文档内容
专题 01 函数的概念及其表示
目录
题型一： 具体函数定义域...............................................................................................................3
题型二： 抽象函数定义域...............................................................................................................5
题型三： 定义域求参数...................................................................................................................6
题型四： 函数的值域.......................................................................................................................8
题型五： 求函数解析式...................................................................................................................9
题型六： 分段函数求值.................................................................................................................12
题型七： 分段函数求参数.............................................................................................................13
题型八： 分段函数与不等式.........................................................................................................14
题型九： 新定义.............................................................................................................................17
知识点总结
知识点一、函数的概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的 任意一个数 x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有 唯一确定的数 y 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合
B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素
函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成．在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量的取值范
围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域．
知识点二、函数的表示法
解析法 图象法 列表法用解析式表示两个变量之间 用图象表示两个变量之间的 列出表格来表示两个变量之
的对应关系 对应关系 间的对应关系
知识点三、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数
叫做分段函数．
注意
关于分段函数的3个注意点
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数；
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；
(3)各段函数的定义域不可以相交.
【常用结论与知识拓展】
1．几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．4．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝log x (a>0且a≠1)的值域是R.
a
例题精讲
题型一：具体函数定义域
【要点讲解】1.求具体函数定义域的策略
(1)构造使解析式 有意义的不等式 ( 组 )求解即可;
(2)对于实际问题,既要使函数解析式有意义,又要使实际问题有意义.
2.常见函数类型的限制条件
1
(1)分式型: 要满足 f ( x )≠0 ;
f (x)
(2)根式型:2√n f (x)(n∈N*)要满足 f ( x )≥0 ;
(3)0次幂型:[f(x)]0要满足 f ( x )≠0 ;
(4)对数型:log f(x)(a>0,且a≠1)要满足 f ( x )>0 ;
a
π
(5)正切型:tan (f(x))要满足 f ( x )≠ + k π , k ∈ Z .
2
【例1】函数 的定义域为
A． ， B． ， ， C． ， D． ，
【解答】解：要使原函数有意义，则 ，解得 且 ．
函数 的定义域为 ， ， ．故选： ．
【变式训练1】函数 的定义域为 ．
【解答】解：令 ，可得 ，解得 ．
故函数 的定义域为 ．
故答案为： ．
【变式训练2】函数 的定义域为 ．
【解答】解：要使原函数有意义，则 ，解得 ．
函数 的定义域为 ．
故答案为： ．
【变式训练3】函数 的定义域为 ， ．
【解答】解：要使原函数有意义，则 ，即 ，
解得 或 ．
函数 的定义域为 ， ．
故答案为： ， ．
题型二：抽象函数定义域
