专题5-4 三角函数的图像与性质
【题型1】五点作图法
【题型2】含绝对值的三角函数问题
【题型3】解三角函数不等式
【题型4】三角函数相关图像的识别
【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题
【题型6】求单调区间（3 种类型）
类型一：整体法求单调区间
类型二：括号内有符号的情况
类型三：复合函数且有定义域限制
【题型7】求值域与最值
类型一：y=Asin(ωx+φ)+B
类型二：二次函数型
类型三：已知值域求参数
类型四：嵌套函数值域问题
【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题
【题型9】利用三角函数性质比大小
【题型10】与零点有关的问题
类型一：由交点个数求参数范围
类型二：关于零点的运算求值
【题型11】三角函数对称性的综合应用
类型一：由解析式得出对称中心
类型二：由称性求交点横（纵）坐标值的和
类型三：称性的综合运算
【题型12】求ω 范围问题初步
类型一：由零点个数求ω 的范围
类型二：由值域求ω 的范围
类型三：由对称轴（中心）个数求ω 的范围
类型四：在某区间上单调增（减）求ω 的范围
【题型13】三角函数性质综合
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
图象
单调性
[2
2
]
2
2
k
k
，
递增
3
[2
2
]
2
2
k
k
，
递减
[
2
2
]
k
k
，
递
增
[2
2
]
k
k
，
递
减
(
)
2
2
k
k
，
递增
对称中心
(
0)
k，
(
0)
2
k
，
(
0)
2
k，
对称轴
2
x
k
x
k
周期
2π
2π
π
【题型1】五点作图法
五点法作
,
的简图
在函数y=sinx，
的图象上，起关键作用的点有以下五个：
,如下表：
x
0
y=sinx
0
1
0
0
描出这五个点后,函数y=sinx，
的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，
我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种
作图的方法称为五点法作图．
作
的图像时也是先描出波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用
光滑曲线把这五点连接起来，就得到曲线在一个周期内的图象．
【例题1】（23-24 高一上·河南商丘·期末）已知函数
.
填写下表，并画出
在
上的图象；
0
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【分析】（1）令
分别等于
，
，
，2π作图.
（2）整体思想：令
，
求解即可
【详解】（1）
2π
0
0
0
【例题2】（23-24 高一上·湖北·期末）已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出
在
上的图象；
x
0
【分析】（1）首先根据五点法将表格补充完整，然后描点，最终用一条“光滑”的曲线连接起来
即可.
【详解】
x
0
0
0
【巩固练习1】函数
，
的简图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用五点作图法可得出函数
，
的简图.
【详解】列表：
观察各图象发现A 项符合．
【巩固练习2】已知函数
．完成下面表格，并用“五点法”作函数
在
上的简图：
x
0
π
2π
【解析】补充完整的表格如下：
x
0
π
2π
1
3
5
3
1
描点、连线得函数
的图象如图所示，
【巩固练习3】已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出
的图象.
x
0
(2)若函数
满足不等式
，求
的范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）令相位等于
，
，
，
求出对应角，即可完成表格画出图像；
（2）求
出解，再结合图像解不三角等式即可.
【详解】（1）
0
（2）令
，
，又
，
所以
或
，即
或
，
结合图形
可得不等式
的解为
.
【题型2】含绝对值的三角函数问题
分类讨论去绝对值
【例题1】画出函数
的简图．
【解析】
，
的图象如下图所示，
【例题2】当
时，作出下列函数的图象，把这些图象与
的图象进行比较，你能
发现图象变换的什么规律？
（1）
；
（2）
；
（3）
.
【答案】答案见解析
【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出；
（2）作出图象，根据图象观察即可解出；
（3）作出图象，根据图象观察即可解出．
【详解】（1）该图象与
的图象关于
轴对称，故将
的图象作关于
轴对称的图象
即可得到
的图象.
（2）
将
的图象在
轴上方部分保持不变，下半部
分作关于
轴对称的图形，即可得到
的图象.
（3）
将
的图象在
轴右边部分保持不变，并将其作关于
轴对称
的图形，即可得到
的图象.
【巩固练习1】作出函数
，
的大致图像．
【解析】函数
，
其图如下所示：
【巩固练习2】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知函数
，
．
（1）作出函数
的图象；
（2）求方程
的解．
【解析】（1）当
时，
，则
；
当
时，
，则
.
，函数
的图象如下图所示：
（2）当
时，令
，即
，得
，解得
；
当
时，令
，得
，该方程无解.
综上所述，方程
的解为
.
【巩固练习3】作函数
的图象.
