文档文本内容
专题5-2 三角函数的概念
【题型1】利用三角函数的定义求值（3 种类型）
【题型2】三角函数的符号与所在象限判断
【题型3】求任意角的三角函数值
【题型4】单位圆上的动点与旋转点
【题型5】对sinα，cosα，tanα 的知一求二问题
【题型6】正、余弦齐次式的计算
【题型7】sinα±cosα、sinαcosα 关系应用
【题型8】利用同角关系化简求值
【题型9】证明三角恒等式
一、三角函数的定义
1、定义：设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x , y)，则：
叫做
的正弦函数，记作
.即
；
叫做
的余弦函数，记作
.即
；
叫做
的正切函数，记作
.即
。
2、三角函数定义域：正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
3、三角函数另一种定义：设点
（不与原点重合）为角α 终边上任意一点，点P 与原点的
距离为：
，则：
，
，
.
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关
二、三角函数值的符号及公式一
1、三角函数值的符号
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
【注意】（1）由三角函数的定义可知，角的三角函数值的符号由角的终边上任意一点的坐标确定
的，准确确定角的终边的位置是判断三角函数值符号的关键；
（2）要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
2、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得
到诱导公式一
sin(α+2kπ )=sinα
cos(α+2kπ )=cosα
tan(α+2kπ )=tanα 其中k ∈Z
【注意】（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围
内角的三角函数值．
（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．
三、特殊角的三角函数值
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
3 π
2
0
1
2
√2
2
√3
2
1
√3
2
√2
2
1
2
0
－1
1
√3
2
√2
2
1
2
0
-1
2
-√2
2
-√3
2
－1
0
0
√3
3
1
√3
−√3
－1
−√3
3
0
【题型1】利用三角函数的定义求值（3 种类型）
三角函数的定义求值中常见的三种题型及解决方法
1、已知角
的终边上一点
的坐标，求角
的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角
的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角
有关的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求
出未知数，从而求解问题；
3、已知角
的终边所在的直线方程（
，
），求角
的三角函数值
方法：先设出终边上的一点
，求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求
解（注意
的符号，对
分类讨论），结论：
【例题1】若角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】已知
是角
的终边上一点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】已知角
的终边落在直线
上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】如果角
的终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】若角
的终边经过点
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知角
的顶点为原点，起始边为
轴非负半轴，若点
是角
终边上一点，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知角
终边经过点
，且
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】已知角
的终边经过点
，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习6】如果角
的终边在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型2】三角函数的符号与所在象限判断
简记：
；
；
.
【例题1】已知
，
，则角
的终边位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【例题2】已知点
是第三象限的点，则
的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【巩固练习1】已知
，
，则角
的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【巩固练习2】若
，
，则
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【巩固练习3】若
是第二象限角，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】（多选）若
，则
可能在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【题型3】求任意角的三角函数值
求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
【例题1】
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】
的值为（ ）
A．－
B．
C．－
D．
【巩固练习2】“
”是“
”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型4】单位圆上的动点与旋转点
考虑做垂线构造特殊直角三角形，通过三边之比求坐标
【例题1】（2024·高一·安徽合肥·阶段练习）已知平面直角坐标系
，点
在半径为2 的圆
上，
现点
从圆
与
轴非负半轴的交点
出发按顺时针方向运动了
圆周，则此时点
的纵坐标为
.
【巩固练习1】在直角坐标系
中，若点
从点
出发，沿圆心在原点，半径为3 的圆按逆时
针方向运动
到达点
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系
中，动点
、
从点
出发在单位圆上运动，点
按逆时针方向每秒钟转
弧度，点
按顺时针方向每秒
钟转
弧度，则
、
两点在第
次相遇时，点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】在直角坐标系
中，一个质点在半径为2 的圆O 上，以圆O 与x 正半轴的交点
为起点，沿逆时针方向匀速运动到P 点，每
转一圈，则
后
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型5】对sinα，cosα，tanα 的知一求二问题
(1)若已知
或
，可以先应用公式
，根据角终边所在的象限，判断三角
函数的符号，求得的值，再由公式
求得
的值．
(2) 若已知
，可以应用公式
，再代入
，根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号。
【例题1】计算：
(1)已知
，
，求
的值.
(2)已知
，求
，
的值
【巩固练习1】设
为第二象限角，若
，则
.
【巩固练习2】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（1）若
是
的一个内角，且
，求
的值;
（2）若
，求
的值;
【题型6】正、余弦齐次式的计算
解题思路
(1)对只含有
的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化
为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．
(2)对于形如
或
的分式，分子、分母同时除以
，
，将
正、余弦转化为正切，从而求值．
(3)对于形如
的式子，将其看成分母为1 的分式，再将分母1 变形
为
，转化为形如
的式子求值．
【例题1】已知
，则
的值为（ ）
A．
B．1 C．
D．
【例题2】（23-24 高一上·湖北·期末）已知
，则
的值为 ．
【例题3】已知
，则
.
【巩固练习1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
或1
D．
或1
【巩固练习3】（23-24 高一上·江苏无锡·期末）已知
是关于
的方程
的一个实根，
且
是第一象限角，求
的值；
【巩固练习4】已知
，求：
（1）
；（2）
.
【巩固练习5】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习6】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型7】sinα±cosα、sinαcosα 关系应用
对于
，
，
这三个式子，知一可求二：
但是要特别注意角的象限决定正负号。
【例题1】（高一上·山东青岛·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】（22-23 高一上·广东深圳·期末）已知
，
是关于x 的方程
的两根，
则实数
．
【例题3】（23-24 高一上·安徽亳州·期末）已知
，
则
.
【例题4】（23-24 高一上·广东佛山·期末）已知
是方程
的两个实数根．
(1)求
的值：
(2)若
为第二象限角，求
的值．
【巩固练习1】（23-24 高一上·四川成都·期末）（多选）已知
，则下
列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（23-24 高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α 为锐角，且
则下
列选项中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（23-24 高一上·江苏常州·期末）已知
为第二象限角，且满足
，
则
．
【巩固练习4】（23-24 高一上·浙江·期末）若
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】（23-24 高一上·广东深圳·阶段练习）已知
是关于x 的方程
的两个根
，则
．
【巩固练习6】（23-24 高一上·广东广州·期末）已知
．
(1)求
的值；(2)求
的值．
【巩固练习7】（23-24 高一上·江苏无锡·期末）已知
，且
，求
的值．
【巩固练习8】（23-24 高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知关于
的方程
的两
个根分别为
和
，且
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；(3)求方程的两根及
的值．
【题型8】利用同角关系化简求值
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系
求解
2 、知弦求切：常通过平方关系，与对称式
，
建立联系，注意
的灵活应用
【例题1】已知
，则
的值为 ．
【例题2】化简：
．
【例题3】已知
，
，且
是第二象限角，则实数
的值为 ．
【巩固练习1】（23-24 高一上·江苏盐城·期末）若
，
，则
．
【巩固练习2】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（23-24 高一上·江苏南通·期末）已知
.
(1)化简：
；
(2)若
，求
的值.
【巩固练习4】（23-24 高一上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系
中，已知角
的终边经过点
，其中
.
(1)求
的值；(2)若
为第二象限角，求
的值.
【题型9】证明三角恒等式
解题思路：证明三角恒等式常用的方法
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0 或＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
【例题1】证明：
.
【例题2】证明：
．
【巩固练习1】求证：
.
【巩固练习2】已知
，
．求证：
．
【巩固练习3】证明：
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