【要点讲解】本质:函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围.(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由 a ≤ g ( x )≤ b 求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在 [ a , b ] 上的值域.
【例2】若函数 的定义域为 ， ，则函数 的定义域为 ，
．
【解答】解： 函数 的定义域为 ， ，即 ， ， ， ，
的定义域为 ， ，
要使 有意义，则 ，可得 ．
即函数 的定义域为 ， ．
故答案为： ， ．
【变式训练1】已知函数 的定义域为 ， ，则函数 的定义域
A． B． ， ，
C． ， ， D．
【解答】解：因为函数 的定义域为 ， ，对于函数 ，
则有 ，解得 或 ．
因此，函数 的定义域为 ．
故选： ．
【变式训练2】函数 的定义域为 ， ，则 的定义域为A． ， B． ， ， C． ， D． ， ，
【解答】解：由题意得 ，解得 且 ．
故选： ．
【变式训练3】已知函数 的定义域为 ， ，则函数 的定义域为
A． B． C． ， D． ，
【解答】解： 函数 的定义域为 ， ，即 ，可得 ，
函数 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ，
故函数 的定义域为 ．
故选： ．
题型三：定义域求参数
【例3】已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
A． B． ，
C． D． ， ，
【解答】解： 函数 的定义域为 ，
对任意 恒成立，当 ，即 时，不成立；
当 ，即 时，则 ，解得 ．
实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【变式训练1】已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围是 ，
．
【解答】解：由题意， ，
当 时，把 代入，不等式成立；
当 时，得 ，则 ，即 ；
当 时，把 代入，不等式成立．
综上所述， 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【变式训练2】若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
．
【解答】解：因为函数 定义域为 ，
所以 在 上恒成立，
所以△ ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．【变式训练3】已知函数 的定义域为 ．
（1）求实数 的范围；
（2）若 的最大值为 ，当正数 ， 满足 时，求 的最小值．
【解答】解：（1） 函数的定义域为 ， 在 上恒成立，即
，
， ；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ，
，
当且仅当 ， 时取等号，
的最小值为 ．
题型四：函数的值域
【要点讲解】(1)分离常数法，形如y＝(ac≠0)(f(x)为常见的基本初等函数)的函数常用分离常
数法或反解法(即用y表示f(x)，然后借助f(x)的取值范围求y的取值范围)；
(2)换元法，形如y＝ax±b±，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接
求原函数的值域．若函数的解析式可以看作是一个关于基本初等函数的二次式，可以考虑
换元法，但是要注意换元后新元的取值范围．对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的
函数，再用相应的方法求值域；
(3)基本不等式法，先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等
式求出值域；
(4)单调性法，先确定函数的单调性，再由单调性求值域．
【例4】若函数 的定义域是 ， ，则其值域为
A． B． ， C． D．【解答】解：由题意可得：当 时，则 所以
当 ， 时，则 ， 所以 ， ，
所以函数的值域为 ．
故选： ．
【变式训练1】函数 的值域
A． B．
C． D．
【解答】解：函数 ，
由于 ，故函数 的值域为 ，
故选： ．
【例5】函数 的值域是 ， ．
【解答】解：令 ，则 ，
所以 ，
所以函数 的值域是 ， ．
故答案为： ， ．
【变式训练1】函数 的值域为
A． ， B． ， C． D．
【解答】解：函数 的定义域为 ， ，令 ，则 ，可得 ，
故当 时，函数 取得最大值为 ，函数 没有最小值，
故函数 的值域为 ， ，
故选： ．
【例6】函数 的值域为 ， ．
【解答】解：因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以函数的值域为 ， ．
故答案为： ， ．
题型五：求函数解析式
【要点讲解】(1)待定系数法:适于已知函数的类型,先设出解析式,再利用恒等式等号两边的
系数相等求解.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,要注意新元的取值范围.
(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便
得f(x)的解析式.
1
(4)消去法:已知关于f(x)与f( ) (或f(-x))的关系式,根据已知条件再构造出另外一个等式,两
x
1
等式组成方程组,消去f( ) (或f(-x))求出f(x).
x
【例7】已知函数 是一次函数,若 ,则 .
【解析】设函数 , 则
,又 , 所以,即 解得 或 所以
或 .
【变式训练1】若 为二次函数且 ,则
.
【解析】设函数 ,因为 ,所以
即
,所以 .
【例8】已知 ,则 .
【解析】方法一(换元法):
令 , 则 ,
则 ,
所以 .方法二(配凑法)
因为 ,
且 , 所以 .
【变式训练1】已知 ,则 .
【解析】令 , 则 ;
则
所以 .
【例9】已知 满足 ,则 .
【解析】在 中, 将 换成 , 得 ,
由
消去 得 .
【变式训练1】已知 ,则 .【 解 析 】 在 中 , 将 换 成 , 得
,
由
消去 得 .
