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热点 3-2 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的热点，函数 的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、
单调性之间逻辑关系则是重心。随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻
辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。高考中的相关试题多以选择题、填空
题的形式考查，难度中等或偏下。
【题型1 三角函数的识图问题】
满分技巧
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”
（1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；
（2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；
（3）找特殊值：** 错误的表达式 **对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；** 错误的表达式 **对比
各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；
（4）判断单调性：可取特殊值判断单调性.
【例1】（2024·湖南长沙·统考一模）下图是函数 的部分图象，则该函数的解析式可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由图可得： ，即 ，即 ，
观察各选项可知，本题考虑 即可，则 ，
把点 代入 中，可得： ，
故 ，即 ，
所以 ，故选：C.
【变式1-1】（2024·天津宁河·高三统考期末）函数 在区间 上的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，
所以 ， 图像关于原点对称，故选项A和B错误，
又 ， ， ，所以选项C错误，选项D正确，故选：D.
【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·统考一模）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于函数的定义域为 ，故可排除ABD，故选：C
【变式1-3】（2024·河北廊坊·高三文安县第一中学校联考期末）现有四个函数：① ；② ；③ ；④ 的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（
）
A．①③②④ B．①④③② C．③①②④ D．③①④②
【答案】A
【解析】设 ，定义域为R，满足 ，
即 为偶函数，对应的图象为图 ，
设 ，定义域为R，满足 ，
即 为奇函数，且当 时， ，对应的图象为图 ；
设 ，定义域为R，满足 ，
为奇函数，且零点为 ，对应的图象为图 ；
设 ，定义域为R，满足 ，
为奇函数，且零点为0和 ，对应的图象为图4.故选：A.
【变式1-4】（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）函数 的图象大致为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一：因为 ， ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，D；当 时， ， ， ，故 ，排除C，故选B．
解法二：当 时， ，排除A，C；
又当 时， ， ， ，则 ，排除D，故选：B．
【题型2 由三角函数的图象求解析式】
满分技巧
已知 的部分图象求其解析式时， 比较容易看图得出，困难的是求
待定系数 和 ，常用如下两种方法：
（1）由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横
坐标 ，则令 （或 ），即可求出 ；
（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出
和 ，若对 ， 的符号或对 的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求。
【例2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 的部分图象如
图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图可知，点 在图象上，所以 ，则 ，
又知点 在 的增区间上，所以 ；
由五点作图法可知， ，解得 ，所以 ，
则 ，故选：D．【变式2-1】（2024·四川攀枝花·统考二模）函数 的部分图象如图
所示，则将 的图象向右平移 个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可得 ，又 ，故 ， ，故 ，则 ，
又 ，故 ， ，即 ， ，
故 ， ，又 ，故 ，
则 ，将 的图象向右平移 个单位长度后，
可得 ，故选：A.
【变式2-2】（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）函数 的部分
图像如图所示，则 ， 的值分别是（ ）
A．2， B．2， C．2， D．4，
【答案】B
【解析】设 的周期为 ，则由图像知 ，
所以 ，则 ，
因为 在 处取得最大值，所以 ，得 ，因为 ，所以 ，故选：B
【变式2-3】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末）函数
的部分图象如图，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】由图象可得 ，故 ，
因为 ，故 或 ，
将 代入解析式得 ，即 ，
由图象可知2为函数在原点右边的第一个最大值点，故 ，
当 时， ，解得 ，满足要求，
当 时， ，解得 ，不合要求，舍去，故选：A
【变式2-4】（2024·河南信阳·统考二模）（多选）已知函数 的图象如图所示， ，
是直线 与曲线 的两个交点，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 的值为3 B． 的值为2 C． 的值可以为 D． 的值可以为
【答案】AD
【解析】由函数 的图象可知 ,设 ，由 可得 ，
令 ，即 ，
结合图像可得 ，
则 ，即 ，故A正确，B错误；
将 代入 ，
即有 ，且 为函数下降零点，
所以 ，故 ，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，符合题意，故C错误，D正确；故选：AD.