【解析】
故
的图象实际就是
的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图
【题型3】解三角函数不等式
用三角函数图象解三角不等式的方法
1、作出相应正弦函数或余弦函数在
上的图象；
2、写出适合不等式在区间
上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．
【例题1】（24-25 高二上·广东广州·期中）若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质解不等式即得.
【详解】由
，得
，而
，解得
或
，
所以
的取值范围是
.
【例题2】（24-25 高一上·全国·课后作业）在
上，函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题
【详解】在[0，2π]上，函数
的定义域满足
，
即
，结合图象，知道
．
【例题3】设
，使
且
同时成立的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正弦曲线与余弦曲线分别求出在
下的角的范围，再求交集
【详解】因为
，由正弦曲线得：
时，
由余弦曲线得：
时，
，
因为
，
所以
且
同时成立的x 的取值范围是
【例题4】利用正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：
（1）
；（2）
.
【答案】（1）
（2）
【解析】作出
在
上的图象，找出不等式在一个周期内的解集，结合周期即可得出
在实数范围内的解集.
【详解】（1）在同一平面直角坐标系中作出正切函数在
上的图象和直线
，如图：
显然在
上，
满足
.
由图可知在
上，使不等式成立的x 的取值范围是
.
故使不等式成立的x 的集合为
.
（2）不等式
即
，
在同一平面直角坐标系中作出正切函数在
上的图象和直线
，如图：
显然在
上，
满足
.
由图可知在
上，使不等式成立的x 的取值范围是
.
故使不等式成立的x 的集合为
.
【巩固练习1】（23-24 高一上·全国·单元测试）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式，再借助余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数
有意义，则
，即
，
因此
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
【巩固练习2】（22-23 高一上·甘肃定西·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果.
【详解】由题知
，即
，解得
，
故函数的定义域为
.
【巩固练习3】不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】可先求出
，
的解集，在将
代替
解出
，则不等式
的解集可求.
【详解】画出
时，
的图象．
令
，
，解得
或
又
的周期为
，所以
的解集为
．
用
代替
解出
．可得
则
的解集为
.
【巩固练习4】在
内，求使
成立的x 的取值范围.
【答案】
【分析】画出函数
，利用图象求解即可.
【详解】当
时，由
，得
，解得
或
.
函数
在
的图象如下图所示：
由图可知，该不等式的解集为
.
【巩固练习5】求函数
的定义域．
【答案】
．
【分析】由被开方数非负得不等式，先利用同角三角函数关系将余弦化正弦，再把
看作整体解
不等式，然后借助正弦函数图象可得.
【详解】要使函数有意义，需满足
，
即
，
解得
，由正弦函数的图象，可得
．
【题型4】三角函数相关图像的识别
结合三角函数的奇偶性与正负来识别图像
【例题1】函数
的大致图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
定义域为
，
又因为
，
所以函数
是奇函数，函数图像关于原点对称，故A 和B 错误；
当
时，则
，故C 错误.
【例题2】（2024·高一·江苏无锡·期末）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
函数
是定义域
上的奇函数
其图象关于原点对称，排除选项D；
当
时，
，此时
，
∴当
时，
的图象在
轴上方，排除选项B；
当
时，
，
的图象在
轴下方，排除选项C；
综上所述，函数
的大致图象为选项A.
【巩固练习1】图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A 选项，当
时，
，A 选项不满足条件；
对于B 选项，当
时，
，
，B 选项不满足条件；
对于C 选项，令
，该函数的定义域为
，
，
故函数为偶函数，当
时，
，由三角函数图象可知，C 选项满足条件；
对于D 选项，当
时，
，D 选项不满足条件.
【巩固练习2】函数
在
上的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】易知f(x)是偶函数，排除B，C 项；
当
时，
，所以
，排除A 项.
故选：D
【巩固练习3】（2024·广东深圳·阶段练习）函数
的图像是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数定义域为
关于原点对称，
且
，
则函数
为偶函数，故BD 错误；
当
时，
，故A 错误，C 正确
【巩固练习4】（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）已知函数
，则
在
上的大致
图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，
，
即函数
为
上的奇函数，所以其图象关于原点对称，排除AB；
不妨取
，则
，排除D
【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题
图象法判断零点个数方法
将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，则函数
的
零点个数就是函数
和
的图象的交点个数
【例题1】方程
的实数解的个数为 个.
【答案】5
【解析】方程
的实数解的个数，
即为函数
与
图象交点个数，
作出两函数的图象，如图所示：
由此可得两函数共有5 个交点，
所以方程
的实数解的个数为5.
【例题2】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）函数
，
的图象与
直线
的交点个数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】由题意可得
，
作出函数
、
的图象如下图所示：
当
或
时，直线
与函数
的图象没有交点；
当
时，直线
与函数
的图象只有一个交点；
当
时，直线
与函数
的图象有两个交点；
当
或
时，直线
与函数
的图象有三个交点；
当
时，直线
与函数
的图象有四个交点.
