专题3-1 函数的概念及其表示
模块一 重点题型梳理
【题型1】函数的概念
【题型2】 给出解析式求函数的定义域
【题型3】函数图像的判断
【题型4】相同函数的判断
【题型5】求函数值或由函数值求参
【题型6】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）
模块二 中档题突破
【题型7】抽象函数求定义域
【题型8】建立方程组求解析式（方程思想）
【题型9】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）
【题型10】分离常数法求值域
【题型11】换元法求函数的值域
【题型12】分段函数的求值求参
【题型13】函数的实际应用
模块三 【课后训练】
模块一 重点题型梳理
【题型1】函数的概念
一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系
f，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，
题型·解读
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知识梳理与常考题型
题型汇编
基础知识
记作y=f(x).
【例题1】下列关系中是函数关系的是（ ）
A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系
C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系
【答案】A
【解析】根据函数关系的定义可得，
选项A 中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应，
所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；
其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：A
【例题2】（24-25 高一上·陕西渭南·阶段练习）（多选）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由函数的定义，对于任何一个
，都有唯一的
与之对应，即可判断.
【详解】根据函数的定义，在选项A、C、D 中的图象中，
对于任何一个
，都有唯一的
与之对应，所以可以作为函数图象，
选项B 中，当
时，有2 个
与之对应，不能作为函数图象.
【例题3】如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，
即A 中每一个元素在对应法则下，在
中都有唯一的元素与之对应，
对于④⑤，A 的每一个元素在
中有
个元素与之对应，∴不是A 到
的函数，
对于⑥，A 中的元素
、
在
中没有元素与之对应，∴不是A 到
的函数，
综上可知， 是函数的个数为.故选：A.
【例题4】（24-25 高一上·广东东莞·期中）已知A ={x∣0≤x ≤2},B ={ y ∣1≤y ≤2}，下列图象能
表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】观察选项ACD 中函数的值域即可排除，观察分析选项B 中函数的定义域与值域，从而得
解.
【详解】A 是函数的图象，值域为[0,2]，与题干函数的值域为B ={ y ∣1≤y ≤2}不符，故A 错误；
B 是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故B 正确；
C 是函数的图象，值域为{1,2}，与题干函数的值域为B ={ y ∣1≤y ≤2}不符，故C 错误；
D 是函数的图象，值域为{1,2}，与题干函数的值域为B ={ y ∣1≤y ≤2}不符，故D 错误.
【巩固练习1】（24-25 高一上·山西大同·期中）下列关于x，y的关系中，y是x的函数的是（ ）
A．y = ❑√x−3+ ❑√2−x
B．y
2=9 x
C．y =¿
D．
【答案】D
【分析】利用函数的定义逐项分析判断.
【详解】对于A，不等式¿的解集为∅，y不是x的函数，A 不是；
对于B，当x>0时，有两个y与x对应，y不是x的函数，B 不是；
对于C，当x =1时，有两个y与x对应，y不是x的函数，C 不是；
对于D，对于x的每一个值，y都有唯一值与之对应，y是x的函数，D 是.
【巩固练习2】中国清朝数学家李善兰在1859 年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函
数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合
，
，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从
到
的函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念判断即可.
【详解】根据函数的定义，在集合
中任意一个数在
中有且只有一个与之对应，
选项A 中集合
中2 对应的数有两个，故错误；
选项B 中集合
中3 没有对应的数，故错误；
选项C 中对应法则为从
到
的函数，箭头应从
指向
，故错误；
选项D 中集合
中任意一个数在集合
中都有唯一数与之对应，故D 正确
【巩固练习3】已知
，下列图形能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论.
【详解】对于A，函数的值域为
，不符合题意；
对于B，函数的值域为
，不符合题意；
对于C，函数的定义域为
，值域为
，符合题意；
对于D，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意．
【题型2】 给出解析式求函数的定义域
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不
等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
【例题1】（24-25 高一上·吉林长春·阶段练习）函数f ( x)= ❑√x +3−1
x 的定义域是（ ）
A．R
B．[−3,+ ∞)
C．(−∞,0)∪(0,+∞)
D．[−3,0)∪(0,+ ∞)
【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.
【详解】根据题意，得到¿，解得x ≥−3且x≠0.
故定义域是[−3,0)∪(0,+∞).
【例题2】
的定义域为（ ）
基础知识
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】要使函数
有意义，
必须满足
，解得
，
函数
的定义域为
.
