文档文本内容
专题3-3 函数的奇偶性与对称性
重难点题型
【题型1】判断函数的奇偶性
【题型2】 利用奇偶性求值
【题型3】利用奇偶性求参数
【题型4】利用奇偶性求解析式
【题型5】利用函数奇偶性识别图像
【题型6】利用奇偶性与单调性比大小
【题型7】利用单调性解奇函数不等式
中档题型
【题型8】利用单调性解偶函数不等式
【题型9】已知f(x)=奇函数+M
【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用
【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用
【题型12】构造新函数解不等式
【课后作业】
重难点题型
【题型1】判断函数的奇偶性
一、函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做偶函数
关于
轴对称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做奇函数
关于原点对称
二、判断奇偶性技巧
热点题型解读（目录）
模块一
【核心题型突破】·举一反三
模块二
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数
是偶函数
函数
的图象关于
轴对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称
的两个区间上单调性相同.
(5)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得
的函数，如
.
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
不确定
奇
偶
奇
偶
不确定
奇
偶
奇
奇
奇
偶
奇
【注意】在
中，
的值域是
定义域的子集．
1．（23-24 高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，因为
的定义域为
，且
，
所以
为偶函数；
对于B，因为
的定义域为
，且
，
所以
不是奇函数；
对于C，因为
的定义域为
，
且
，所以
为奇函数；
对于D，因为
的定义域为
，且
，
所以
为偶函数；故选：
.
2．（2024·高一·山东·期中）（多选）已知
有相同的定义域，
是偶函数，
是奇
函数，且
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是偶函数
D．
是奇函数
【答案】BD
【解析】
有相同的定义域，
是偶函数，
是奇函数，且
，
所以
，
因为
，故A 错.
，故B 正确.
，故C 错.
，故D 对.
故选：BD.
【巩固练习1】判断下列函数的奇偶性
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【解析】（1）定义域为
，关于原点对称，
，
所以
为奇函数.
（2）
，所以定义域为
，关于原点对称，
此时
，所以
既是奇函数又是偶函数.
（3）
，所以定义域为
，
不关于原点对称，所以
为非奇非偶函数.
【巩固练习2】设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，则下列结论
中正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】C
【解析】易知选项ABCD 中的函数定义域即为
；
因为
是奇函数，
是偶函数，所以
，
对于A，
，故
是奇函数，即A 错误；
对于B，
，故
是偶函数，即B 错误；
对于C，
，故
是奇函数，即C 正确；
对于D，
，故
是偶函数，即D 错误
【题型2】 利用奇偶性求值
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用
或
求解
3．已知函数
在R 上是奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【答案】B
【解析】
，又
在R 上是奇函数，故
.故选：B
【巩固练习1】已知
是偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．7
D．5
【答案】B
【解析】
是偶函数，当
时，
，
则
.故选：B
【巩固练习2】如果函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【答案】D
【解析】记
，
因为
为奇函数，所以
，
又
，
，
所以
.故选：D
【巩固练习3】已知奇函数
的定义域为
，且当
时，
；当
时，
，则
（ ）
A．7
B．9
C．-7
D．-9
【答案】B
【解析】因为
是定义域为
的奇函数，
所以
，
，
，
所以
．
【题型3】利用奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求
参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力
常见方法：
（1）定义法
奇函数：
；偶函数：
（2）特殊值法
可以取0，±1 这类比较好计算的特殊值
（3）函数性质法
①
为偶函数，
②奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶，结合常见函数模型
③复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
（4）定义域对称法
若解析式中含有2 个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值
4．已知
为R 上的偶函数，则
.
【答案】
【解析】法一：特殊值法：因为
为偶函数，所以
，
所以
，解得
，
经检验，当
时，
为偶函数，符合题意.
法二：定义法：因为
为偶函数，所以
，
所以
，化简得
，
所以
，解得
.
5．已知定义在
上的函数
是奇函数，则实数
的值为 ．
【答案】
或
【详解】因为
，
为奇函数，
又奇函数的定义域关于原点对称，
所以
，
，
解得
或
6．已知函数
为R 上的奇函数，则
的值是（ ）
A．0
B．
C．12
D．10
【答案】D
【分析】由奇函数的性质可知
，由此可以求出
的值，进而可以求出
.
【详解】因为函数
为奇函数，
所以
，即
，即
或
，
显然函数
的定义域为
关于原点对称，
且当
时，有
，从而有
，
当
时，有
，但
，
所以
，即
，所以
.故选：D.