【题型3 三角函数的图象变换问题】
满分技巧
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：
（1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；
（2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；
（3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．
图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少
值；
（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。
【例3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）为了得到函数 的图象，只需把函数
的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
【答案】B
【解析】因为把函数 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，就能得到函数 的图象，故选：B
【变式3-1】（2024·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）将函数 的图象向右平移
个单位长度，得到函数 的图象，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数 ，把 的图象向右平移 个单位长度，
得 的图象，而 ，
于是 ，而 ，则 ， ，所以 的最小值为 .故选：B
【变式3-2】（2024·福建·高三校联考期末）已知函数 ，要得到函数
的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【解析】 ，
，
故将 的图象向右平移 个单位长度可得 ，
即为 的图象，故选：C
【变式3-3】（2024·天津和平·高三统考期末）已知函数 ，函数 图象的一条对称轴
与一个对称中心的最小距离为 ，将 图象上所有的点向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有
点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ， ，则 ，所以 ，
则将 图象上所有的点向左平移 个单位长度变为 ，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），
得到的图象所表示的函数为 ，故选：A.
【变式3-4】（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）要得到函数 的图象，可以
将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】B
【解析】因为 ，
，
所以将 的图象向左平移 个单位可得到 的图象，故选：B.
【题型4 三角函数的单调性及应用】
满分技巧
1、求三角函数单调区间的2种方法
（1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数
的单调性列不等式求解；
（2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间
求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
2、已知单调区间求参数范围的3种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子
集，列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。【例4】（2023·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递减 B． 在 单调递增
C． 在 单调递减 D． 在 单调递增
【答案】C
【解析】因为 ，
对于选项A：因为 ，则 ，
且 在 内不单调，所以 在 内不单调，故A错误；
对于选项B：因为 ，则 ，
且 在 内不单调，所以 在 内不单调，故B错误；
对于选项C：因为 ，则 ，
且 在 内单调递减，所以 在 内单调递减，故C正确；
对于选项D：因为 ，则 ，
且 在 内单调递减，所以 在 内单调递减，故D错误；故选：C.
【变式4-1】（2024·浙江温州·温州中学校考一模）已知函数 ，其中 .若 在
区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，函数 的增区间为 ，且 ，
解得 .由题意可知： .
于是 ，解得 .
又 ，于是 ，故选：A.
【变式4-2】（2024·山东威海·高三统考期末）已知函数 在 上是增函数，
则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意， ，解得 ，又 ，则 ；
当 ， ，
由题可得 ，解得 ；
综上所述， 的取值范围是 .
【变式4-3】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）已知函数 的最小正周
期为 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 的最小正周期为 ，得 ，
则 ，
因当 时， ，此时函数 单调递减，即 在 上单调递减；
当 时， ，
此时函数 单调递增，即 在 上单调递增.
由题知 在 上单调递减，在 上单调递增，
故须使 ，解得 .
【变式4-4】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数 在 上单调递增，在
上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，解得 ，
的单调增区间为 .
在 上单调递增， ， .
由 ，解得 ，
的单调减区间为 ，
又函数在 上单调递减， ， .
综上， ，即实数 的取值范围为 ，故选：C
【题型5 三角函数的周期性及应用】
满分技巧
周期的计算公式：2
T
y Asin(x),y Acos(x) (0)
函数 的周期为 ，
T
y Atan(x) (0)
函数 的周期为 求解.
【例5】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）下列函数中，以 为周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为函数 的最小正周期为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，故选项A错误；
对于B，因为函数 的最小正周期为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，故选项B错误；
对于C，因为函数 的最小正周期为 ，
所以根据图象变换可知函数 最小正周期为 ，
所以 也是它的一个周期，故选项C正确；
对于D，作出函数 的图象：
根据图象可知该函数不是周期函数，故选项D错误，故选：C．
【变式5-1】（2023·重庆·重庆市石柱中学校校联考一模）函数 的最小正周
期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为
.
所以，函数的最小正周期为： ，故选：B【变式5-2】（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）函数 的最小正周期为
.
【答案】
【解析】由诱导公式可知， ，
当 时， 与 不恒相等，
故 的最小正周期为 .
【变式5-3】（2024·广东汕头·金山中学校考模拟预测）“ 的最小正周期为 ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 的最小正周期为 时，有 ，即充分性不成立；
当 时， 的最小正周期为 ，即必要性成立；
所以“ 的最小正周期为 ”是“ ”的必要不充分条件，故选：B.
【变式5-4】（2024·山东德州·高三统考期末）设函数 在 的图象大致如图，
则 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数 的图象，
函数 的最小正周期 且 ，可排除A，D；
又由 ，即 ，若选B，则 ，此时 ，此时 不为整数，排除B项；
若选C，则 ，此时 ，此时 ，排除C项，故选：C.
【题型6 三角函数的奇偶性及应用】
满分技巧
与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan
ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：
（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
（2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
【例6】（2023·陕西西安·统考一模）已知函数 ，则“ ”是“ 为奇函数”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意可知： 的定义域为 ，
若 ，可得 ，
若 为偶数，则 为奇函数；
若 为奇数，则 为奇函数；即充分性成立；
若 为奇函数，则 ，即必要性成立；
综上所述：“ ”是“ 为奇函数”的充要条件，故选：C.