【巩固练习1】函数f (x)= ❑√
3−x
x−1的定义域为（ ）
A．(−∞,3]
B．(1,+ ∞)
C．(1,3]
D．(−∞,1)∪[3,+∞)
【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【解答过程】由题意得¿，解得1< x ≤3，则定义域为(1,3]
【巩固练习2】函数
的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意得解得x<1 且x≠.
【题型3】函数图像的判断
（24-25 高一上·全国·课后作业）如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同
的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，
其中不正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对于A，水面的高度h 的增加是均匀的，为一条直线，因此不正确，其他均正确.
（高一上·北京西城·期中）匀速地向下部是球形、上部是圆柱形的容器(如图所示)内注水，那么注
水时间与容器内水的高度之间的函数关系
的图象大致是图中的( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合已知条件和容器中水在球体中的水平面面积的变化情况即可求解.
【详解】首先，由于容器下部是球体，且注水速度为匀速，故开始时容器内水的高度
随注水时间
变化较快，但随着容器的横截面越来越大，则变化的速度逐渐变慢，但当注水量超过球体体积一
半时，球体横截面逐渐变小，则水的高度随注水时间变化逐渐变快，由四个选项中可知，ACD
错误，B 正确.
（高一上·江苏镇江·期中）如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯
注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间
之间的函数关系，大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.
【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.
【题型4】相同函数的判断
两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同；2.解析式相同.
【例题1】（24-25 高一上·河北保定·期中）（多选）下列各项中，
与
表示同一函数的是
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
基础知识
D．
，
【答案】BCD
【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案.
【详解】对于A，因为
的定义域为
，
的定义域为
，
两者定义域不同，故两函数不相等，故A 错误；
对于B，由
得
，故
的定义域为
，
由
得
，故
的定义域为
，
又两者对应法则相同，故两函数相等，故B 正确；
对于C, 因为
，
的定义域均为R，且对应关系相同，故两函数相等，故C 正确；
对于D，
，
，
两个函数的定义域均为
，对应关系相同，所以两函数相等，故D 正确.
故选：BCD.
【巩固练习1】（24-25 高一上·河南洛阳·期中）（多选）下列各组函数中，不是相同函数的是（
）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
=
与
【答案】BCD
【分析】判断两个函数是否相同，需要从函数的定义域和对应关系两方面进行分析.
【详解】对于A 选项，对于
，当
时，
；
当
时，
.
，
与
的定义域都是
，且对应关系相同，所以
与
是同一个函数.
对于B 选项，
，
. 虽然定义域都是
，
但是当
时，
，
，对应关系不同，所以
与
不是同一个函数.
对于C 选项，
，定义域为
；
，定义域为
.
对
，
，对应关系不同，所以
与
不是同一个函数.
对于D 选项，
，定义域为
；
，定义域为
.
定义域不同，所以
与
不是同一个函数.
【巩固练习2】(多选)（高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】AC
【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数.
【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A 正确；
对B：因为函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，所以
与
不是
同一个函数，故B 错误；
对C：函数
与
的定义域都是
，对应关系一样，故它们是同一个函数，故
C 正确；
对D：函数
的定义域是：
，函数
的定义域是：
，
定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D 错误.
【巩固练习3】（24-25 高一上·江苏盐城·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的为（ ）
A．f (x)=2 x
2，g(x)= 2 x
3
x
B．f (x)= ❑√2 x +2025，g(x)=|2 x +2025|
C．f (x)= x−1
x ，g(x)= x
2−1
x
D．f (x)=5 x，g(x)=
❑√5 x
2
【分析】由定义域和对应关系逐项判断即可；
【详解】对于A，f (x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x| x≠0}，定义域不同，故A 错误；
对于B，f ( x)定义域为[−2025
2
,+ ∞)，g( x)的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；故B 错
误；
对于C：f ( x), g( x)的定义域均为{x| x≠0}，且g(x)= x
2−1
x
⇔g(x)= x−1
x = f (x)，定义域和对
应关系均相同，是同一函数，故C 正确；
对于D：f ( x), g( x)的定义域均为R，且g(x)= ❑√5| x|，对应关系不同，不是同一函数，故D 错
误；
故选：C.
【题型4】已知定义域求参数
函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义
域求参数.
一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的
值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较
容易.
【例题1】（2024·高一·天津西青·期末）若函数
的定义域为
，则实数
的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知：
在
上恒成立，
若
，则
，符合题意；
若
，则
，解得
；
综上所述：实数
的取值范围是
.