7．若
为奇函数，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】由函数
为奇函数，可得
，
可得
，解得
，
经检验，当
时，
，
满足
，符合题意，所以
.故选：D.
【巩固练习1】（2024·高一·贵州安顺·期末）已知函数
是偶函数，则
.
【答案】1
【
解
析
】
，
由
是
偶
函
数
可
得
，即
恒成立.
【巩固练习2】（2024·高一·江西上饶·期末）若函数
是
上的偶函数，则
的值为 .
【答案】
【解析】由题意首先
，解得
，
即函数
是
上的偶函数，
由
，解得
，此时
，经检验符合题意，
所以
.
【巩固练习3】若函数
是定义在
上的偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【解析】因为函数
是定义在
上的偶函数，
所以
且
，则
，
所以
，则
.故选：D．
【题型4】利用奇偶性求解析式
由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
（1）在哪个区间上求解析是，
就设在哪个区间上；
（2）把
对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得
；
（3）利用函数的奇偶性把
改写成
或
，从而求出
．
8．所函数
是
上的偶函数， 且当
时，函数的解析式为
，则
；
当
时，函数的解析式为 .
【答案】
【解析】因为函数
是
上的偶函数， 且当
时，函数的解析式为
，
所以
，
设
，则
，所以
，又
，
所以
，
即当
时，函数的解析式为
.
故答案为：；
以
为偶函数，正确
9．函数
是一个偶函数，
是一个奇函数，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
是偶函数，函数
为奇函数，则
，
，
由
可得
，即
，
所以，
，解得
，其中
【巩固练习1】设
为奇函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
为奇函数，当
时，
，
则当
时，
，
.故选：D
【巩固练习2】
是定义在R 上的偶函数，当
时，
，求当
时，
的解析式．
【答案】
【详解】当
时，
，
，
由于
是偶函数，故
，
所以
．
即当
时，
．
【巩固练习3】（23-24 高一上·广东韶关·期中）如果函数
是奇函数，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，所以
，
又因为
为奇函数，所以
，
所以
，即
，
所以当
时，
.故选：A.
【巩固练习4】已知函数
为奇函数，函数
为偶函数，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【解析】根据题意，由
①得
，
因为
为奇函数，
为偶函数，所以
，
，
所以
②，
由①②得
，所以
，则
.故选：A.
【巩固练习5】（2024·高一·河南·期中）已知
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
，则
（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】因
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，则有：
，
由
①
，
将
其
中
的
取
为
，
则
可
化
简
得
：
②，
由①②联立可求得：
，于是
.
【题型5】利用函数奇偶性识别图像
判断函数图像常用的办法是排除法
一:判断奇偶性(依选项而判断)
二:代入特殊点看正负
10．函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解.
【详解】因为
定义域
，
且
，
所以
是奇函数，则
的图象关于原点对称，排除A，D；
当
时，
，排除B.
11．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，函数定义域为
，
，函数为奇函数，排除CD，
，排除B
【巩固练习1】函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为
，
因为
，
所以
为奇函数，所以
的图象关于原点对称，
所以排除A，
当
时，
，所以排除C，
当
时，
，
因为
和
在
上递增，所以
在
上递增，所以排除B
【巩固练习2】（2024·高一·江苏南京·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，
形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数
解析式来分析函数的图像特征，函数
在[
2
﹣，2]上的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
定义域为R，
，
则
是偶函数，其图象关于y 轴轴对称，排除选项CD；
又因为
，则排除选项A，选B.
【巩固练习3】（2024·高一·重庆·期中）函数
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得函数
为奇函数，排除B 项，
由
，得
，则排除C、D 两项.
【题型6】利用奇偶性与单调性比大小
利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而 利
用其单调性比较大小
12．已知奇函数
的定义域为
，且不等式
对任意两个不相等的
正实数
，
都成立，在下列不等式中，正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据不等式
对任意两个不相等的正实数
，
都成立，得到
在区间
、
单调递增，从而求出答案．
【详解】解；
对任意正实数
、
，
恒有不等式
，
的定义域为
，
在区间
、
单调递增，
13．设偶函数
的定义域为
，当
时，
是增函数，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
是
上的偶函数，得
，
又
在
上单调递增，则
，
所以
.故选：A
【巩固练习1】已知函数
是定义在
上的偶函数，又
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，数
是定义在
上的偶函数，
则有
，解可得
，
则函数
是开口向下的二次函数，在区间
上为减函数，
又
，函数
的对称轴为
，且在
上为减函数，
则有
，
即
.