【巩固练习1】
与
交点个数为 个．
【答案】
【解析】作出函数
与
的大致图象，如图：
因为
，
，
，
，
且两个函数图象均关于原点对称，所以两个函数图象有个交点
【巩固练习2】方程
在
内实数根的个数为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
【答案】A
【解析】由
，得
，
方程
实根的个数就是函数
与
图象公共点的个数，
当
时，由两函数图象可知两图象共有11 个公共点，从而方程有11 个实数根．
【巩固练习3】方程
的实数根的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】由
，得
，即
，
方程
实根的个数就是函数
与
图象公共点的个数，
当
时，两函数图象如图所示，
两图象有3 个公共点，同理，当
时，两图象也有3 个公共点，
故两图象共有6 个公共点，从而方程有6 个实数根．
【巩固练习4】（2024·新高考I 卷真题）当
时，曲线
与
的交点
个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在
上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数
的的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
【题型6】求单调区间（3 种类型）
（1）求形如
sin
y
A
x
(其中A≠0，
0
)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方
法去解答，列不等式的原则是：
①把“
x
(
0
)”视为一个“整体”；
②A＞0(A＜0)时，所列不等式的方向与
sin
y
x
( x
R
)，的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
（2）当
0
时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为
sin(
)
y
A
x
的形式，然后求
其单调递增区间，应把
x
放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把
x
放
在正弦函数的递增区间之内．
类型一：整体法求单调区间
【例题1】已知函数
，求
的单调递减区间.
【答案
，
.
【分析】根据复合函数的单调性，得到
，计算可得函数
的单
调递减区间.
【详解】由
，得
，
，
∴函数
的单调递减区间为：
，
.
【例题2】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，由正切函数的单调区间，列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】令
，解得
，
所以函数
的单调递增区间为
.
类型二：括号内有符号的情况
【例题3】（2024·高一·安徽马鞍山·期末）已知函数
,若
，求函数
的单调递增区间
【解析】依题意，
由
，得
，
所以函数
的单调递增区间为
.
类型三：复合函数且有定义域限制
【例题4】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】设
，即
，
，
单调递增，取
单调增的部分，
所以可得：
，即
，
解得：
【巩固练习1】函数
的单调递减区间为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】因为
，
且
的单调递增区间为
，
，
所以函数
的单调递减区间为
，
.
【巩固练习2】函数
单调减区间为
【答案】
【解析】正弦函数
的单调递减区间为
，
由
，得
，
记
，则
【巩固练习3】函数
的单调区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
令
，
，解得
，
，
所以函数
的单调递减区间为
.
【巩固练习4】函数
，
的增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得
，再用整体代换的方法即可求出单调
增区间.
【详解】由题意，得
.
令
，解得
.
所以函数
的单调增区间为
.
因为
，所以令
，则得函数
，
的单调增区间为
.
【巩固练习5】函数
单调减区间为
【答案】
【详解】
正弦函数
的单调递减区间为
，
由
，得
，
记
，则
【巩固练习6】求函数
的单调区间．
【答案】函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
【分析】根据复合函数单调性及对数函数定义域与单调性进行求解
【详解】由于
为定义域为
的单调递增函数，故
的单调递增区间
为
的单调递增区间，且保证
，即
，
，解得：
，
；
的单调递减区间为
的单调递减区间，
且保证
，即
，
，解得：
，
，
综上：函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
【题型7】求值域与最值
以下归纳求值域的几种方法，不过考虑到辅助角公式还没学，所以本专题暂时仅涉及前2 种
1、形如
+
(
)
(
( )=
+
0
0)
f x
Asin
x
b A
，
求值域：令
,先通过不等式性质求出t 的
范围，再求值域。
2、形如
求值域：设
，化为二次函数
在闭区间
上的最值求解，也可以是
；
3 、形如
求值域：引入辅助角
，化为
（注：
）
4、形如
，求值域：
，则
，故
，故原函数化为二次函数
在闭区间
上的最值求
解．
类型一：y=Asin(ωx+φ)+B
【例题1】已知函数
，
.则
的最大值为 .
【答案】1
【解析】因为
，所以
，
又函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
的最大值为1．
类型二：二次函数型
【例题2】函数
，
值域是 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，
，
所以函数
，
值域是
.
【例题3】函数
，
的值域为 .
【答案】
【分析】求出
的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果.
【详解】令
，
，
因为函数
在
上单调递增，当
时，
，即
，
又因为函数
在
上单调递增，
当
时，
，
所以，函数
，
的值域为
.