【例题2】（24-25 高一下·广东梅州·期中）已知函数f (x)= 1
2 x
2−x +5在[m,n]上的值域为
[4 m,4 n]，则m+n=（ ）
A．4
B．5
C．8
D．10
【分析】首先利用二次函数最值求出m≥9
8，则得到其单调性，则¿，代入计算即可.
【详解】f (x)= 1
2 x
2−x +5的对称轴为x =1，则f (1)= 1
2 ×1
2−1+5= 9
2 ≤4 m，解得m≥9
8，
则f (x)在[m,n]上单调递增，
所以¿，即¿，
所以m，n为方程1
2 x
2−x +5= 4 x的两个根，
即m,n为方程x
2−10 x +10=0的两个根，所以m+n=10.
【巩固练习1】若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是
【答案】
【解析】若函数
的定义域为
，则
的解集为
当
时，不等式变为
，得
不符合题意；
当
时，要使得解集为
，则
，解得
综上可得实数
的取值范围是
.
【巩固练习2】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数
的定义域为
，求实数k
的取值范围 ．
【答案】
【解析】由题可得，
对
恒成立，
当
时，不满足题意；
当
时，要使
对
恒成立，
则有
，解得
，
所以实数k 的取值范围是
.
【巩固练习3】已知函数f ( x)=
❑√(a
2−1) x
2+(a+1)x +1的定义域为R，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．[−1, 5
3]
B．(−∞,−1)∪[
5
3 ,+ ∞)
C．[
5
3 ,+∞)
D．(−∞,−1]∪[
5
3 ,+ ∞)
【解题思路】分a=1、a=−1、a≠±1三种情况，结合二次函数的性质即可求解.
【解答过程】当a=1时，f ( x)= ❑√2 x +1，则2 x +1≥0，得x ≥−1
2，即定义域为[−1
2 ,+ ∞)，不符
合题意；
当a=−1时，f ( x)=1，定义域为R，符合题意；
当a≠±1时，由题意得关于x 的不等式(a
2−1) x
2+(a+1)x +1≥0恒成立，
故¿，解得a<−1或a≥5
3.
综上，实数a 的取值范围是(−∞,−1]∪[
5
3 ,+∞).
【题型5】求函数值或由函数值求参
【例题1】（24-25 高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数f (2 x +3)= x
2−x +a，且f (5)=3，则a=
（ ）
A．3
B．-3
C．17
D．-17
【分析】赋值计算即可.
【详解】在f (2 x +3)= x
2−x +a中取x =1可得f (5)=1−1+a=3，所以a=3
【巩固练习1】（24-25 高一上·陕西西安·期中）已知函数f (x +1)= x
2−3 x +5，则f (3)=（ ）
A．9
B．7
C．5
D．3
【分析】根据解析式求函数值即可.
【详解】由f (x +1)= x
2−3 x +5，
所以f (3)= f (2+1)=2
2−3×2+5=3.
故选：D.
（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数f (x−1)= 2❑√x
x
，f (m)=1，则m=（ ）
A．−1或3
B．1 或3
C．−1
D．3
【分析】根据题意x−1=m，再用2❑√x
x
=1计算即可.
【详解】令2❑√x
x
=1，解得x = 4，则x−1=3，则m=3．
【巩固练习3】（24-25 高一上·湖北黄冈·阶段练习）若函数
的值域是
，则函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件，结合不等式性质求
的范围即可.
【详解】因为函数
的值域是
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
故函数
的值域是
.
【题型6】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）
待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
【例题1】（24-25 高一上·福建福州·期中）若函数f (x)是二次函数，满足
f (0)=2，f (x +2)−f (x)= 4 x，则f (x)=（ ）
A．x
2+ x +2
B．x
2−2 x +2
C．x
2−x +2
D．x
2+2 x +2
【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.
【详解】设f (x)=a x
2+bx +c（a≠0），由f (0)=2，则c =2，
由f (x +2)−f (x)= 4 x，则a(x +2)
2+b(x +2)+2−(a x
2+bx +2)= 4 x，
整理可得4 ax + 4 a+2b= 4 x，则¿，解得¿，
所以f (x)= x
2−2 x +2.
【巩固练习1】已知二次函数
满足
，且
.求
的解析式
【答案】
【思路点拨】设
，利用
建立恒等式求解即可；
【详解】设二次函数
（
），
因为
，所以
.
由
，得
，
得
，
所以
，得
，故
.
