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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 20 练 三角函数的图像与性质（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．下列函数中，在 上递增的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质判断即可.
【详解】对于A： 为奇函数，故A错误；
对于B： 为奇函数，故B错误；
对于C： 为偶函数，但是函数在 上单调递减，故C错误；
对于D： ，则 ，故 为偶函数，
且 时 ，函数在 上单调递增，故D正确；
故选：D
2．函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式化简函数解析式，结合余弦函数的周期公式求其周期.
【详解】因为 ，
所以函数 的最小正周期 .
故选：D.
3．求函数 的最大值（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简 ，从而求得 的最大值.
【详解】
所以，当 时 取得最大值为 .
故选：A
4．若函数 的最大值为 ，则a的值等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】由于 ，所以 时， 取最大值，故 ，所以 ，
故选：D
5．若 ，则 ， ， 的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分别求得 在 的取值范围，进而
得到 的大小顺序.
【详解】当 时， ， ，
则 ，则
故选：C6．设 ，则 的一个可能值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据辅助角公式以及三角函数的性质可得 ，进而可求解.
【详解】由于 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
，
故选：B
7．函数 零点的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】画出函数 和 的图象，根据函数图象得到答案.
【详解】画出函数 和 的图象，其中 ，如图,
由图可知，
当 时， ，两函数图象没有交点；
当 时，两函数图象有3个交点；
当 时， ，两函数图象没有交点，综上，函数 和 的图象有3个交点，
所以，函数 零点的个数为3．
故选：C.
8．若 ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解 ， ，再求解交集即可.
【详解】由 ，可得 或 ；由 ，可得 ．
综上， 的取值范围是 ．
故选：B.
9．已知角 为斜三角形的内角， ，则 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定 ，变换得到 ，解得答案.
【详解】角 为斜三角形的内角，则 ，
，即 ，故 .故选：D.
10．当 时， 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】令 ，由 ，可得 ，利用基本不等式求解即可.
【详解】令 ，由 ，可得 ，
所以 ，当且仅当 时，即 时取等.
故选：B.
二、多选题
11．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据诱导公式和正余弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】A中，因为 ， ，由 在 单调递增，所以 ，所
以A正确；
B中，因为 ， ，显然 ，即 ，所以B正确：
C中， ， ，故 ，所以C错误；
D中，因为 ，在 内 单调递增，所以 ，所以D正确；
故选：ABD．12．函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．
C． 的值域为
D． 的值域为
【答案】BC
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，然后根据性质分别分析即可.
【详解】
，
所以 ，
所以A不正确;
由 ，
所以B正确;
因为 ，
所以 ，
所以 的值域为 ，
所以C正确，D不正确，
故选：BC.13．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的值域为
C． 的图象是轴对称图形
D． 的图象是中心对称图形
【答案】BC
【分析】对选项A，根据 为 的周期，故A错误，对选项B， 时， ，再结合
周期即可判断B正确，对选项C，根据 为偶函数，即可判断C正确，对选项D，根据 的值域为
，即可判断D错误.
【详解】对选项A， ，
所以 为 的周期，故A错误.
对选项B， 当 时， ，
因为 ，所以 ，即 .
因为 为 的周期，所以 的值域为 ，故B正确.
对选项C，函数 的定义域为R，
，所以 为偶函数，关于 轴对称，即 的图象是轴对称图形，故C正确.
对选项D，因为 的值域为 ，所以 的图象不是中心对称图形，
故D错误.
故选：BC
三、填空题
14．函数 的最小值是___________.
【答案】
【分析】根据三角函数的有界性求出最小值.
【详解】当 ， 时，即 ， 时， 取得最小值为 ，此时
取得最小值为1
故答案为：1
15．函数 在 上的值域为______．
【答案】
【分析】根据给定区间，求出函数相位的范围，再利用正弦函数性质求解作答.
【详解】 ，则 ，于是 ，
所以所求值域为 .
故答案为：
16．函数 的定义域为__________．
【答案】【分析】求出 的解后可得函数的定义域.
【详解】由题设可得 ，故 ，
故函数的定义域为 .
故答案为： .
17．函数 的最大值为_________________
【答案】
【分析】化简函数解析式，结合换元法、二次函数的性质求得函数的最大值.
【详解】函数 ，令 ， ，
则 ， ，所以当 时，函数取得最大值为 .
故答案为： .
18．求f(x)= 的定义域___________.
【答案】
【解析】将定义域问题转化为求 ，然后将 看成一个整体，利用余弦函数的图象即可
得到关于 的不等式组，求解即可得到函数 的定义域.