题型六：分段函数求值
【要点讲解】先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出
现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
【例10】设函数 ，则 ，若 ，则实数 的取
值范围是 ．
【解答】解： 函数 ，
，
（1） ；
（a） 或 ，解得 或 ，
若 （a） ，则实数 的取值范围是 ， ， ．
故答案为： ； ， ， ．
【变式训练1】 ，则 的值为 2 ．
【解答】解：由题意，自变量为2，
故内层函数 （2） ，
故有 （1） ，
即 （2） （1） ，
故答案为 2
【变式训练2】若 ，则 ．
【解答】解： （3）
（3）
故答案为 ．
【变式训练3】已知函数 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
【解答】解：因为 ，代入函数解析式 得 （5） ，
所以 （5） ，因为 ，代入函数解析式 得故选： ．
题型七：分段函数求参数
【要点讲解】先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，
切记要代入检验．
【例11】已知函数 ，若 ，则 的值是
A．3或 B． 或5 C． D．3或 或5
【解答】解：若 ，则 （a）
舍去）
若 ，则 （a）
综上可得， 或
故选： ．
【变式训练1】设函数 ，若 ，则实数 的值为
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：由题意知， （a） ；
当 时，有 ，解得 ，（不满足条件，舍去）；
当 时，有 ，解得 （不满足条件，舍去）或 ．
所以实数 的值是： ．
故选： ．【变式训练2】设函数 ，若 ，则 或 3 ．
【解答】解：由题意可得 或
或
故答案为： 或3
【变式训练3】已知函数 ，若 ，则 的值是
A． B． 或 C． 或 D．
【解答】解：令 （a）
则 或 ，
解之得 或 ，
故选： ．
题型八：分段函数与不等式
【要点讲解】已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析
式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
尤其要注意，当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
【例12】已知函数 若 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：根据函数 的图象，可得 在 上单调递增，若 （a） ，则有 ，
， ，
则实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【变式训练1】已知函数 则不等式 的解集是
A． ， ， B． C． D．
【解答】解：分别画出函数 与 的图象，如图所示，
由图象可得不等式 的解集是 ， ，
故选： ．【变式训练2】设函数 则满足 的 取值范围为 ．
【解答】解：作图如下：
因为 ，所以 ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式训练3】已知函数 ，则 ；若 ，则 的取
值范围是 ．
【解答】解：根据题意可知， （9） ，
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ．故答案为： ， ．
题型九：新定义
【要点讲解】(1)新定义问题是先给出一个新的概念,或给出一个抽象函数的性质,然后根据
这种新定义解决相关的问题.
(2)解决问题的关键是破译题目的信息,转化为熟悉的问题便可获解.
【例13】世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美
誉的高斯提出了取整函数 ， 表示不超过 的最大整数，例如 ， ．
已知 ， ，则函数 的值域为
A． ，6， B． ，5， C． ，5，6，7， D． ，
【解答】解：易知 ， 在 上单调递减， ， 上单调递增．
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 ，则函数 的值域为 ，5，6，7， ．
故选： ．
【变式训练1】十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”
它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数 ，则下列实数不属于函
数 值域的是
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：由题意可知 ，
所以 （1） ， ， ，而 无解．故选： ．
【变式训练2】高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，
他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：
， 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，已知
，则函数 的值域为
A． B． ， C． ，0， D． ， ，
【解答】解：因为
又 ，
所以 ，
所以
所以 ，
则 的值域 ，0， ．
故选： ．
【变式训练3】一般地，若 的定义域为 ， ，值域为 ， ，则称 ， 为
的“ 倍跟随区间”；特别地，若 的定义域为 ， ，值域也为 ， ，则称
， 为 的“跟随区间”．
（1）若 ， 为 的跟随区间，则 2 ．
（2）若函数 存在跟随区间，则 的取值范围是 ．
【解答】解：（1） ， 为 的跟随区间， 函数值域为 ， ． 二次函数 的对称轴方程为： ，
函数 在 ， 上单调递增． ，解得： ，故 的值为
2；
（2）设跟随区间为： ， ． 函数 的定义域为： ， ，
．
函数 是定义域上的减函数且定义域、值域都是 ， ，