【变式6-1】（2024·河南·模拟预测）已知函数 ，则“ ， ”是“ 为
偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数 ，
当 时， ， 为偶函数，所以充分性成立；
为偶函数时， ，解得 ，不能得到 ，
所以必要性不成立.
故“ ， ”是“ 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A
【变式6-2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）若函数 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若0在定义域内，由 时， 得， ；
若0不在定义域内，由 时， 无意义，得 ．
综上， ，故选：C．
【变式6-3】（2024·河南周口·高三统考阶段练习）已知函数 为偶函数，则 （
）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】A
【解析】由 且 ，
由 ，
因为该函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，因此有 ，
即 ，定义域为 ，
因为 ，
所以该函数是偶函数，符合题意，故选：A
【变式6-4】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）若 为奇函数，则实数 （
）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】对于函数 ，有 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
因为函数 为奇函数，则 ，
即 对任意的 恒成立，
所以， ，
所以， ，解得， ，故选：D.
【变式6-5】（2023·北京海淀·高三专题练习）函数 ，则（ ）
A．若 ，则 为奇函数 B．若 ，则 为偶函数
C．若 ，则 为偶函数 D．若 ，则 为奇函数
【答案】B
【解析】 的定义域为 ，
对A：若 ， ，
若 为奇函数，则 ，而 不恒成立，故 不是奇函数；
对B：若 ， ，
，故 为偶函数，B正确；
对C：若 ， ，
，故 不是偶函数，故C错误；
对D：若 ， ，
若 为奇函数，则 ，而 不恒成立，
故 不是奇函数；故选：B
【题型7 三角函数的对称性及应用】
满分技巧
三角函数对称性问题的2种求解方法
1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x
轴的交点，即函数的零点；2、公式法：
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；
（2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；
（3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z
【例7】（2024·重庆·高三统考期末）（多选）下列函数中，其图象关于点 对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，当 时， ，A不是；
对于B，当 时， ，B是；
对于C，当 时， ，C是；
对于D，当 时， ，正切值不存在，D是.故选：BCD
【变式7-1】（2024·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）“函数 的图象关于
对称”是“ ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当函数 的图象关于 对称时，
有 ， ，得 ， ，
易知 ，
所以“函数 的图象关于 对称”是“ ， ”的必要不充分条件．
故选：B．
【变式7-2】（2024·山东青岛·高三青岛二中校考期末）已知函数 的图像
关于原点中心对称，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的图像关于原点中心对称,
则 ，解得 ，
因为 ，当 时， 取得最小值 ，故选：B
【变式7-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知 是函数 的
一条对称轴，且 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】由 是函数 的一条对称轴，知 ，
∵ ， ，
， ， ，
又 ， ，
， .故选：B.
【变式7-4】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）若函数 的图象在
内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数 的最大值是 ．
【答案】
【解析】由题意，得 ，
令 ，解得 ，
令 ，得 ；令 ，解得 ，
令 ，得 ．
根据题意，得 ，解得 ，所以实数 的最大值是 ．
【题型8 三角函数的最值问题】
满分技巧
三角函数值域或最值的3种求法
1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出；
2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范
围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；
3、换元法：
（1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函
数求值域(最值)
【例8】（2022·河南·高三校联考专题练习）函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，
，故函数 的一个周期为 ，
当 时， ，
，
此时， ， ；当 时，
，
此时 ，
故函数 的最小值为 ，故选：D．
【变式8-1】（2024·江苏苏州·高三统考期末）已知函数 的最小正周期为 ，
则 在区间 上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由题意 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，
所以 在区间 上的最大值为 ，当且仅当 时等号成立，故选：C.
【变式8-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）（多选）对于下列四种说法，其中正确的是（
）
A． 的最小值为4 B． 的最小值为1
C． 的最小值为4 D． 最小值为
【答案】BD
【解析】对于A中，由 ，
当且仅当 时，即 ，显然不成立，所以A错误；
对于B中，由 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以B正确；对于C中，由 ，令 ，
可得 ，则函数 在 为单调递减函数，
所以 ，所以C不正确；
对于D中，由 ，令 ，
可得 ，根据对勾函数的性质，可得 在 为单调递增函数，
所以 ，所以D正确，故选：BD.
