文档内容
押北京卷 9 题
三角函数的性质
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
恒等变换与三角函数性质 2022·北京卷T5
预测 2024 年新高考命 三角函数的客观题难度中等或偏
题方向将继续以三角函 难，纵观近几年的试题，分别考
恒等变换与三角函数性质 2021·北京卷T7 数的图象与性质，三角 查三角函数的图象与性质，三角
恒等变换等问题展开命 恒等变换，也是高考冲刺的重点
题． 复习内容。
辅助角与三角函数性质 2020·北京卷T14
1．（2022·北京卷T5）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
2．（2021·北京卷T7）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】由题意， ，所以该函数为偶函数，又
，
所以当 时， 取最大值 ，故选D.
3.（2020·北京卷T14）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．
【答案】 （ 均可）
【解析】因为 ，
所以 ，解得 ，故可取 .
故答案为： （ 均可）.
1. 同角三角函数的基本关系
平方关系：
sin2α+cos2α=1
sinα
tanα=
cosα
商数关系：
2. 正弦的和差公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
，3. 余弦的和差公式
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
，
4. 正切的和差公式
tanα+tanβ tanα−tanβ
tan(α+β)= tan(α−β)=
1−tanαtanβ 1+tanαtanβ
，
5. 正弦的倍角公式
1
sinαcosα= sin2α
sin2α=2sinαcosα⇒ 2
6. 余弦的倍角公式
cos2α=cos2α−sin2α=(cosα+sinα)(cosα−sinα)
cos2α=1−2sin2α cos2α=2cos2α−1
升幂公式： ，
1−cos2α 1+cos2α
降幂公式：
sin2α=
，
cos2α=
2 2
7. 正切的倍角公式
2tanα
tan2α=
1−tan2α
8. 推导公式
(sinα+cosα) 2 +(sinα−cosα) 2 =2
9. 辅助角公式
b π π
y=asinx+bcosx (a>0)⇒ y= √a2 +b2sin(x+ϕ) tanϕ= a ϕ∈(− 2 , 2 )
， ，其中 ，
10.求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型
（1）形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）；
（2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x）＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次
函数求值域（最值）；
11.有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般
可化为y＝Acos ωx的形式.
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解.
(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.
12.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin（ωx＋φ）的形式，再求y＝Asin（ωx＋
φ）的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正
数.
13.对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单
调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题
利用特值验证排除法求解更为简捷.
1．已知 为第二象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 为第二象限角，且 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：D
2．为了得到 的图象，只要将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】B
【解析】 ，
则为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度.
故选：B.
3．若函数 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数 是偶函数，则 ，
即 ，而 ，所以 .
故选：B
4． 在区间 上单调递增，在 上单调递减，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知， 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
根据正弦函数 单调性可知： ，解得 ，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，符合题意.
故选：D.
5．已知函数 ， ，则 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】因为 ，令 ，解得 ， ，
令 ，则 ，
令 ， ，
又 ，所以 的单调递增区间是 ， .
故选：D
6．函数 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 是最小正周期为 ，
且 ，为奇函数；
可得 是最小正周期为 的奇函数.
故选：C
7．函数 是（ ）
A．以 为最小正周期的偶函数 B．以 为最小正周期的偶函数
C．以 为最小正周期的奇函数 D．以 为最小正周期的奇函数
【答案】B
【解析】因为 ，
所以函数 的最小正周期 ，且为偶函数.
故选：B
8．函数 （ ） （ ）是（ ）
f x =sin 2x+A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【答案】B
【解析】 （ ） （ ） （ ） ，则函数 （ ）是偶函数，
f x =sin 2x+ =-sin 2x+ =-cos2x f x
函数的最小正周期 ，即 （ ）是最小正周期为π的偶函数，
T= =π f x
故选 ．
B
9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是最小正周期为 的奇函数 B． 是最小正周期为 的偶函数
C． 是最小正周期为 的奇函数 D． 是最小正周期为 的偶函数
【答案】A
【解析】显然 的定义域为
所以 为奇函数
的最小正周期
故选：A
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是最小正周期为 的偶函数 B． 是最小正周期为 的偶函数
C． 是最小正周期为 的奇函数 D． 是最小正周期为 的奇函数
【答案】C
【解析】 的最小正周期为 ,令 ，
所以函数的定义域 关于原点对称.
又 ，
所以函数是奇函数.
故选：C
11．函数y＝1－2sin2 是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数
D．最小正周期为 的偶函数
【答案】A
【解析】y＝1－2sin2 ＝cos2 ＝－sin2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数，
故选：A.
12．设函数 ， ，则 ( )
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为 的偶函数 D．最小正周期为 的偶函数
【答案】B
【解析】∵ ，最小正周期为 ，
又 ， 为奇函数，
故选：B
13．函数 ，若 ，则 ．
【答案】0
【解析】因为 ，可得 ，所以 .
14．已知函数 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 ，则 ．
【答案】2
【解析】由题意可得 ，即 ，则 .
15．函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】
，
又 ，
.
的值域为 .
16．若 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
17．已知函数 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由
，
因 ，故 ，
当且仅当 时，即 时， .
18．已知 ．使 成立的一组 的值为 ；
．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】取 ，此时 ， ，
故 ，符合要求.
19．已知函数 在 上单调递增，则 ．
【答案】 /
【解析】函数 ，由 ，得 ，
因此函数 在 上单调递增，又 在 上单调递增，于是 ，即 ，解得 ，
所以 .
20．设函数 ，其中 .若 对任意的 恒成立，则 的增区间是
.
【答案】 ， .
【解析】由题意： 为函数的最大值，所以 ，
所以 ， ， .
由 （ ） （ ）.可记为
， .