【巩固练习2】已知函数
在
上单调递减，且
的图象关于直线
对称，则
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合函数的对称性及单调性即可比较大小
【详解】因为函数
在
上单调递减，且
的图象关于直线
对称，
所以函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，
即
【巩固练习3】（23-24 高一下·湖南长沙·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，函数
是定义在
上的奇函数，且
，
在
上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
在
上单调递减，
是偶函数，
是奇函数，
所以
在
上单调递减，
在
上单调递增，
对于A 中，由
，但无法判断
的正负，所以A 不正确；
对于B 中，因为
是定义在
上的奇函数，可得
，
又因为
在
上单调递减，可得
，
因为
在
上单调递减，且
为偶函数，所以
在
上为增函数，
所以
，所以B 不正确；
对于C 中，由
，
在
上单调递减，所以
，所以C 不正确；
对于D 中，由
，
在
上单调递减，
，所以D 正确.故选：D.
【题型7】利用单调性解奇函数不等式
先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定
义域的限制
14．已知奇函数
在
上单调递增，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得
，
因为
是奇函数，且
，所以
，
因为
在
上单调递增，所以
，
故不等式
的解集为
．故选：D
15．若定义在
上的奇函数
在
单调递减，且
，则满足
的
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
为
上的奇函数，且在
单调递减，
，
，
，且在
上单调递减，
所以
或
，
或
，
可得
，或
，
即
或
，即
，故选：B.
【巩固练习1】奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m 的取值
范围．
【答案】(1，2)
【详解】 原不等式化为f(m－1)＜－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)＜f(2m－3)．
因为f(x)是减函数，
所以m－1＞2m－3，所以m＜2．
又f(x)的定义域为(－1，1)，
所以－1＜m－1＜1 且－1＜3－2m＜1，
所以0＜m＜2 且1＜m＜2，所以1＜m＜2．
综上得1＜m＜2．
故实数m 的取值范围是(1，2)．
【巩固练习2】函数
是定义在
上的单调递增的奇函数，且
.
(1)求函数
的解析式；
(2)求满足
的的范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据奇函数性质以及
先求出
、
的值即可求得函数
的解析式，再进
行验证即可.
（2）依据奇函数性质将不等式变形为
，再结合单调性和定义域即可求解.
【详解】（1）由已知可知
，解得
，
又
，解得
，
所以
，
因为
，
所以
为奇函数，任取
，
则
，
因为
，故
，
所以
，故
，即
，
所以函数
在
上单调递增，
所以函数
的解析式为
.
（2）因为
为奇函数，由已知可变形为
，
又
在
上是增函数，
所以
，
.
【巩固练习3】设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0 的解集为(
)
A．(－1,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
【答案】 C
【解析】 利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)<0 可化为或由图可知x>2 或x<－2，故选C.
【巩固练习4】设奇函数
在
上为增函数，且
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为奇函数
在
上为增函数,
所以
在
上也是增函数,且
,
从而
在定义域上的大致图象为：
所以
的解为:
,或
中档题型
【题型8】利用单调性解偶函数不等式
利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定
义域的限制
16．已知函数
是定义域为R 的偶函数，且对任意
，
,
，当
时总有
，则满足
的
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
任意
，
,
，当
时总有
，
在
,
上是增函数，
又
是定义域为
的偶函数，
故
在
,
上是减函数．
由
可得
．
所以
，解得
，
即不等式的解集为
,
17．已知
是定义在
上的偶函数，且在
上递减，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】根据
是定义在
上的偶函数，将不等式
转化为
，再利用其单调性求解.
【详解】解：因为
是定义在
上的偶函数，且在
上递减，
所以
在
上递增，
不等式
等价于
，
所以
，解得
，
所以不等式
的解集是
.
【巩固练习1】已知
是定义在
上的偶函数，且在区间
单调递减，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
是定义在
上的偶函数，所以
，
又因为
是在区间
单调递减，
所以
，即
，于是有
，解得
或
，
故不等式
的解集为
.故选：A.
【巩固练习2】已知定义在
上的偶函数
在
上为减函数，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为定义在
上的偶函数，且
，可得
，
且
在
上为减函数，则
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.故选：C.