【详解】解：要使函数有意义，则 ,即 ，
由余弦函数的图象得， ，
解得， ，故函数的定义域是 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查利用余弦函数的图象解三角不等式，利用三角函数的图象求解关于 的正余弦，
正切的不等式，是十分重要的，一般的将 看做一个整体，利用函数的图象与直线 ，利用数形
结合方法求解.当然，本题还可以利用诱导公式转化为关于正弦的不等式求解，但此处采用一种通性通法来
求解，更具有一般性.
19．函数 的值域为__________．
【答案】
【分析】用余弦的二倍角公式转化为二次函数求值域.
【详解】因为 ，
又 ，所以 ，则 ，
即函数 的值域为 .
故答案为： .
20．满足 且 的x的取值范围为__________________.
【答案】
【分析】首先分别求出两个不等式的解，之后取公共部分即可得结果.
【详解】由 可得 ，
由 可得 ，
取公共部分得 ，故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关三角形函数的问题，涉及到的知识点有已知三角函数的取值范围求角的范围，
属于基础题目.
21．函数 的值域是______．
【答案】
【分析】由题可得 ，然后结合正弦函数的值域即得.
【详解】∵ ，
所以 时， ，当 时， ，
所以函数 的值域是 .
故答案为： .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列函数中，不是周期函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦函数的性质可判断A的正误，利用二倍角公式结合正弦函数的性质可判断B的正误，利
用周期函数的定义可判断C的正误，利用反证法可判断D的正误.
【详解】对于选项A：
，故其最小正周期为 ，故A正确.对于选项B：
，
所以最小正周期为 ；
对于选项C：
,
则 ，
所以 是周期函数；
对于选项D：
，假设函数 是周期函数，
因为当 时， ，由正弦函数的性质可得 的最小正周期为 ，
但 ，
这与 的最小正周期为 矛盾，故 不是周期函数，故D错误.
故选：D.
2．函数 在 的最大值是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】C
【分析】由已知可得 .根据 的范围以及余弦函数的单调性，即可得出答案.
【详解】由已知可得， .
因为 ，所以 .又 在 上单调递减，
所以，当 ，即 时，函数取得最大值 .
故选：C.
3．已知 ，若 恒成立，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若 恒成立，即 ，由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简 ，求出
，此时 ，则 ，由诱导公式即可得出答案.
【详解】 ，
其中 ， ，所以当 时， .
若 恒成立，则 ，
此时 ，则 ，即 ，
.
故选：A.
二、多选题
4．已知向量 ，则（ ）
A．若 ，则 B． 的最小值为
C． 可能成立 D． 的最大值为3
【答案】BC【分析】根据向量的数量积公式即可判断选项A、B；当 时，则有 判断选项C；将
转化为三角函数的最值问题即可求解，判断选项D.
【详解】对于A，若 ，则 ．又 ，故A错误；．
对于B， ，又 ，当 时， ， ，
故B正确；
对于C，由选项B可知，当 时， ，则 ，故C正确；
对于D， ，
当 时， ， ，故D错误.
故选：BC．
5．已知 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． 关于 轴对称
C． 关于 中心对称 D． 的值域为
【答案】AB
【分析】根据函数的周期性，对称性逐项检验即可判断ABC，利用正余弦函数的性质可判断D．
【详解】A中，因为 ，所以 ，
所以A正确；
B中，由A可得 ， ，所以，所以可得 是函数的对称轴，所以B正确；
C中，因为 ，而 ，
所以对称轴为 ，所以C不正确；
D中，因为 ，所以 ，所以D不正确，
故选：AB．
三、填空题
6．函数 的最大值为____________．
【答案】
【分析】根据两角和与差的正余弦公式展开 ，即可得出 ，即可得出
答案.
【详解】因为 ，
，
所以， .
所以，当 ，即 时，
函数有最大值为 .
故答案为： .
7．函数 的最大值为__________．【答案】 /
【分析】首先求得 ，设 ， ，得出 的单调区间，即可得出最大值．
【详解】 ，
设 ， ，
令 ，得 或 ，
所以当 时， ，
即在 和 上 单调递减，
当 时， ，
即在 上， 单调递增，
又因为 ， ，
所以 的最大值为 ，
故答案为： ．
8．方程 的解的个数是________．
【答案】7
【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出 和 的图象，找出两函数图象交点个数即
可.
【详解】由正弦函数值域可得 ，
又因为当 时， ；
所以，分别画出 和 在 上的图象如下图所示：根据图像并根据其对称性可知，在 上两函数图象共有7个交点；
由函数与方程可知，方程 有7个解.