， ，
，又 ，
， ，代入 得： ，
同理： ， 可令 ， 方程 在 范围内有两个
不等实根，
函数 与函数 有两个交点，又 函数 的值域 ，
，
由二者图象可知： ， ．
故答案为： ， ，
课后练习一．选择题（共6小题）
1．函数 的定义域为 ， ，则 的定义域为
A． ， B． ， ， C． ， D． ， ，
【解答】解：由题意得 ，解得 且 ．
故选： ．
2．下列函数中，值域是 的是
A． B．
C． D．
【解答】解：选项 ， 的值域是 ， ，即 不符合题意；
选项 ， 的值域是 ， ， ，即 不符合题意；
选项 ， 的值域是 ，即 不符合题意；
选项 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以其值域为 ，即
符合题意．
故选： ．
3．下列表示同一个函数的是
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【解答】解：对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，
定义域不同，不是同一个函数，故 错误；对于 ， 的定义域为 的定义域为 ，
定义域不同，不是同一个函数，故 错误；
对于 ， ，
这两个函数的定义域都是 ，且对应法则也相同，
故是同一个函数，故 正确；
对于 ， 与 的定义域和对应法则都不同，
不是同一个函数，故 错误；
故选： ．
4．已知函数 是一次函数，且 ，则 的解析式为
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数 是一次函数，则设 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，解得 ， ，
所以函数 ．
故选： ．
5．函数 的定义域是
A． B． C． D． ， ，
【解答】解：由题意可得， ，解得 且 ，
即函数 的定义域为 ， ， ．
故选： ．
6．已知函数 与 ，若存在 使得 ，则 不可能为
A． B． C． D．
【解答】解：对于 选项，若 ，当 时， ，当 时，
，
相当于1个 值对应两个 ，不符合函数定义，即 错误；
对于 选项， ，令 ，则 ，当且仅当 时成立，整理得
，解得 ，
即 ，即 ，
存在 ，所以选项 正确；
对 于 选 项 ， ， 令 ， 得 ， 则 ， 即
，
存在 ，所以选项 正确；
对于 选项， ，可得出 ，存在 所以选项 正确；
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．有以下判断，其中是正确判断的有A． 与 表示同一函数
B．函数 的图象与直线 的交点最多有1个
C．若 ，则
D．函数 的最小值为
【解答】解：对于 ， 的定义域为 ， ， ， 的定义域为 ，故不
是相等函数， 错误；
对于 ，根据函数的定义可知，当 的定义域中含有1时，函数 与 有
一个交点 ， （1） ，
当 的定义域中不含1时，函数 与 没有交点，故 正确；
对于 ，因为 ，则 ，所以 ，故 正确．
对 于 ， 函 数 ， 当 且 仅 当
时取等号，该方程无解，即该等号不成立，故 错误；
故选： ．
8．存在函数 ，对任意 都有 ，则函数 不可能为
A． B．
C． D．
【 解 答 】 解 ： 对 于 选 项 ， 是 奇 函 数 ， 是 偶 函 数 ， 则，矛盾， 不满足条件；
对于 选项，若 ，取 满足条件；
对于 选项，取 和 ，可得 ， ，矛盾， 不满足条件；
对 于 选 项 ， ， 则 ， 单 调 递 增 ， 且
，即 为奇函数，图象如下所示，
所以值域为 ， 满足条件．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．函数 的定义域为 且 ．
【解答】解：由题意得 ，解得 且 ．
故答案为： 且 ．
10．记 ， ，若 ， ，则 的值域为 ，
．【解答】解：因为当 时， ，
令 ，解得 ，
当 时， ，
因 为 （ 5 ） ， （ 5 ） （ 5 ） ， ，
，
所以 ，使得 ，
所以 ，
画出 的图象如图，由图易知， 的最小值为 （2） ，
的值域为 ， ．
故答案为： ， ．
11．函数 的值域是 ， ，则 的定义域可以是 ，
【解答】解：令 ，则 ， ，
原函数可化为 ，由题意可得 ，
解得， ，
故 ，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ， ．
12．已知函数 ，则 的值域为 ；函数 图象的对称中心
为 ．
【解答】解： ，
， ，则 ， ， ，
即 ，则函数 的值域为 ，
，
则 ，
得 ，即函数 的对称中心为 ，
故答案为： ， ．
四．解答题（共3小题）
13．求下列函数的定义域：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 ，且 ，
所以这个函数的定义域为 ， ， ．
（2）由题意可得 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ， ， ．
14．已知函数 ， ．
（1）求 的定义域；
（2）若 和 的图象有两个不同的交点，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） 函数 ， ，
，求得 ，
故函数 的定义域为 ．
（2） 和 的图象有两个不同的交点，
即方程 有2个解，
即 有2个正解，即 有2个正解，，求得 或 ，
故实数 的取值范围为 或 ．
15．已知函数 ．
（1）求函数 的零点；
（2）设函数 的值域为 ，
①求 ；
②若至少有两个不同的 ，使得 ，求正数 的取值范围．
【解答】解：（1）令 ，得 ，解得 或 ；
（2）①因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
即函数 的值域 ， ；
②因为至少有两个不同的 ，使得 ，
所以至少有两个不同的 ，使得 ，
因为 ，所以 ，
令 ，解得 ， ，2，3， ，所以 ， ， ．