【巩固练习2】已知函数f ( x)=−x
2−2 x +3，则f ( x +1)= ．
基础知识
【解题思路】代入函数解析式计算即可.
【解答过程】解：因为f ( x)=−x
2−2 x +3，所以f ( x +1)=−(x +1)
2−2(x +1)+3=−x
2−4 x，
f ( x +1)= −x
2−4 x.
故答案为：−x
2−4 x.
【巩固练习3】已知函数f ( x)=ax−b(a>0)，f (f ( x))= 4 x−3，则f (2)= ．
【解题思路】利用直接代入法结合对应系数相等可得a,b的值，将2代入可得结果.
【解答过程】由题意，得f (f ( x))= f (ax−b)=a⋅(ax−b)−b=a
2 x−(ab+b)= 4 x−3，
即¿，解得¿，∴f ( x)=2 x−1，因此f (2)=3
模块二 中档题突破
【题型7】抽象函数求定义域
求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b 求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法（括号内取值范围相同）.
【例题1】函数
的定义域为区间
，则函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为函数
的定义域为区间
，所以
，
令
，解得
，所以函数
的定义域为
.
【例题2】函数
的定义域是
，则函数
的定义域是 .
【答案】
【解析】由题意可得
，解得
.
所以函数的定义域为
.
【例题3】（24-25 高一上·云南红河·阶段练习）若函数f (x)的定义域为[1,3]，则函数
g(x)= f (2 x−1)
❑√x−1 的定义域是 .
基础知识
【分析】由¿求解即可.
【详解】由题意可得：¿，
解得：1< x ≤2，所以定义域是(1,2]
【巩固练习1】（24-25 高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域的求法即可求解.
【详解】依题意函数
的定义域为
，
则要使函数
有意义有
，
解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
【巩固练习2】若函数f (x)的定义域是[0，4]，则函数g(x)= f (2 x)
x
的定义域是
A．[ 0，2]
B．(0，2)
C．[0，2)
D．(0，2]
【解题思路】根据分式与f (x)的定义域求解即可
【解答过程】要使函数有意义，依题意需有¿ 解得，0< x ≤2．
【巩固练习3】若函数
的定义域为
，
，则
的定义域为
.
【答案】
【解析】因为
的定义域为
，
由题意可得：
，解得：
，即
的定义域为
.
【题型8】建立方程组求解析式（方程思想）
基础知识
已知关于f(x)与
或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通
过解方程组求出f(x).
【例题1】（广东深圳实验校考）已知函数
满足
，
且
，则
.
【答案】
【思路点拨】用
替换
,再解方程组可得答案.
【详解】由
①，
用
替换
，得
②，
①×2－②，得
，得
.
【例题2】定义在区间
上的函数
满足
，求
的解析式．
【解析】对任意的
有
，
由
，①
得
，②
联立①②解得，
．
【巩固练习1】（广东广雅中学校考）已知
，则
.
【答案】
【思路点拨】令
，得到
，进而求得函数
的解析式.
【详解】令
，则
且
，所以
，
所以函数
的解析式为
【巩固练习2】若对任意实数
，均有
，求
.
【答案】
.
【解析】利用方程组法求解即可；
∵
（1）
∴
（2）
由
得
，
∴
.
故答案为：
.
【巩固练习3】已知定义在
上的函数
满足
，则函数
的解析式
.
【答案】
【思路点拨】根据已知把
换成
，建立方程组求解.
【详解】因为
，把
换成
有：
，
联立
，解得
.
【题型9】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）
换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)
的表达式.
【例题1】函数f (x)满足若f (g(x))=9 x +3，g(x)=3 x +1，则f (x)=（ ）
A．f (x)=3 x
B．f (x)=3
C．f (x)=27 x +10
D．f (x)=27 x +12
【解题思路】对f (g(x))的式子适当变形，即可直接求出f (x).
【解答过程】因为f (g(x))=9 x +3, g(x)=3 x +1，
所以f (3 x +1)=9 x +3=3(3 x +1)，则f (x)=3 x
【例题2】若函数
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．3 D．
基础知识
【答案】D
【解析】令
，则
，
，即
故选：D.
【巩固练习1】已知函数f (1−x)= 1−x
2
x
2
(x≠0)，则f (x)=（ ）
A．
1
(x−1)
2 −1(x≠0)
B．
1
(x−1)
2 −1(x≠1)
C．
4
(x−1)
2 −1(x≠0)
D．
4
(x−1)
2 −1(x≠1)
【解题思路】利用换元法令t =1−x，运算求解即可.