故答案为：7
9．对于函数 ，给出下列四个命题：
①该函数的值域为 ；
②当且仅当 时，该函数取得最大值1；
③该函数是以 为最小正周期的周期函数；
④当且仅当 时， .
上述命题中，假命题的序号是______.
【答案】①②
【分析】作出函数 的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为 ，
对于③，当 时， ，
当 时， ，所以，函数 为周期函数，
作出函数 的图象（图中实线）如下图所示：结合图形可知，函数 的最小正周期为 ，③对；
对于①，由图可知，函数 的值域为 ，①错；
对于②，由图可知，当且仅当 或 时，函数 取得最大值 ，②错；
对于④，由图可知，当且仅当 时， ，④对.
故答案为：①②.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．函数 的所有零点之和为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】令 两个解为零点，将零点问题转换成 ， 两个函数的交点问题，
作图即可求出零点，且 和 的图象关于 对称，零点也关于 ，即可求出所有零点之和.
【详解】令 ，得 ，解得 或 ，即为零点，
令 ， ，
的周期 ，对称轴 ，且 的对称轴 ，做出 和 的图象如图所示：
显然， 在 和 上各存在一个零点，
， ，在(4,5)上两函数必存在一个交点，
在 上有两个零点，同理 在 上存在两个零点，
所以 在 上存在6个零点，
因为 和 关于 对称，则 零点关于 对称，
所以 的所有零点之和为 .
故选：C
2．已知 ，若存在正整数n，使函数 在区间 内有2023个零点，则实数
a所有可能的值为（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．1或－1
【答案】B
【分析】根据题意令 分析可得关于t的方程 有两个不相等的实根，结合韦达定理可得
，分类讨论 的分布，结合正弦函数分析判断.
【详解】令 ，令 ，则 ，即 ，
∵ ，
则关于t的方程 有两个不相等的实根，设为 ，令 ，
可得 ，则有：
1.若 ， 即 和 ，
结合正弦函数图象可知： 在 内有两个不相等的实数根， 无
实数根，
故对任意正整数n， 在 内有偶数个零点，不合题意；
2.若 ， 即 和 ，
结合正弦函数图象可知： 无实数根， 在 内有两个不
相等的实数根，
故对任意正整数n， 在 内有偶数个零点，不合题意；
3.若 ， 即 和 ，
结合正弦函数图象可知： 在 内有两个不相等的实数根，
在 内有两个不相等的实数根，
故对任意正整数n， 在 内有偶数个零点，不合题意；
4.若 ， 即 和 ，
结合正弦函数图象可知： 在 内有两个不相等的实数根， 在内有且仅有一个实数根，
①对任意正奇数n， 在 内有 个零点，
由题意可得 ，解得 ，不合题意；
②对任意正偶数n， 在 内有 个零点，
由题意可得 ，解得 ，不合题意；
5.若 ， 即 和 ，
结合正弦函数图象可知： 在 内有且仅有一个实数根， 在
内有两个不相等的实数根，
①对任意正奇数n， 在 内有 个零点，
由题意可得 ，解得 ，符合题意；
②对任意正偶数n， 在 内有 个零点，
由题意可得 ，解得 ，不合题意；
综上所述：当 ， 时，符合题意.
此时 ，解得 .
故选：B.
二、填空题
3．已知函数 ．给出下列四个结论：
① 的最小正周期是 ；
② 的一条对称轴方程为 ；③若函数 在区间 上有5个零点，从小到大依次记为 ，则
；
④存在实数a，使得对任意 ，都存在 且 ，满足 ．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】②③
【分析】画出函数图像，可判断①②，对于③，转化为 与 在 上交点问题，数形
结合得到5个根的对称性，从而得到答案；对于④， 时， 单调递增，且
，从而判断出存在实数a，使得对任意 ，只有一个 ，满足要求.
【详解】 的图象如下：
对于①， 的最小正周期是 ，①错误；
对于②， 的一条对称轴方程为 ，②正确；
对于③，画出图象， 与 在 上有5个交点，这5个交点即为函数在区间 上有5个零点，
从小到大依次记为 ，且 关于 对称， 关于 对称， 关于 对称，
关于 对称，
则 ，
故 ，③正确；
对于④， 时， 单调递增，且 ，
对任意 ， ，由对勾函数性质可知 在 上单调递增，
故 ，
由单调性可知存在实数a，使得对任意 ，只有一个 ，满足 ，④错误.
故答案为：②③
4．已知函数 ，若满足 （a、b、c互不相等），则
的取值范围是___________
【答案】
【详解】根据题意，作出函数 图像，
不妨设 ，
如图,根据三角函数的对称性得 与 关于 对称，
所以 ，另一方面, ，即
所以 ，
故答案为： .