类型三：已知值域求参数
【例题4】已知函数
,若
在区间
上的取值范围是
，求实数
的最大值.
【解析】由
，可得
，
当
时，
，
由正弦函数的性质可知
，解得
.
所以实数m 的最大值为
.
类型四：嵌套函数值域问题
【例题5】函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由于
，
在
上为增函数，从而可求得函数的值域
【详解】
，且函数
在
上为增函数，
∴
．
即
．
【巩固练习1】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，
则
.
【巩固练习2】函数
的最大值为 .
【答案】
【解析】由于
，所以
.
又函数
，
所以当
时，
.
【巩固练习3】函数
的值域为 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，
故
，令
，
得到
，由二次函数性质得
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以
的最小值为
，
而
，
，故
，故原函数值域为
.
【巩固练习4】函数
，函数
的值域为
，则
．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得结果.
【详解】当
时，
，正弦函数
在
上递增，在
上递减，
于是函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此
，即函数
的值域为
【巩固练习5】关于
的不等式
对任意
恒成立，则实数
的最大值为 .
【答案】
【分析】令
,
，将不等式转化成关于的一元二次不等式，根据一元二次函数性质即
可求出结果.
【详解】因为
，
所以
，即
，
令
，
，有
令
，
，要使不等式
对于任意
恒成立，
只需满足
，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
时，即
，得
或
，
有最小值，
，得
，所以实数
的最大值为
.
【巩固练习6】函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的有界性与正切函数的单调性，即可求出函数的值域．
【详解】∵
，∴
.
∵
在
上是单调递增的．
即
∴函数
的值域为
.
【巩固练习7】已知函数
2
π
( )
4sin
4sin
2
f x
x
x
，
0,
x
a
的值域为
4,5 ，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
π π
,
6 2
B．
π 5π
,
6
6
C．
π ,π
6
D．
5π ,π
6
【答案】C
【分析】首先化简函数
f
x 的解析式，再利用复合函数的值域，求实数a 的取值范围.
【详解】
2
2
( )
4cos
4sin
4sin
4sin
4
f x
x
x
x
x
2
1
4 sin
5
2
x
，设
sin
t
x
，
2
1
4
5
2
g t
t
，函数的对称轴为
1
2
t
且
0
0
4
f
g
，
1
5
2
g
，1
4
g
，
因为函数
f
x 在区间
0,a 的值域为
4,5 ，所以
sin
t
x
在区间
0,a 上能取得
1
2
t
，但是t 不能小
于0，所以
π
π
6
a
.
【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题
1、求三角函数的周期的方法
（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
(
)
( )
f x
T
f x
.利用定义我们可采用取
值进行验证的思路，非常适合选择题；
（2）公式法：
( )
sin(
)
f x
A
x
最小正周期都是
2
|
|
T
，
(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但
是能够容易画出函数草图的函数；
（4）使用周期公式，必须先将解析式化为
sin(
)
y
A
x
h
的形式；正弦余弦函数的最小正
周期是
2
T
2、奇偶性
（1）定义法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非
奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求
(
)
f
x
；最后比较
(
)
f
x
和
( )
f x 的关系，
如果有
(
)
f
x
=
( )
f x ，则函数是偶函数，如果有
(
)
f
x
=-
( )
f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非
偶函数.
（2） 如何判断函数
(
)
f
x
的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数
(
)
f
x
的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若
sin(
)
y
A
x
为偶函数，则有
(
)
2
k
k
Z
;若为奇函数则有
(
)
k
k
Z
；
(2)若
cos(
)
y
A
x
为偶函数，则有
(
)
k
k
Z
;若为奇函数则有
(
)
2
k
k
Z
；
(3)若
tan(
)
y
A
x
为奇函数则有
(
)
k
k
Z
.
3、对称性问题
（1）函数的对称性问题，往往先将函数化成
sin
)
y
A
x
B
（
的形式，其图象的对称轴是直
线
)
(
2
Z
k
k
x
，凡是该图象与直线
B
y
的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住
三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．
（2）求
函数的对称轴或对 称中心时，应把
作为整体，代入相应的公
式中，解出x 的值，最后写出结果．
【例题1】（多选）对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．其图象关于点
对称
C．对称轴方程为
D．单调增区间
【答案】AC
【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A 选项；利用余弦型函数的对称性可判断BC 选项；利
用余弦型函数的单调性可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，函数
的最小正周期为
，A 对；
对于B 选项，
，B 错；
对于C 选项，由
，可得
，
即函数
的对称轴方程为
，C 对；
对于D 选项，由
，解得
，
所以，函数
的单调增区间
，D 错.