【解答过程】令t =1−x，则x =1−t，且x≠0，则t ≠1，
可得f (t )= 1−(1−t )
2
(1−t )
2
=
1
(t −1)
2 −1,(t ≠1)，
所以f (x)=
1
(x−1)
2 −1(x≠1).
【巩固练习2】已知函数f (x)满足：f(x−1
x)= x
2+ 1
x
2，则f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)= x
2+2
B．f (x)= x
2
C．f (x)= x
2+2(x≠0)
D．f (x)= x
2−2(x≠0)
【解题思路】通过化简即可得出函数的解析式.
【解答过程】因为f(x−1
x)= x
2+ 1
x
2 =(x−1
x)
2
+2，∴f (x)= x
2+2，
【巩固练习3】（24-25 高一上·云南文山·期中）已知函数f(
x +1
x )= 1
x
2 −2，则f (x)的解析式为
（ ）
A．f (x)= x
2−2 x−1
B．f (x)= x
2−2(x≠0)
C．f (x)= x
2−2 x−3(x≠1)
D．f (x)= x
2−2 x−1(x≠1)
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】令t = x +1
x
=1+ 1
x ,t ≠1，则1
x =t −1，
所以f (t )=(t −1)
2−2=t
2−2t −1，
所以f (x)= x
2−2 x−1(x≠1).
【题型10】分离常数法求值域
一次分式函数：分离常数法+图像法，形如
的函数
第一步：分离常数，将分子变为常数
分离出常数
和分子为常数的分式
第二步：结合反比例函数
的值域求函数
的值域．
【例题1】函数
的值域为________
【答案】
【详解】因为
，又因为
，所以
，
所以函数
的值域为
．
【例题2】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数f (x)= 2 x−3
3 x +1 的值域（ ）
A．(−∞, 1
3)∪(
1
3 ,+∞)
B．(−∞, 3
2)∪(
3
2 ,+ ∞)
C．(−∞,−1
3)∪(−1
3 ,+ ∞)
D．(−∞, 2
3)∪(
2
3 ,+∞)
【分析】利用分离常数法求解.
【详解】因为函数f (x)的定义域为¿，
f (x)= 2 x−3
3 x +1 =
2
3
(3 x +1)−11
3
3 x +1
= 2
3 −
11
3
3 x +1 ≠2
3
，
所以函数f (x)的值域为(−∞, 2
3)∪(
2
3 ,+∞).
【巩固练习1】（广西南宁三中校考）若
，则函数
的值域为（ ）
基础知识
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路点拨】将函数变现为
，结合反比例函数的性质计算可得.
【详解】因为
，又因为
，所以
，
所以
，所以
，所以函数
，
的值域为
．
【巩固练习2】函数
的值域为________
【答案】
【详解】因为
，又因为
，所以
，
所以函数
的值域为
．
【题型11】换元法求函数的值域
求根式型函数值域：换元法
形如
的函数
第一步：把函数中的根式
设为一个变量t，并用t 表示x，求出t 的取值范围．
第二步：将所求关于x 的函数变换为关于t 的函数．
第三步：求出y 的取值范围，即所求函数的值域．
函数
的值域是 ．
【答案】
【思路点拨】通过变量代换
将函数
转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质分析
运算即可得解.
【详解】解：由题意，函数
的定义域为
，
令
，则
，
，函数
转化为
，
，
∵
，对称轴为
，最大值为
，
∴当
时，
，即
值域为
，
∴函数
的值域是
.
基础知识
【例题2】（23-24 高一上·江苏苏州·期中）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，
，可得
，利用函数单调性求值域.
【详解】令
，
，则
，
所以函数
，函数在
上单调递增，
时，
有最小值
，
所以函数
的值域为
.
【巩固练习1】（湖南长沙·高一长郡中学校考）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路点拨】设
，化简函数为
，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设
，则
，且
，
则函数可化为
，
所以函数的值域为
【巩固练习2】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【思路点拨】根据换元法以及二次函数的性质求解结果.
【详解】令
，则
．
设函数
，当
时，
取最大值9．
因为
，所以
．
函数
的值域为
.
【巩固练习3】（24-25 高一上·湖北·阶段练习）已知f ( 2 x +1
x
)= x +2
x
，则f (x)=（ ）
A．2 x−3(x≠0)
B．2 x−3(x≠2)
C．2 x +3(x≠0)
D．2 x +3(x≠2)
【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数解析式.