【巩固练习3】已知定义在
上的偶函数
，且
．
(1)求函数
的解析式；
(2)解关于
的不等式
．
【解析】（1）∵
是定义在
上的偶函数，
∴
，
，即
，
又
，即
，解得
，
所以
，经检验符合题意．
（2）由（1）知：
，∴
在
上为单调递减函数，
因为
，即
，
又∵
为偶函数，可得
，
综上可得：
， 解得
或
，
所以不等式的解集为
．
【题型9】已知f(x)=奇函数+M
已知
( )
f x 奇函数M
，
[
, ]
x
a a
，则
（1）
(
)
( )
2
f
x
f x
M
（2）
max
min
( )
( )
2
f x
f x
M
18．（22-23 高一上·浙江台州·期中）已知
，
，则
（ ）
A．3
B．1
C．-1
D．-5
【答案】B
【解析】设
，定义域为
，
则
，故
为奇函数，
又
，则
，
所以
.故选：B
19．已知函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，则
．
【答案】6
【解析】设
，
则
的定义域为
，且连续不断，
由
，可知
为奇函数，
设
在
上的最大值为
，
由奇函数的对称性可知
在
上的最小值为
，
则函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，
所以
.
20．定义在
上的奇函数
，设函数
的最大值为
，最小值为
，则
．
【答案】2
【分析】由题意可得
的最大最小值分别为
，
，由奇函数的性质可得
，变形可得答案．
【详解】
函数
为奇函数，
，
又
的最大值为
，最小值为
，
又
，即
为奇函数，
且
的最大最小值分别为
，
，
由奇函数的性质可得
，
解得
．
【巩固练习1】（2024·高一·浙江·期中）已知函数
，若
，则
．
【答案】6
【解析】令
，
，
所以
为奇函数，
所以
，所以
，
所以
，所以
．
【巩固练习2】若函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，则
．
【答案】4
【解析】因为
，
令
，则
，
又因为
，所以函数
为奇函数，
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以
在
上的最大值和最小值之和为0，即
，
所以
．
【巩固练习3】已知
与
均为奇函数，
（a､b 为非零常数），若
，则
.
【答案】10
【解析】由题设，
且
，
，
∴
也为奇函数，即
，
∴
，而
，∴
10.
【巩固练习4】（23-24 高一上·重庆·期中）已知函数
，且
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为R，令函数
，则
显然
，
函数
在R 上都单调递增，因此
在R 上单调递增，
不等式
化为
，
即
，于是
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.故选：A
【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用
奇函数、偶函数图象对称性的推广
在定义域内恒满足
的图象的对称轴（中心）
直线
直线
直线
点
点
点
21．（多选）我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数
的图象关于点
成中心对称图
形的充要条件是函数
为奇函数.现已知函数
，
，
则下列说法正确的是（ ）
A．函数
对称中心为
B．函数
对称中心为
C．当
时，
在
上单调递增
D．若
，
与
的图象共有2022 个交点，记为
，则
的值为4044
【答案】ABD
【解析】对于A：由
得
，
则
，
所以函数
对称中心为
，A 正确；
对于B：由
得
，
则
，
所以函数
对称中心为
，B 正确；
对于C：
，
当
，即
时，
，
在
上不单调递增，C 错误；
对于D：若
，
关于
中心对称，与
的对称中心相同，即
与
的图象的2022 个交点也关于
中心对称，
，D 正确.
【巩固练习1】我们知道函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数
的图像关于点
成中心对称图
形的充要条件是函数
为奇函数，则函数
的对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
为奇函数，
定义域为
关于原点对称，故
，
，
，即
，
即
，故
，
故
，即对称中心为
.
【巩固练习2】已知函数
满足
，若
与
的图像有交点
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．3
D．6
【答案】C
【解析】由
可得
，
函数
的图像上任意一点
关于点
的对称点为
， 即点
，
由
也满足函数解析式，可得函数
的图像关于点
对称，
函数
的图像可以由奇函数
的图像向上平移1 个单位得到，所以函数
的图像也关
于点
对称，
若
与
的图像有交点
，
，
，不妨设
，
由对称性可得
，
，
，
，
所以
.
【巩固练习3】已知函数
满足
，若函数
与
图象的交点
为
，
，…，
，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A．2020
B．
C．1010
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件得出函数
及
的图象都关于
对称，这样它们的交点也关
于
对称，2000 个交点两两配对，坐标之和易求．
【详解】函数
满足
，即为
，可得
的图像关于点
对称
函数
，即
的图象关于点
对称
所以若点
为交点，则点
也为交点；同理若点
为交点，则点
也
为交点
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
.