【例题2】已知函数
，下列说法正确的有（ ）
①函数
最小正周期为
；
②定义域为
③
图象的所有对称中心为
；
④函数
的单调递增区间为
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求
解.
【详解】对①，函数
，可得
的最小正周期为
，所以①正确；
对②，令
，解得
，
即函数
的定义域为
，所以②错误；
对③，令
，解得
，所以函数
的图象关于点
对称，所以③正确；
对④，令
，解得
，故函数
的单调递
增区间为
，所以④正确
【例题3】（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
是偶函数
D．
的单调递减区间为
【答案】AD
【分析】根据正弦型函数的周期公式可判断A；代入验证函数值可判断B；求出
的表达式
即可判断其奇偶性，判断C；结合正弦函数的单调区间求出
的单调减区间即可判断D.
【详解】对于A，由三角函数的性质，可得
的最小正周期为
，所以A 正确；
对于B，当
时，可得
，
所以
的图象不关于直线
对称，所以B 错误；
对于C，由
，
此时函数
为非奇非偶函数，所以C 错误；
对于D，令
，
，解得
，
，
即函数的递减区间为
，
，所以D 正确．
【巩固练习1】函数
的图象的对称轴方程为 ，对称中心为
.
【答案】
【分析】根据正弦函数的对称性直接求解可得.
【详解】由
，解得
，
所以函数
的对称轴方程为
.
令
，得
，
所以函数
的对称中心为
.
故答案为：
，
【巩固练习2】已知直线
是函数
图象的一条对称轴，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
在
上单调递减
【答案】BCD
【分析】根据直线
是函数
图象的一条对称轴，求得
，再逐项判
断.
【详解】解：因为直线
是
图象的一条对称轴，所以
，
．又
，所以
．A 不正确．
当
时，
，所以
的图象关于点
对称．B 正确．
因为
，所以C 正确．
当
时，
，
单调递减．D 正确．
【巩固练习3】函数
的最小正周期为 .
【答案】
【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可得：函数
的最小正周期
.
【巩固练习4】若
为偶函数，则
．
【答案】1
【解析】
，
定义域为R，
由题意得
，
即
，
故
，解得
.
【巩固练习5】若
，（
），则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【分析】
是周期为3 的周期函数，计算
的值，由此能求出
的值．
【详解】
是周期为3 的周期函数，
，
，
，
．
【巩固练习6】已知函数
，曲线
的一个对称中心为
，一条对称轴为
，则
的最小值为 .
【答案】9
【分析】分别由对称轴和对称中心可得
的表达式，由
综合可得．
【详解】因为
为
的一个对称中心，
为
的一条对称轴，
，
得
，
，
，
代入①得
，
，
当
，
时，
.
【题型9】利用三角函数性质比大小
结合弧度制，判断选项中各角的范围，并且角的范围尽量小，并包含特殊角，进而利用函数的单调
性比较大小
【例题1】若实数
，
，
满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
又
，则
，且
，即
，
因为
，所以
，
所以
.
【例题2】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，
，而
，
即
，所以
.
【例题3】（深圳市南山区2023-2024 高一上期末）已知
cos1
cos1
sin1 cos1,
log
sin1,
2
a
b
c
，则
（ ）
A．c
a
b
B．a
b
c
C．c
b
a
D．a
c
b
【答案】A
【分析】通过放缩，再利用平方关系及辅助角公式得到1
2
a
，利用函数
tan
y
x
在区间
π
0, 2
上单调递增，得出0
cos1
sin1
1
，再利用对数函数的单调性可得到
1
b ，利用函数
cos
y
x
在区
间
0,π 上单调递减及指数函数的单调性可得到
2
c
，进而得出结果.
【详解】因为0<sin1 1,0
cos1 1
，所以
2
2
sin1 cos1
sin 1 cos 1
1
a
，且
π
2sin 1
2
4
a
故1
2
a
，
又sin1
tan1
cos1
，
π
π
0
1
4
2
，而函数
tan
y
x
在区间
π
0, 2
上单调递增，
所以
π
tan1
tan
1
4
，得到0
cos1
sin1
1
，所以
cos1
cos1
log
sin1
log
cos1
1
b
又
π
0
1
π
3
，函数
cos
y
x
在区间
0,π 上单调递减，所以
π
cos1
cos 3
，
故
π
cos
cos1
3
2
2
2
c
，所以c
a
b
【巩固练习1】设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
，
，
，即
，
．
故
．
【巩固练习2】（多选）下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据三角函数的单调性及诱导公式，逐个选项判断即可得到答案．
【详解】对于A，因为
在
单调递增，而
，
所以
，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递减，而
，
所以
，故B 错误；
对于C，由诱导公式得
，
，因为
在
单调递增，而
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，而
，所以
【巩固练习3】（23-24 高一上·江苏镇江·期末）下列不等关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】结合弧度制，判断各选项中各角的范围，结合正余弦函数以及正切函数的单调性，结合特
殊角的函数值，比较大小，即可得答案.