【详解】依题意，f ( 2 x +1
x
)= 4 x +2−3 x
x
=2⋅2 x +1
x
−3，显然2 x +1
x
=2+ 1
x ≠2，
所以f ( x)=2 x−3( x≠2).
【题型12】分段函数的求值求参
1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当
的值时，要先判断
属于定义域中的“哪
段然后再代入相应的解析式求解.
2、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于"哪段"进行分类讨论，然后再代入相
应的解析式，列出方程求解，当出现
的形式时，应从内往外依次求值．
【例题1】已知函数
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
，所以
.故选：A
【例题2】（24-25 高一上·山西太原·阶段练习）函数f (x)=¿的定义域为（ ）
A．∅
B．¿
C．{−1,0,1,2}
D．{−1,0,1}
【分析】由对分段函数的定义域的理解可得.
【详解】由{−1,1}∪{0,2}= {−1,0,1,2}，
得函数f ( x)的定义域为{−1,0,1,2}.
【巩固练习1】（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）设f (x)=¿，则f (9)的值为（ ）
基础知识
A．9
B．11
C．28
D．14
【分析】由9<10，结合函数解析式可得f (9)= f (f (14))，再由解析式求f (14),f (13)求结论.
【详解】因为f (x)=¿，9<10，
所以f (9)= f (f (14))，
又14>10，故f (14)=2×14−15=13，13>10，
所以f (9)= f (13)=2×13−15=11.
【巩固练习2】已知函数
．若
．则实数
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】结合题意可得：
，
，解得：
.故选：B.
【巩固练习3】（2024·高一·山东济南·期中）已知函数
，则
；
若
，则
的取值范围是 ．
【答案】 4
【解析】因为
，所以
；
当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
，
所以不等式的解集为
【题型13】函数的实际应用
【例题1】如图，某小区要在一个直角边长为
的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记
空地为
，花园为矩形
．根据规划需要，花园的顶点
在三角形的斜边
上，边
在三角形的直角边
上，顶点
到点
的距离是顶点
到点
的距离的2 倍．
(1)设花园的面积为（单位：
），
的长为
（单位：
），写出关于
的函数解析式；
(2)当
的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．
【答案】(1)
(2)当
的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为150
.
【分析】（1）根据矩形面积即可求解，
（2）根据基本不等式即可求解.
【详解】（1）
则
，
，
所以
（2）
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故当
的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为150
.
【例题2】（高一上·重庆·期中）某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该
镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料
x（单位：千克）满足如下关系：
，且单株施用肥料及其它成本总投入为
元．已知这种水果的市场售价大约为10 元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利
润为
（单位：元）．
(1)求函数
的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当施用肥料为3 千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400 元
【分析】（1）利用
，即可求解；
（2）对
进行化简，得到
，然后分
、
讨论
的取值，进而得到答案.
【详解】（1）根据题意，
，化简得，
；
（2）由（1）得
，
当
时，
，
当
时，
，所以
，
当且仅当
时，即
时等号成立，
因为
，所以当
时，
，
故当施用肥料为3 千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400 元.
【巩固练习1】（24-25 高一上·浙江宁波·阶段练习）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集
中情况的研究调查中，发现其在40 分钟的一节课中，注意力指数
与听课时间
（单位：分钟）之
间的关系满足如图所示的图象，当
时，图象是二次函数的一部分，顶点为
，听课时间
为12 分钟与听课时间为8 分钟的注意力指数都为78，听课时间为4 分钟的注意力指数为62；当
时，图象是线段
，其中
．
(1)求
关于
的函数解析式；
(2)根据专家研究，当注意力指数大于62 时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核
心内容应在什么时间段？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件以及图象求得
关于
的函数解析式；
（2）根据函数的解析式列不等式，由此求得正确答案.
【详解】（1）由于听课时间为12 分钟与听课时间为8 分钟的注意力指数都为78，
，所以顶点的横坐标为
，
当
时，设
，
将
代入上式得
，
解得
，所以
，
当
时，设
，将
代入上式得：
，解得
，所以
.
所以
.
（2）当
时，
，
当
时，
，
综上所述，老师在
时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
【巩固练习2】（24-25 高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8 元/（
），年用电量
为
，本年度计划将电价下降到0.55 元/（
）至0.7 元/（
）之间，而用户期望电
价为0.4 元/（
）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比
（比例系数为
）.该地区的电力成本价为0.3 元/（
）.
