文档文本内容
专题5-4 三角函数的图像与性质
【题型1】五点作图法
【题型2】含绝对值的三角函数问题
【题型3】解三角函数不等式
【题型4】三角函数相关图像的识别
【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题
【题型6】求单调区间（3 种类型）
类型一：整体法求单调区间
类型二：括号内有符号的情况
类型三：复合函数且有定义域限制
【题型7】求值域与最值
类型一：y=Asin(ωx+φ)+B
类型二：二次函数型
类型三：已知值域求参数
类型四：嵌套函数值域问题
【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题
【题型9】利用三角函数性质比大小
【题型10】与零点有关的问题
类型一：由交点个数求参数范围
类型二：关于零点的运算求值
【题型11】三角函数对称性的综合应用
类型一：由解析式得出对称中心
类型二：由称性求交点横（纵）坐标值的和
类型三：称性的综合运算
【题型12】求ω 范围问题初步
类型一：由零点个数求ω 的范围
类型二：由值域求ω 的范围
类型三：由对称轴（中心）个数求ω 的范围
类型四：在某区间上单调增（减）求ω 的范围
【题型13】三角函数性质综合
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
图象
单调性
[2
2
]
2
2
k
k
，
递增
3
[2
2
]
2
2
k
k
，
递减
[
2
2
]
k
k
，
递
增
[2
2
]
k
k
，
递
减
(
)
2
2
k
k
，
递增
对称中心
(
0)
k，
(
0)
2
k
，
(
0)
2
k，
对称轴
2
x
k
x
k
周期
2π
2π
π
【题型1】五点作图法
五点法作
,
的简图
在函数y=sinx，
的图象上，起关键作用的点有以下五个：
,如下表：
x
0
y=sinx
0
1
0
0
描出这五个点后,函数y=sinx，
的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，
我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种
作图的方法称为五点法作图．
作
的图像时也是先描出波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用
光滑曲线把这五点连接起来，就得到曲线在一个周期内的图象．
【例题1】（23-24 高一上·河南商丘·期末）已知函数
.
填写下表，并画出
在
上的图象；
0
【例题2】（23-24 高一上·湖北·期末）已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出
在
上的图象；
x
0
【巩固练习1】函数
，
的简图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知函数
．完成下面表格，并用“五点法”作函数
在
上的简图：
x
0
π
2π
【巩固练习3】已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出
的图象.
x
0
(2)若函数
满足不等式
，求
的范围.
【题型2】含绝对值的三角函数问题
分类讨论去绝对值
【例题1】画出函数
的简图．
【例题2】当
时，作出下列函数的图象，把这些图象与
的图象进行比较，你能
发现图象变换的什么规律？
（1）
；
（2）
；
（3）
.
【巩固练习1】作出函数
，
的大致图像．
【巩固练习2】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知函数
，
．
（1）作出函数
的图象；（2）求方程
的解．
【巩固练习3】作函数
的图象.
【题型3】解三角函数不等式
用三角函数图象解三角不等式的方法
1、作出相应正弦函数或余弦函数在
上的图象；
2、写出适合不等式在区间
上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．
【例题1】（24-25 高二上·广东广州·期中）若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】（24-25 高一上·全国·课后作业）在
上，函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】设
，使
且
同时成立的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题4】利用正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：
（1）
；
（2）
.
【巩固练习1】（23-24 高一上·全国·单元测试）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（22-23 高一上·甘肃定西·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】不等式
的解集为 ．
【巩固练习4】在
内，求使
成立的x 的取值范围.
【巩固练习5】求函数
的定义域．
【题型4】三角函数相关图像的识别
结合三角函数的奇偶性与正负来识别图像
【例题1】函数
的大致图像为（ ）
A． B． C．
D．
【例题2】（2024·高一·江苏无锡·期末）函数
的大致图象是（ ）
A． B． C．
D．
【巩固练习1】图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】函数
在
上的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（2024·广东深圳·阶段练习）函数
的图像是
（ ）
B．
A． B． C．
D．
【巩固练习4】（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）已知函数
，则
在
上的大致
图像是（ ）
A． B． C．
D．
【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题
图象法判断零点个数方法
将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，则函数
的
零点个数就是函数
和
的图象的交点个数
【例题1】方程
的实数解的个数为 个.
【例题2】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）函数
，
的图象与
直线
的交点个数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】
与
交点个数为 个．
【巩固练习2】方程
在
内实数根的个数为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
【巩固练习3】方程
的实数根的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【巩固练习4】（2024·新高考I 卷真题）当
时，曲线
与
的交点
个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【题型6】求单调区间（3 种类型）
（1）求形如
sin
y
A
x
(其中A≠0，
0
)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方
法去解答，列不等式的原则是：
①把“
x
(
0
)”视为一个“整体”；
②A＞0(A＜0)时，所列不等式的方向与
sin
y
x
( x
R
)，的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
（2）当
0
时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为
sin(
)
y
A
x
的形式，然后求
其单调递增区间，应把
x
放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把
x
放
在正弦函数的递增区间之内．
类型一：整体法求单调区间
【例题1】已知函数
，求
的单调递减区间.