【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用
奇函数、偶函数图象对称性的推广
在定义域内恒满足
的图象的对称轴（中心）
直线
直线
直线
点
点
点
22．设函数
的定义域为
，若
在
上单调递减，且关于
对称，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
的图像关于直线
对称，则
，
又
在
上单调递减，故
在
上单调递增，
，
，
即
故选：C
【巩固练习1】已知函数
在
上单调递减且对任意x∈R满足
，则不
等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．(1,+∞)
D．(1,4)
【答案】D
【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可.
【详解】因为
,所以f (x)的对称轴为x =2,
f (x)在
单调递减，则f (x)在
单调递增，
又因为
，由对称性可得
,
所以
,
【巩固练习2】已知函数
满足
，对任意
，且
，都
有
成立，且
，则
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知条件得到
的图象关于
对称，从而可知
在
上为增函数，在
上为减函数，且
，再画出折线图表示出函数
的单调性，即可得到答案.
【详解】因为数
满足
.
所以
的图象关于
对称.
因为函数
对任意
，且
，都有
成立，
所以
在
上为增函数.
又因为
的图象关于
对称，
，
所以
在
为减函数，且
.
用折线图表示函数
的单调性，如图所示：
由图知：
.
【题型12】构造新函数解不等式
常见的构造函数模型
（1）
（2）
23．若函数
是定义域为
，且对
，且
，有
，不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】读懂题意，能把
变形为
，得出
为单调递增函数，再利用函数的单调性求解．
【详解】函数
是定义域为
，且对
，且
，有
，
即
，
为单调递增函数，
，
整理得到：
，
为单调递增函数，
解得：
24．定义在(0,+ ∞)上的函数
满足：对
，且
，都有
成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，运用单调性，结合所给特殊值，得到不等式计算即可.
【详解】令
，
因为对
，且
，都有
成立，
不妨设
，则
，故
，则
，即
，
所以
在(0,+ ∞)上单调递增，
又因为
，所以
，故
可化为
，
所以由
的单调性可得
，即不等式
的解集为
.
【巩固练习1】已知
为
上的奇函数，
，若
且
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，令函数
，
因为若
且
，都有
，
即
，所以函数
在区间
上为单调递增函数，
又因为
为
上的奇函数，即
，
所以
，所以函数
为
上的偶函数，
又由
，可得
，则
，
所以不等式
，即为
，
则满足
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
【巩固练习2】设
是定义在
上的奇函数，对任意的
，满
足：
，且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】构造新函数
，根据题意分析判断
的奇偶性和单调性，分类讨论结合
的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】令
，
由题意可得：
在
上单调递增，
∵
，则
在定义域内为偶函数，
∴
在
上单调递减，
当
时，由
可得
，即
，
∵
在
上单调递增，且
，
∴
的解集为
；
当
时，由
可得
，即
，
∵
在
上单调递减，且
，
∴
的解集为
；
综上所述：不等式
的解集为
.
故答案为：
.
【巩固练习3】已知
是定义在
上的奇函数，
，若
，且
时，
恒成立，则不等式
的解集是 .
【答案】
【分析】先根据
可得
的单调性，然后结合单调性可解不等式.
【详解】设
，因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
所以
为偶函数，
又
，且
时，
恒成立，
所以
在
上为减函数，
又
，可得
，所以
，得
，
在(0,+ ∞)为增函数，由
，得
，
又
，可化为
，即
，所以
，或
，
即
，或
.
【巩固练习4 】定义在
上的函数
满足：
，且对于
上的
有：
.则关于
的不等式解集为 .
【答案】
【分析】构建函数
，根据题意分析可得函数
为偶函数，在
上单调递增，
则函数
在
上单调递减，将不等式
整理可得
，结合函数的单调性和奇偶性运算求解.
【详解】∵
，则
，
故函数
为偶函数，
对于
上的
，不妨设
，则
，
由
可得
，即
，
故函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递减，
对
，则
，即
，
则
，即
，解得
，可得
或
，
故不等式的解集为
.
故答案为：
.
【巩固练习5 】已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，恒有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据
得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解.
【详解】由
得，
的图象关于直线
对称，
令
，则
是偶函数，又当
时，恒有
，
故
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，
则
，
即得
解得
或
.
【巩固练习6】已知偶函数
的定义域为
，且有
，
，若对
，
，都有
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】通过构造函数法结合已知条件得出函数的单调性，再根据函数的奇偶性，求得不等式
的解集.