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益
（单价：元）关于实际电价
（单位：元/（
））
的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价））
(2)设
，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长
？
【答案】(1)
，
(2)当电价最低定为
元/（
）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长
【分析】（1）设下调电价后新增用电量为
，可得出
，进而得出收益
关于实际
电价
的函数解析式；
（2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论.
【详解】（1）设下调电价后新增用电量为
，
因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为
），
则
，所以本年度的用电量为
，
所以本年度电力部门的收益
关于实际电价
的函数解析式为：
，
.
（2）依题意有：
，
整理得：
，解得：
，
所以当电价最低定为
元/（
）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长
．
模块三 【课后训练】
1．（24-25 高一上·四川达州·阶段练习）（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（
）
A．
的定义域为
B．函数
与
是同一函数
C．若
的定义域为
，则
的定义域为
D．若不等式
的解集为
或
，则
【答案】ACD
【分析】根据分母不为
且偶次方根的被开方数非负求函数的定义域，即可判断A；由定义域即可
判断B；由题意可得
，进而求定义域，即可判断C；利用韦达定理求出
、，即可
判断D.
【详解】对于A，对于
，令
，解得
且
，
所以
的定义域为
，故A 正确；
对于B，
的定义域为
，
的定义域为
，
两函数定义域不同，不是同一函数，故B 错误；
对于C，由于
的定义域为
，
所以
中令
，解得
，
所以
的定义域为
，故C 正确；
对于D，依题意，关于
的方程
的两个解是
或
，并且
，
由韦达定理：
，解得
，所以
，故D 正确
2．（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知函数
的值域是
，
则其定义域可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答.
【详解】由
，得
，即
，得
．
由
，得
，即
或
．
故定义域内必须含有1，0 与2 至少含有一个，且定义域一定是
的子集．
设定义域为
，若
，则
，则A 成立；
若
，则
，则B，C 成立；
D 不可能为定义域．
3．（24-25 高一上·吉林通化·阶段练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
B．
和
表示同一个函数
C．函数
的值域为
D．定义在
上的函数
满足
，则
【答案】ACD
【分析】对于A 求抽象函数的定义域，由
得
即可判断，对于B 判断是否是同
一个函数只需判断定义域和对应关系即可，对于C 由
得
，即
即可判断，
对于D 消元法求函数解析式可判断.
【详解】对于A：由
的定义域为
，则
，所以函数
的定
义域为
，故A 正确；
对于B：函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，故B 错误；
对于C：由
，所以
，函数
的值域为
，故C 正确；
对于D：由
，所以
，所以
，故D 正确.
4．（24-25 高一上·福建莆田·期中）（多选）已知
定义域为
，则错误
的是（ ）
A．
B．
C．
，
D．函数
的定义域为
【答案】ABD
【分析】首先需要根据已知条件求出
的表达式，再据此计算各选项中的函数值并判断定义域
是否正确.
【详解】已知
，设
，则
.
因为
，所以
.
那么
，化简可得
，
，即
，
.
当
时，
，所以
无定义，A 选项错误.
当
时，
，所以
无定义，B 选项错误.
由前面的计算可知
，
，C 选项正确.
对于函数
，因为
的定义域为
，所以
.
解不等式得
，所以函数
的定义域为
，D 选项错误.
5．（24-25 高一上·浙江宁波·期中）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
B．函数
和函数
表示同一个函数
C．函数
的值域为
D．函数
满足
，则
【答案】ACD
【分析】A 选项，由抽象函数求定义域方法得到
，求出
，得到定义域；B
选项，两函数定义域不同；C 选项，换元法得到
，
，由单调性求
出值域；D 选项，方程思想求解函数解析式，得到
，与题目条件联立求出
答案.
【详解】A 选项，令
，解得
，
故函数
的定义域为
，A 正确；
B 选项，
的定义域为
，
的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B 错误；
C 选项，令
，故
，
故
，
，
因为
，所以
在
上单调递增，
故
，
函数
的值域为
，C 正确；
D 选项，
满足
①，
故
②，
联立①②得
，D 正确.
6．（24-25 高一上·广东梅州·开学考试）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】函数
的定义域是
，等价于不等式
对任意
恒成
立，分
和
两种情况求出实数
的取值范围即可.