【例题2】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
类型二：括号内有符号的情况
【例题3】（2024·高一·安徽马鞍山·期末）已知函数
,若
，求函数
的单调递增区间
类型三：复合函数且有定义域限制
【例题4】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】函数
的单调递减区间为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【巩固练习2】函数
单调减区间为
【巩固练习3】函数
的单调区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】函数
，
的增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】函数
单调减区间为
【巩固练习6】求函数
的单调区间．
【题型7】求值域与最值
以下归纳求值域的几种方法，不过考虑到辅助角公式还没学，所以本专题暂时仅涉及前2 种
1、形如
+
(
)
(
( )=
+
0
0)
f x
Asin
x
b A
，
求值域：令
,先通过不等式性质求出t 的
范围，再求值域。
2、形如
求值域：设
，化为二次函数
在闭区间
上的最值求解，也可以是
；
3 、形如
求值域：引入辅助角
，化为
（注：
）
4、形如
，求值域：
，则
，故
，故原函数化为二次函数
在闭区间
上的最值求
解．
类型一：y=Asin(ωx+φ)+B
【例题1】已知函数
，
.则
的最大值为 .
类型二：二次函数型
【例题2】函数
，
值域是 .
【例题3】函数
，
的值域为 .
类型三：已知值域求参数
【例题4】已知函数
,若
在区间
上的取值范围是
，求实数
的最大值.
类型四：嵌套函数值域问题
【例题5】函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】函数
的最大值为 .
【巩固练习3】函数
的值域为 .
【巩固练习4】函数
，函数
的值域为
，则
．
【巩固练习5】关于
的不等式
对任意
恒成立，则实数
的最大值为 .
【巩固练习6】函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习7】已知函数
2
π
( )
4sin
4sin
2
f x
x
x
，
0,
x
a
的值域为
4,5 ，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
π π
,
6 2
B．
π 5π
,
6
6
C．
π ,π
6
D．
5π ,π
6
【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题
1、求三角函数的周期的方法
（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
(
)
( )
f x
T
f x
.利用定义我们可采用取
值进行验证的思路，非常适合选择题；
（2）公式法：
( )
sin(
)
f x
A
x
最小正周期都是
2
|
|
T
，
(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但
是能够容易画出函数草图的函数；
（4）使用周期公式，必须先将解析式化为
sin(
)
y
A
x
h
的形式；正弦余弦函数的最小正
周期是
2
T
2、奇偶性
（1）定义法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非
奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求
(
)
f
x
；最后比较
(
)
f
x
和
( )
f x 的关系，
如果有
(
)
f
x
=
( )
f x ，则函数是偶函数，如果有
(
)
f
x
=-
( )
f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非
偶函数.
（2） 如何判断函数
(
)
f
x
的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数
(
)
f
x
的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若
sin(
)
y
A
x
为偶函数，则有
(
)
2
k
k
Z
;若为奇函数则有
(
)
k
k
Z
；
(2)若
cos(
)
y
A
x
为偶函数，则有
(
)
k
k
Z
;若为奇函数则有
(
)
2
k
k
Z
；
(3)若
tan(
)
y
A
x
为奇函数则有
(
)
k
k
Z
.
3、对称性问题
（1）函数的对称性问题，往往先将函数化成
sin
)
y
A
x
B
（
的形式，其图象的对称轴是直
线
)
(
2
Z
k
k
x
，凡是该图象与直线
B
y
的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住
三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．
（2）求
函数的对称轴或对 称中心时，应把
作为整体，代入相应的公
式中，解出x 的值，最后写出结果．
【例题1】（多选）对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．其图象关于点
对称
C．对称轴方程为
D．单调增区间
【例题2】已知函数
，下列说法正确的有（ ）
①函数
最小正周期为
；
②定义域为
③
图象的所有对称中心为
；
④函数
的单调递增区间为
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【例题3】（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
是偶函数
D．
的单调递减区间为
【巩固练习1】函数
的图象的对称轴方程为 ，对称中心为
.
【巩固练习2】已知直线
是函数
图象的一条对称轴，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
在
上单调递减
【巩固练习3】函数
的最小正周期为 .
【巩固练习4】若
为偶函数，则
．
【巩固练习5】若
，（
），则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【巩固练习6】已知函数
，曲线
的一个对称中心为
，一条对称轴为
，则
的最小值为 .