【详解】构造函数
，
依题意，
的定义域是
，
是偶函数，
所以
，所以
是偶函数，
由于对
，
，
，则
，
所以
在
上单调递增，则
在
上单调递减.
对于
，且
，
若
，可得
，即
，可得
；
若
,可得
，即
，可得
；
所以不等式
的解集为
.
【课后作业】
1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂
分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析
【课后作业】
模块三
式来琢磨函数的图象特征，如函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】记
，函数定义域为
，则
，
所以函数为奇函数，排除BC，又当
时，
，排除D
2．已知偶函数
，当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
，则
，
，
又
为偶函数，所以，当
时，
．故选：D.
3．（多选）
是定义在
上的奇函数，下列结论中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由
是定义在
上的奇函数，得
，且
，
因此
，A 正确；
，B 错误；
又
，C 正确；而当
时，
，
此时式子
无意义，D 错误.故选：AC
4．（多选题）（2024·高一·山东滨州·竞赛）已知
是奇函数，
是偶函数，下列说法正确的
是（ ）
A．
是偶函数
B．
为奇函数
C．
为偶函数
D．
为偶函数
【答案】BCD
【解析】
是奇函数，
是偶函数，
对于A，若
，
，满足
是奇函数，
是偶函数，
但是
，该二次函数图象关于直线
对称，
此时函数
不是偶函数，错误；
对于B，
，因为
，
所以
为奇函数，正确；
对于C，
，因为
，
所以
为偶函数，正确；
对于D，
，因为
，
5．函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解.
【详解】因为
定义域
，
且
，
所以
是奇函数，则
的图象关于原点对称，排除A，D；
当
时，
，排除B.
6．已知
是
上的奇函数，且图像关于
对称．若
，则
（ ）
A．4
B．
C．3
D．
【答案】C
【解析】由函数
是
上的奇函数，可得
，
又由
及
，
可
得
，
，则
．
7．已知函数
为奇函数，函数
为偶函数，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【解析】根据题意，由
①得
，
因为
为奇函数，
为偶函数，所以
，
，
所以
②，
由①②得
，所以
，
则
.
8．若函数
是定义在
上的偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．2
【答案】A
【解析】因为函数
是定义在
上的偶函数，所以定义域关于原点对称，
可得
，所以
，
由
，可得
，解得
，所以
9．已知函数
为定义在
上的奇函数，且在
为减函数，在
为增函数，
，则
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
为定义在
上的奇函数，所以
，且
又因
，所以
，
又因
在
为增函数，在
上
，
在
上
，
又因
在
为减函数，所以
上
，
综上，当
时，
，当
时
，
当
时，则
，所以
，则
，
当
时，则
，所以
，则
，
不等式
可化简变形为
，
综上所述可知当
时，
.
故选：D
10．已知偶函数
的定义域为
，且在
上为增函数，则（ ）
①
；②
；③
；④
在
上为减函数．
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】B
【解析】因为偶函数
的定义域为
，
所以
，即
，则①正确，②错误；
因为偶函数
的定义域为
，且在
上为增函数，
所以
在
上为减函数，
继而
，则③错误，④正确.
11．已知函数
为
上的奇函数，
，则
.
【答案】-1
【解析】由题意知函数
为
上的奇函数，
，
故
，即
12．知函数
，若
，则
.
【答案】
【解析】令
为奇函数，
，
.
13．已知
是定义域为
上的偶函数，且
在
上为减函数，若
成立，则实数a 的范围是
【答案】
【解析】因为
是定义域为
上的偶函数，
成立，
所以
，
，
则
，
又因为
在
上严格减函数，
所以
，平方得
，解得
，
所以
.
14．已知函数
为奇函数，
与
的图像有8 个交点，分别为
，则
.
【答案】16
【解析】
为奇函数
函数
关于点
对称
函数
关于点
对称
与
图像的8 个交点关于点
对称
,
,
,
可得
同理可知
15．已知函数
，
.
(1)判断函数
的奇偶性；
(2)用定义法证明：函数
在
上单调递增；
(3)求不等式
的解集.
【解析】（1）由
，且定义域
关于原点对称，故
为
奇函数.
（2）任取
，且
，
，
因为
，且
，
故
，
，
，
，
，
所以
，
，
故函数
在
上单调递增；
（3）由（1）（2）
为奇函数，且在
上单调递增，
变形为
，
则要满足
，解得：
，
故不等式的解集为
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