【详解】因为函数
的定义域是
，
所以不等式
对任意
恒成立，
当
时，
，对任意
恒成立，符合题意；
当
时，
，即
，解得：
，
综上，实数
的取值范围是
7．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得：
，解得：
，
由
，解得：
，故函数的定义域是
，故选：B．
8．（24-25 高一上·福建莆田·期中）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是
B．函数
的值域为
C．已知函数
，则
D．若关于
的不等式
对任意实数
都成立，则实数
的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域，判断A 的真假；分离常数，分析函数的单调性，
求值域判断B 的真假；换元法求函数解析式，再求函数值，判断C 的真假；根据
求
的取值
范围，判断D 的真假.
【详解】对A：对
，由
；
对
，由
，
所以函数
的定义域为
，故A 错误；
对B：因为
为增函数，且
，
，所以函数
的值域为
，故B 正确；
对C：设
，则
，所以
，
所以
，
，所以
，故C 正确；
对D：因为关于
的不等式
对任意实数
都成立，所以
，解得：
，
故D 正确.
故选：BCD
9．已知函数
，则
．
【答案】
【解析】由题意知当
，
，则
，
所以
.
10．已知:函数
，
，则
.
【答案】
【解析】函数
，
，则
.
故答案为：
11．设函数
，则
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则可得
所以
，所以
，故选：B
12．若函数
的定义域为R，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
的定义域是R，则
恒成立，
时，
恒成立，
时，则
，解得
，
综上，
．
故答案为：
．
13．知函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
得
恒成立，
当
时，
恒成立；
当
时，
，得
，
综上，实数
的取值范围是
.
14．（24-25 高一上·江苏·期中）已知实数a≠0，函数f (x)=¿若f (1−a)= f (1+2a)，则a 的值为
（ ）
A．1
B．−1
2
C．−1
D．−1
2或−1
【分析】对a 分类讨论判断出1−a，1+2a在分段函数的区间段，代入求出函数值，解方程求出a.
【详解】解：①当a>0时，1−a<1，1+2a>1，
由f (1−a)= f (1+2a)，
得2(1−a)+a=−(1+2a)−2a，
解得a=−1，不满足a>0，故舍去;
②当a<0时，1−a>1，1+2a<1，
由f (1−a)= f (1+2a)，
得−(1−a)−2a=2(1+2a)+a，
解得a=−1
2满足a<0，
故a=−1
2 .
15．已知函数f (x)=
x
❑√2
x−4
x ，则函数f (x−1)
x +1
的定义域为（ ）
A．(−∞,1)
B．(−∞,−1)
C．(−∞,−1)∪(−1,0)
D．(−∞,−1)∪(−1,1)
【解题思路】先求得函数f (x)的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.
【解答过程】因为f (x)=
x
❑√2
x−4
x ，所以2
x−4
x>0解得x<0，所以函数f (x)的定义域为(−∞，0)，
所以函数f (x−1)
x +1
需满足x−1<0且x +1≠0，解得x<1且x≠−1
16．求下列函数的解析式：
(1)已知
，求
；
(2)已知
，求
；
【解析】（1）因为
，
所以
．
（2）解法一（换元法）：令
，
，则
，
所以
，
所以
．
解法二（配凑法）：
，
因为
，所以
．
17．（1）已知
，求函数
的解析式；
（2）已知
是二次函数，且满足
，
，求函数
的解析式；
（3）已知
，求函数
的解析式；
【解析】（1）设
，则
，
，即
，
所以
，
所以
.
（2）因为
是二次函数，所以设
.
由
，得
.
由
，得
，
整理得
，
所以
，所以
，所以
.
（3）因为
，①
所以
，②
②
①，得
，所以
.
18．求下列函数的定义域：
(1)已知函数
的定义域为[1，2]，求函数
的定义域；
(2)已知函数
的定义域[1，2]，求函数
的定义域；
(3)已知函数
的定义域[1，2]，求函数
的定义域.
【解析】（1）设
，由于函数
定义域为[1，2]，
故
，即
，解得
，
所以函数
的定义域为[0，
]；
（2）设
，因为
，
所以
，即
，函数
的定义域为[3，5]，
由此得函数
的定义域为[3，5]；
（3）因为函数
的定义域为[1，2]，即
，
所以
，所以函数
的定义域为[3，5]，
由
，得
，
所以函数
的定义域为[2，3].
19．求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
；
(3)
（
）；
(4)
.
【解析】（1）∵
，∴
,
∴
的值域为
.
（2）
，显然
,所以
,
故函数的值域为
.
（3）由
,知
.
则
,
当且仅当
,即
时,上式取“
”．
∴
（
）的最小值为8.
故函数
（
）的值域为
.
（4）设
,则
,且
,
所以
，
由
,结合函数的图象得原函数的值域为
.
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