【详解】对于A，
，故
，
故
，A 正确；
对于B，
，则
，
则
，B 正确；
对于C，
，故
，
故
，C 错误；
对于D，
，则
，
故
，D 正确
【题型10】与零点有关的问题
类型一：由交点个数求参数范围
【例题1】已知函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点，
则实数k 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数
写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数
和函数
图象，利
用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数k 的取值范围.
【详解】由题意，得
画出函数的图象，如下图所示：
由图象可知，
当
时，函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点．
类型二：关于零点的运算求值
【例题2】函数
在区间
上恰有2 个零点
，
（
），求
的值．
【答案
【分析】根据三角函数的对称性结合诱导公式即可得
的值．
【详解】
在区间
上恰有2 个零点
，
（
），∴
在
有两个根．
对于函数
，由
，
，得
，
，
当
时，函数
图像的对称轴为
所以
，则
，
所以
，
又
，故
．
【巩固练习1】已知函数
在
上有两个零点，则m 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当
时，
，
由
，得
；
由
，得
，
因此函数
，
在
上单调递增，函数值从
增大到
，
在
上单调递减，函数值从
减小到
，
且
，
由函数
在
上有两个零点，得
，解得
，
所以m 的取值范围为
.
【巩固练习2】（高一上·湖北·期末）已知函数
，若
在
上有两个
零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，可得
，所以
，从而求出
的取值范
围．
【详解】因为
，所以
，
因为函数
在区间
上有2 个零点，
所以
，解得
，
即
的取值范围是
【巩固练习3】（23-24 高二上·浙江杭州·阶段练习）设
，若函数
在
上有
且仅有2 个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得
，解得可得答案.
【详解】因为函数
在
上有且仅有2 个零点，且当
时，
，
所以
，解得
.
【巩固练习4】若函数
在
上有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令
得
．
作出
在
上的图像，
如图所示．
要使函数
在
上有两个零点，
需满足
，所以
．
【巩固练习5】（23-24 高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数
，令
在区间
上恰有2 个零点
，则
，
.
【答案】
【分析】转化为
在
上恰有2 个零点，当
时，
，
画出
在
时的解析式，得到
，求出
，所以
.
【详解】由题意得
在
上恰有2 个零点，
即
在
上恰有2 个零点
，
当
时，
，
画出
在
时的函数图象，
关于
对称，故
，
即
，解得
，
且
，
，
因为
，所以
【题型11】三角函数对称性的综合应用
类型一：由解析式得出对称中心
【例题1】已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用
可直接构造方程求解.
【详解】
，
，
，解得：
.
类型二：由称性求交点横（纵）坐标值的和
【例题2】（23-24 高一上·山东青岛·期末）当
时，函数
与
的图象
所有交点横坐标之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】作出函数
和
在
上的图象，通过图象即可求出交点横坐标．
【详解】作出函数
和
在
上的图象如下
从图像上可得：函数
的图象和
的图象在
内有两个交点：
，即
，得
，
，
，得
，
所有交点横坐标之和为
.
类型三：称性的综合运算
【例题3】若函数
满足
，则
的值
为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】因为函数
满足
，
可得函数
关于点
对称，所以
，且
，
所以
，则
，
又
，当
时，
，所以
.
【巩固练习1】已知函数
，若
，则
.
【答案】5
【分析】由奇函数相关性质可得答案.
【详解】根据题意
，即
.
所以
.
【巩固练习2】函数
，且
，则
的值为 .
【答案】0
【分析】构造
，得到
为奇函数，从而根据
得到
，由
求出
.
【详解】令
，
定义域为
或
且
，关于原点对称，
则
，
故
为奇函数，
又
，故
，
解得
.
【巩固练习3】【巩固练习1】已知函数
，
，则方程
的所有根的和
等于 .
【答案】0
【解析】函数
与函数
的图象如下图所示
不妨设方程
的所有根从小到大为
，
由对称性可知
，
则方程
的所有根的和等于0.
【巩固练习4】已知函数
的图象关于点
对称，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由
的图象关于点
对称，得
，
由
及
得，
或
，
当
时，
，由
得
的最小值为；
当
时，
，由
得
的最小值为
；
综上所述，
的最小值为
【巩固练习5】已知函数
在
内单调递减，
是函数
的一条对称轴，且函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在
内单调递减，
所以
，得
，
因为
是函数
的一条对称轴，
所以
，①
因为函数
是奇函数，
所以
，②，
由①
②可得，
，
而
，所以
当
时，
，得
，
，
因为
，所以
，
即
，
当
时，
，显然此时函数单调递减，符合题意，
所以
当
时，
，得
，
，
因为
，所以
，
即
，
当
时，
，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
所以
.
