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专题 12 预备知识十二：函数的奇偶性
1、了解函数奇偶性的定义
2、掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3、会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
知识点一：函数的奇偶性
1、定义：
1.1偶函数：一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么
函数 就叫做偶函数.
1.2奇函数：一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么
函数 就叫做奇函数.
2、函数奇偶性的判断
2.1定义法：
（1）先求函数 的定义域 ，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求 ，根据 与 的关系，判断 的奇偶性：
①若 是奇函数
②若 是偶函数
③若 既是奇函数又是偶函数
④若 既不是奇函数也不是偶函数
2.2图象法：
（1）先求函数 的定义域 ，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若 的图象关于 轴对称 是偶函数
（3）若 的图象关于原点对称 是奇函数
2.3性质法：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司， 在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
知识点二：奇函数，偶函数的性质
1、奇函数，偶函数的图象特征
设函数 的定义域为
（1） 是偶函数 的图象关于 轴对称；
（2） 是奇函数 的图象关于原点对称；
（3）若 是奇函数且 ，则
2、函数的奇偶性与单调性的关系
（1） 是偶函数 在关于原点对称区间上具有相反的单调性；
（2） 是奇函数 在关于原点对称区间上具有相同的单调性；
3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系
设函数 的定义域为 （其中 ）
（1） 是偶函数，且 在 上单调，则 在 上有相反的单调性，
此时函数的最大（小）值相同；
（2） 是奇函数，且 在 上单调，则 在 上有相同的单调性，
此时函数的最值互为相反数；
知识点三：对称性
1、轴对称：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司设函数 的定义域为 ，且 是 的对称轴，则有：
① ；
②
③
2、点对称
设函数 的定义域为 ，且 是 的对称中心，则有：
① ；
②
③
3、拓展：
①若 ，则 关于 对称；
②若 ，则 关于 对称；
对点特训一：判断函数的奇偶性
典型例题
例题1．（23-24高一·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
例题2．（23-24高一·全国·课堂例题）判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
(1) ；
(2) ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(3) ；
(4) .
精练
1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
2．（2024高一·全国·专题练习）判断下列函数是否具有奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
对点特训二：根据函数的奇偶性求值
典型例题
例题1．（2024·山东泰安·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，则
等于 .
精练
1．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知 是偶函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C．7 D．5
2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知 是奇函数，当 时， ，则
.
对点特训三：根据函数的奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则 时 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，
，则当 时， 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
精练
1．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数 在 上为偶函数，且当 时， ，则当
时， 的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一·全国·专题练习）已知 为偶函数,当 时， ，当 时，求
解析式.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训四：根据函数的奇偶性求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，
则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．0
例题2．（2024·四川内江·三模）若函数 是奇函数，则 .
例题3．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数 是偶函数，则 ．
精练
1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）函数 为偶函数，则实数
.
2．（23-24高一上·云南保山·期中）已知函数 是偶函数，其定义域为
，则
3．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数 是偶函数，则实数 .
对点特训五：根据函数的奇偶性解不等式
典型例题
例题1．（23-24高一上·河南周口·阶段练习）设 是定义在 上的偶函数，且在
内是增函数，又 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一上·陕西商洛·阶段练习）已知 是定义在 上的奇函数，在 上单调递增，
，那么 的解集是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知定义域为 的偶函数 在区间 上严格减，且
，则不等式 的解集为 .
精练
1．（23-24高一上·河北张家口·期中）已知偶函数 在区间 上单调递增，则不等式
的解集是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）函数 是R上的偶函数，且在 上是增函数，若
，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
3．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
对点特训六：通过构造奇函数求值
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数 ，且 ，则
例题 2．（23-24 高一上·北京·期中）已知函数 ，且 ，则
．
精练
1．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知函数 ，若 ，则 .
2．（23-24高一上·广东·期末）已知函数 ，若 ，则 .
1．（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数 在 上是减函数且最小值是4，那么 在 上
是（ ）
A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4
C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4
3．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
5．（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数 是奇函数，那么 （ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数 的定义域为 ，且 在 上单调递减．若
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数 是定义在 上的偶函
数，则 （ ）
A． B． C．3 D．2
二、多选题
9．（2024·广东茂名·二模）已知函数 为 上的奇函数，且在R上单调递增.若 ，
则实数 的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
三、填空题
10．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则 的值为 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司四、解答题
11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)判断函数 的奇偶性，并加以证明．
12．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
.
(1)求 时，函数 的解析式；
(2)若函数 的最小值为2，求实数 的取值.
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