
的最大值为
D.
的最大值为
【答案】A
【解析】解：
对于任意的
恒成立，
化为求：
的最小值．
，可得
时，函数
取得极小值即最小值．
．
，化为：
，即
，解得
．
因此
的最小值为
．故选：A．
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LECTURE 15 双变量恒成立（存在性）问题
秋·课改凌云班
1、单函数单变量
一个函数中有两个变量时，常用的转化方法为：
,
,
2
1
2
1
x
x
x
x
m
x
x
x
f
x
f
2
1
2
1
可转化为
)
(' x
f
m
,
,
2
1
2
1
x
x
x
x
m
x
x
x
f
x
f
2
1
2
1
可转化为
)
(' x
f
m
2
1, x
x
，
m
x
x
x
f
x
f
2
1
2
1
可转化为函数
mx
x
f
x
g
)
(
)
(
单调递增
2
1, x
x
，
m
x
f
x
f
2
1
可转化为
m
x
f
x
f
min
max
2.双函数双变量
3.双函数等式型问题
设函数
，若存在
，使
，则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】解：
的定义域是
，
时，
，
在
上递增，
，
故存在
，使
，
时，令
，解得：
，
令
，解得：
，
在
上递增，在
上递减，
解得：
，综上，的取值范围是
，故选D．
不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。—— 罗巴切夫斯基
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1、零点个数问题的解决方法
（1）利用导数判断不含参函数零点个数的步骤：
①利用导数判断函数的单调性，求出所有单调区间；
②求出函数的各个极值；
③根据端点处函数值及各极值的符号，在每一个单调区间内判断零点的个数；
④得到在整个定义域内零点的个数。
（2）由零点个数求参数范围的问题，与恒成立问题类似，有三种处理方法：
①分离参数法
②整体分析法
③图像法
2.零点问题中的找点技巧：①分析与构造
②直接放缩法
③分而治之
LECTURE 16 利用导数判断零点个数
秋·课改凌云班
1.若函数
在区间
上有两个零点，则实数
的取值范围为________．
【答案】
【解析】解：当
时，
，函数是减函数，
时，
是增函数，
函数
在区间
上有两个零点，
可知分段函数，两个区间各有一个零点，
可得
，解得
．
故答案为：
．
一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。—— 拿破仑