【巩固练习6】已知函数
，则
图象有如下性质（ ）
A．关于点
中心对称
B．关于直线
轴对称
C．关于点
中心对称
D．关于点
中心对称
【答案】C
【解析】ACD 选项，
，
故
，
故
关于点
中心对称，C 正确，AD 错误；
B 选项，
，
故
不关于直线
轴对称，B 错误.
【巩固练习7】己知函数
，则
__________.
【答案】 8082
【详解】
到2020 关于原点对称，显然sin x 部分的和刚好为0
令
，则
∴
【巩固练习8】已知
在
上是单调函数，函数
的图象关于
点
中心对称，且对任意的
，都有
.
(1)求
解析式；
(2)若函数
在
上有两个零点
，
，求
的值.
【解析】（1）由题对任意
，都有
，故当
时，
取得最大值.
因为
在
是单调函数，且
的图象关于点
对称，
所以
得
，所以
又因为函数
在
时取得最大值，所以
，
，
即
，
.因为
，所以
，
所以：
.
（2）因为
，令
，则
在
内的图象如图所示，
由题函数
在
有两个零点
，
，
即
与
在
内有两个交点
，
，
数形结合可得：
，
，即
，
所以
.
【题型12】求ω 范围问题初步
解题策略：数形结合求出区间终点在图像上对应的位置
类型一：由零点个数求ω 的范围
【例题1】（23-24 高一上·广东·期末）已知函数
在
上有且仅有2
个零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先求
的取值范围，再根据余弦函数的图象，列式求
的取值范围.
【详解】令
当
时，
，
因为
在
上有且仅有2 个零点，变为
在
上有且仅有2 个零点，
所以，
，解得
．
类型二：由值域求ω 的范围
【例题2】若函数
，
的值域为
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用
可得
，再由三角函数图像性质可得
解不等式即可求得
的取值范围.
【详解】根据题意可知若
，则可得
；
显然当
时，可得
，
由
的值域为
，利用三角函数图像性质可得
类型三：由对称轴（中心）个数求ω 的范围
【例题3】已知函数
的图象在
上有且仅有两条对称轴，则
的取值
范围为________
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】因为
，则
，根据正弦函数的对称轴列出不等式求解
【详解】因为
，则
，根据正弦函数的对称轴可知两条对称轴为
，则
，解得
.
类型四：在某区间上单调增（减）求ω 的范围
【例题4】已知函数
在区间
上单调递减，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
在区间
上单调递减，
，
由
，得
①.
又
，∴f (x)图象关于点
对称，
即
②.
由②-①得
，由于
，
则
，代入①，即
，
由于
，则
．
【巩固练习1】已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】令
，得
有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
【巩固练习2】已知函数
，若至少存在两个不相等的实数
，使得
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当
时，易知必满足题意；当
时，根据
可得
，由最
大值点的个数可构造不等式组，结合
确定具体范围．
【详解】
至少存在两个不相等的实数
，使得
，
当
，即
时，必存在两个不相等的实数
满足题意；
当
，即
时，
，
，
；
当
时，解集为
，不合题意；令
，则
；令
，则
；
综上所述：实数
的取值范围为
.
【巩固练习3】（23-24 高二上·云南大理·期中）已知函数
，若
在
上有且仅有2 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合正弦函数图象确定范围即可.
【详解】令
，则
在
上仅有2 个零点，
所以
，解得
【巩固练习4】设函数
在区间
恰有三个对称轴、两个零点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意可得
，因为
，所以
，
要使函数在区间
恰有三个对称轴、两个零点，又
，
的图象如下所示：
则
，解得
，即
．
【巩固练习5】函数
的图象在区间
上恰有一条对称轴和一个对称中
心，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由x∈(0,1)，设
，则
，
由图可知直线
在线段
之间，不含点
，
所以
，得
．
【巩固练习6】定义在
上的函数
有零点，且值域
，则
的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用正弦函数的图象性质求解即可.
【详解】因为
，所以
，
又因为函数
有零点，且值域
，
所以
，解得
【巩固练习7】已知
（
，
为常数），若
在
上单调，且
，则
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的图象性质求解.
【详解】因为
在
上单调，所以
，所以
，
又因为
，所以函数
图象关于直线
对称，
又因为
，所以函数
图象关于点
中心对称，
所以
，则有
，
所以
，所以只有当
满足，此时，
【题型13】三角函数性质综合
【例题1】（23-24 高一上·甘肃白银·期末）（多选）已知函数
，
，则
下列说法不正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．函数
的单调递增区间为
D．若方程
有三个不同的解，则
或
【答案】AC
【分析】对A、B：由
，可得
，即可得
或
；对C、D：可画出函数
图象，由图象即可判断.