【题型9】利用三角函数性质比大小
结合弧度制，判断选项中各角的范围，并且角的范围尽量小，并包含特殊角，进而利用函数的单调
性比较大小
【例题1】若实数
，
，
满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】（深圳市南山区2023-2024 高一上期末）已知
，
则（ ）
A．c
a
b
B．a
b
c
C．c
b
a
D．a
c
b
【巩固练习1】设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（多选）下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（23-24 高一上·江苏镇江·期末）下列不等关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型10】与零点有关的问题
解题策略：数形结合
类型一：由交点个数求参数范围
【例题1】已知函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点，
则实数k 的取值范围是 ．
类型二：关于零点的运算求值
【例题2】函数
在区间
上恰有2 个零点
，
（
），求
的值．
【巩固练习1】已知函数
在
上有两个零点，则m 的取值范围为 ．
【巩固练习2】（高一上·湖北·期末）已知函数
，若
在
上有两个
零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3（23-24 高二上·浙江杭州·阶段练习）设
，若函数
在
上有且
仅有2 个零点，则
的取值范围是 .
【巩固练习4】若函数
在
上有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．
【巩固练习5】（23-24 高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数
，令
在区间
上恰有2 个零点
，则
，
.
【题型11】三角函数对称性的综合应用
类型一：由解析式得出对称中心
【例题1】已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
类型二：由称性求交点横（纵）坐标值的和
【例题2】（23-24 高一上·山东青岛·期末）当
时，函数
与
的图象
所有交点横坐标之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
类型三：称性的综合运算
【例题3】若函数
满足
，则
的值
为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
【巩固练习1】已知函数
，若
，则
.
【巩固练习2】函数
，且
，则
的值为 .
【巩固练习3】【巩固练习1】已知函数
，
，则方程
的所有根的和
等于 .
【巩固练习4】已知函数
的图象关于点
对称，且
，则
的最小值为 ．
【巩固练习5】已知函数
在
内单调递减，
是函数
的一条对称轴，且函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习6】已知函数
，则
图象有如下性质（ ）
A．关于点
中心对称
B．关于直线
轴对称
C．关于点
中心对称
D．关于点
中心对称
【巩固练习7】己知函数
，则
__________.
【巩固练习8】已知
在
上是单调函数，函数
的图象关于
点
中心对称，且对任意的
，都有
.
(1)求
解析式；
(2)若函数
在
上有两个零点
，
，求
的值.
【题型12】求ω 范围问题初步
解题策略：
数形结合，换元化归思想，结合图像分析区间终点在x 轴上对应的范围，详情见例1 解析
类型一：由零点个数求ω 的范围
【例题1】（23-24 高一上·广东·期末）已知函数
在
上有且仅有2
个零点，则
的取值范围为 ．
类型二：由值域求ω 的范围
【例题2】若函数
，
的值域为
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
类型三：由对称轴（中心）个数求ω 的范围
【例题3】已知函数
的图象在
上有且仅有两条对称轴，则
的取值
范围为________
A．
B．
C．
D．
类型四：在某区间上单调增（减）求ω 的范围
【例题4】已知函数
在区间
上单调递减，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围
是 ．
【巩固练习2】已知函数
，若至少存在两个不相等的实数
，使得
，则实数
的取值范围是 ．
【巩固练习3】（23-24 高二上·云南大理·期中）已知函数
，若
在
上有且仅有2 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】设函数
在区间
恰有三个对称轴、两个零点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】函数
的图象在区间
上恰有一条对称轴和一个对称中
心，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习6】定义在
上的函数
有零点，且值域
，则
的
取值范围是 ．
【巩固练习7】已知
（
，
为常数），若
在
上单调，且
，则
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型13】三角函数性质综合
【例题1】（23-24 高一上·甘肃白银·期末）（多选）已知函数
，
，则
下列说法不正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．函数
的单调递增区间为
D．若方程
有三个不同的解，则
或
【例题2】设函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
的最小正周期为
，则
B．若
，则
的图象关于点
对称
C．若
在区间
上单调递增，则
D．若
在区间
上恰有2 个零点，则
【巩固练习1】已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于原点对称
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于直线
对称
D．
的值域为R
【巩固练习2】（22-23 高一上·山西运城·期末）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为函数
的一个周期
B．对于任意的
，函数
都满足
C．函数
在
上单调递减
D．
的值域为
【巩固练习3】已知函数
，则下列结论中正确的个数是（ ）
①
是周期为
的周期函数
②
是函数
的一个单调递增区间
③若
，
，则
的最小值为
④
的对称中心为
，
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【巩固练习4】（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
的最小正周期是
，则
B．当
时，
的对称中心的坐标为
C．当
时，
D．若
在区间
上单调递增，则
【巩固练习5】（多选题）（2024·高一·江苏盐城·开学考试）函数
在
上单调递增，下列命题正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．
的图象有一个对称中心为
C．
是
图象的一条对称轴
D．
在
上的值域为
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