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第 20 练 数列综合
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．数列 的前 项和 ，首项为1．对于任意正整数 ，都有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题设 时， 是首项为1，公比为2的等比数列，故 且 ，
所以 ，则 ，
故 时， 是首项为14，公差为-2的等差数列，故 且 ，
所以 .
故选：C．
2．数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【详解】
∵ ，故
故
.
故选：D.
3．已知数列 满足 ， ，记 的前 项和为 ，
的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ， ，
所以当 为奇数时， ， ，即当 为奇数时， ；当 为偶数时，
.
所以所以 ，
所以
.
故选：B.
4．若数列 满足：若 ，则 ，则称数列 为“等同数列”．
已知数列 满足 ，且 ，若“等同数列” 的前 项和为 ，且
， ， ，则 （ ）
A．4711 B．4712 C．4714 D．4718
【答案】D
【详解】
由 得 ，则 ，
故 ,所以 ， ， ，
所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，解得 ，同理得 ，
， ，…，故数列 是以3为周期的数列，
所以 ，
故选:D．
5．已知数列 ， 的通项公式分别为 ， ，现从数列 中剔除 与
的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列 ，则数列
的前150项之和为（ ）
A．23804 B．23946 C．24100 D．24612
【答案】D
【详解】
因为 ， ， ，故数列 的前 项中包含 的前
项，故数列 的前150项包含 的前 项排除与 公共的8项.
记数列 ， 的前 项和分别为 ， ，故选：D.
6．已知数列 中， ， ，数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题得， ，又 ，
所以 .所以 ，可得 .所以数列 是递增数列.
又 ，所以 ，所以
，所以 ，又 ，所以 ，所以
，所以 .
故选：A.
7．已知数列 满足 ， ， ，数列 满足
，则数列 的前2021项的和 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ，故数列 为等比数列，又 ，所以 ；
则 ；
所以
.
故选：D.8．如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到
如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以
此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 ，数列 的前n项和为 ，若不
等式 恒成立，则n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】
解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为 ，第2代“勾股树”中，正方形的个
数为 ，…，
以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以数列 为递增数列，
又 ， ，
所以n的最小值为9．
故选：C．
9．已知数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A．119 B． C． D．
【答案】B
【详解】
由余弦函数的性质知
， ，
又 ，
所以
．
故选：B．10．已知各项均为正数的数列 满足 ，其中 是数列 的前n项和，若对
任意 ，且 ，总有 恒成立，则实数 的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
当 时， ，解得
当 时，
整理得： ，又 各项均为正数
是以 为首项，公差 的等差数列
令
令
的最小值为
故选：B
二、多选题
11．已知数列 满足， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】ACD
【详解】
，A正确；
对于 ，有 ，两式相加得 ，C正确；
由 知 ，则 ，B错误；
由偶数项均为 可得 为偶数时， ，则
，则
，D正确.
故选：ACD.
12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为
“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个
球，第三层有6个球，…，设第n层有 个球，从上往下n层球的球的总数为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】
由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又 满足上式，所以 ，故A错误；
则 ，得 ，故B正确；
有 ，故C正确；
由 ，
得 ，
故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．数列 满足 ， ，则 前40项和为________．
【答案】
【详解】
当 时， ，
故
，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ；
当 时，
；
当 时，
；
当 时，；
故
，
故 前40项和为 ，
故答案为：
14．设数列 的前n项和为 ，已知 ，则 _________.
【答案】960
【详解】
由 ，
当n为奇数时，有 ；当n为偶数时， ，
∴数列 的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则
，
故答案为：960.
四、解答题
15．已知 是数列 的前n项和，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
变形为 ，
因为 ，
所以 ，故 ；
(2)
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，则
16．定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到
的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项
的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如 的一阶和数列是 ，
设它的n阶和数列各项和为 ．
(1)试求 的二阶和数列各项和 与三阶和数列各项和 ，并猜想 的通项公式（无需
证明）；
(2)若 ，求 的前n项和 ，并证明： ．
【答案】(1) ， ，
(2) ，证明见解析
【解析】(1)
由题意得，
，
，
，
，
…
，
由等比数列的前n项和公式可得， ，
所以 的通项公式 ．
(2)
由于 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 随n的增大而减小，
所以当 时， 取得最大值 ，故 ．