【详解】由
，可得
，
由
，得
，即
可得
，
解得
或
，故A 不正确，B 正确；
在坐标系中画出函数
的图象，
如图所示，由函数图象可知函数
的单调递增区间为
和
，
故C 不正确；
由方程
有三个不同的解，可知
或
，故D 正确．
【例题2】设函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
的最小正周期为
，则
B．若
，则
的图象关于点
对称
C．若
在区间
上单调递增，则
D．若
在区间
上恰有2 个零点，则
【答案】AD
【分析】根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.
【详解】对于A，若
的最小正周期为
，则
，解得
，故A 正确；
对于B，若
，则
，
时，
，故B 错误；
对于C，
时，
，
因为
在
上单调递增，则
，解得
，故C 错误；
对于D，
时，
，
若
在
上恰有2 个零点，
则
，解得
，故D 正确.
【巩固练习1】已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于原点对称
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于直线
对称
D．
的值域为R
【答案】ACD
【分析】根据奇函数的定义即可判断A ，根据周期的定义即可判断B ，根据
即可判断C，根据奇偶性以及单调性即可判断D.
【详解】令
,故
的定义域为
，关于原点对
称，
有
为奇函数，A 正确，
，
不是
的周期，故B 错误，
，由于
，故
是
的一条对称轴，故C 正确，
令
，
在
单调递增，故
在
上的范围为
，由于
为奇函数，所以
在
上的范围为
，故
的值
域为R，D 正确，
【巩固练习2】（22-23 高一上·山西运城·期末）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为函数
的一个周期
B．对于任意的
，函数
都满足
C．函数
在
上单调递减
D．
的值域为
【答案】ABD
【分析】计算
，可判定选项A；根据三角函数的诱导公式进行化简运算，可判定
选项B；化简函数
，结合三角函数的性质，可判定选项C；根据
，且
，结合选项A、B 及函数的单调性，可判定选项D.
【详解】对于A，由
，
所以
为
的周期，故A 正确；
对于B，由
，
，
所以
，故B 正确；
对于C，由
，则
，且
，
根据正弦函数的性质，可得函数
在
上单调递增，在
上单调递减，故C 错误；
对于D，函数
，由
，且
，所以函数
的最小值为
；
由
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，当
时，函数
的最大值为
；
由B 选项知函数
关于
对称，又
为
的周期，
的值域为
，故D 正确.
故选：ABD.
【巩固练习3】已知函数
，则下列结论中正确的个数是（ ）
①
是周期为
的周期函数
②
是函数
的一个单调递增区间
③若
，
，则
的最小值为
④
的对称中心为
，
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【解析】因为
,所以周期不是
，①错误；
，
，所以
不是f (x)的单调递增区间，②错误；
,
因为
设
，
所以
,
所以
,
所以
的最小值为
，③正确；
,④正确.
【巩固练习4】（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
的最小正周期是
，则
B．当
时，
的对称中心的坐标为
C．当
时，
D．若
在区间
上单调递增，则
【答案】ACD
【分析】对于
利用函数周期公式求解即可；对于
，求出当
时，函数的对称中心，即可判
定；对于
，
，求出
，利用函数的单调性即可比较大小；对于
，求出函数
的单调递增区间，结合题中条件列出不等式组，解出结果，再结合周期范围及
，即可求出
的范围.
【详解】对于
当
的最小正周期是
，
即
则
，故
正确；
对于
,当
时，
，
所以令
,解得
，所以函数的对称中心的坐标为
，
故
错误；
对于
，当
时，
，
，
，
由于正切函数
在
单调递增，
故
，故
正确；
对于
,令
解得：
，
所以函数的单调递增区间为
，
又因为
在区间
上单调递增，
所以
解得:
，
另一方面，
所以
又因为
所以
故
，故
正确.
【巩固练习5】（多选题）（2024·高一·江苏盐城·开学考试）函数
在
上单调递增，下列命题正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．
的图象有一个对称中心为
C．
是
图象的一条对称轴
D．
在
上的值域为
【答案】ABD
【解析】由
，得
，而
在
，
则
，解得
，
由
，解得
，则
，
，
又
，因此
，
，
对于A，当
时，
，而
在
上单调递减，
因此
在区间
上单调递减，A 正确；
对于B，
，则
的图象的一个对称中心为
，B 正确；
对于C，
，则
不是
图象的对称轴，C 错误；
对于D，当
时，
，
，
因此
，D 正确.
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