【变式8-3】（2024·江西赣州·高三南康中学校联考期末）已知函数 在区间 上
有且只有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 得，则 ，
所以由题意可得， ，解得 ，故选：D
【变式8-4】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数 ， ，若函数 在
上存在最大值，但不存在最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 ，则 ，
又因为 ，函数 在 上存在最大值，但不存在最小值，
所以当 ，即 时，
只需满足 ，此时 ，当 ，即 时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，
则 ，此时 ，
综上， ，即 的取值范围是 .故选：D
【题型9 三角函数零点综合】
【例9】（2024·全国·模拟预测）函数 与函数 的图象所有交点的横坐标
之和为 ．
【答案】10
【解析】因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ．
所以函数 的图象关于直线 对称，且 的最大值为2．
由于 的图象和 的图象都关于直线 对称，
所以先考虑两个图象在 上的情形，
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减．
易知 ， ，
所以可作出函数 与 的大致图象如图所示，所以 的图象和 的图象在 上有5个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线 对称，
因此所有交点的横坐标之和为 ．
【变式9-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 在 上有两个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上有2个零点，
所以 ，解得 ，
即 的取值范围是 ，故选：C.
【变式9-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）将函数 的图象向右平移 个单位后得到
函数 的图象.若 在 上恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
由题意得 ，故当 时， ，
显然当 ，即 为 的一个零点，
要想 在 上恰有三个不同的零点，
若 ，解得 ，若 ，无解，
若 ，无解，故选：A
【变式9-3】（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知函数 （其中 ）在区间
上恰有4个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
又函数 在区间 上恰有4个零点，
， ， 的取值范围是 .故选：A.
【变式9-4】（2024·辽宁·高三校联考期末）（多选）已知函数 恰
有5个零点，则 的值可能为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】BC
【解析】由 ，得 .
函数 在 上的零点个数为2，
又因为函数 恰有5个零点，
所以函数 在 上的零点个数为3.
由 ，得 ，则 ，解得 ，故选：BC
【题型10 三角函数图象性质综合】
【例10】（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）（多选）已知函数 的部分
图像如图所示，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上有4个零点
C． D．将 的图象向右平移 个单位，可得 的图象
【答案】ABC
【解析】由图知， ，所以 或 ，
又 ，所以 ，所以 ，又因为图象过 ，
且为下降零点，所以 ， ，故 ,
结合图象 ，即 ，所以 ，所以 ，
对于A选项，当 ， ，
结合正弦函数图像可知， 在 上单调递增，故A正确；
对于B选项，当 时， ，其中 ，
结合正弦函数图像可知， 在 上有4个零点，故B正确；
对于C选项，当 时，即 ，即 或
，
结合图象可知， ，所以 ，故C正确；
对于D选项，将 的图象向右平移 个单位，得 ，而 ，故D错误，故选：ABC.
【变式10-1】（2024·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数 （其
中 ， ， ）的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象．
（1）求 与 的解析式；
（2）令 ，求 在区间 内的所有实数解的和．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）设函数 的最小正周期为 ，
因为 ，由函数可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
将 代入解析式，得 ，故 ，
因为 ，所以 ， ，
故 ，解得 ，故 ，
的图象向右平移 个单位长度，得到 ；
（2）
，
令 得 ，即 ，当 时， ，令 ，
画出 在 的函数图象，如下：
共有4个解，其中 ，
即 ，解得 ，
.
【变式10-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）函数 的部分图象
如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐
标不变，得到函数 的图象，求函数 在 上的值域.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）观察图象可得 ，函数 的周期 ，解得 ，
即 ，
由 ，得 ，即 ， ，而 ，则 ，
所以函数 的解析式是 .
（2）将 的图象向左平移 个单位长度，
可得到函数 的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，
得到函数 的图象，则 ，
当 时， ，则 ，所以 ，
因此 在 上的值域为 .
【变式10-3】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数
的最小值为 ，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且
图象关于点 对称．
（1）求函数 的解析式和单调递增区间；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，单调递增区间为 ；（2）
【解析】（1）由题知： ，函数 的最小正周期 ，
故 ，解得 ，
所以 ，则 ，即 ，
， ，
∵ ，∴ ，
故 ，令 ，解得 ，
故函数 的单调递增区间是 ；
（2）因为 ，所以 ，
故 ， ，所以 ，
∵不等式 在 上恒成立，
，即 在 上恒成立，
，解得 ，
即实数 的取值范围是 ．
【变式10-4】（2024·吉林白城·高三校考阶段练习）已知函数
为奇函数，且 图象的相邻两条对称轴间的距
离为 .
（1）求 的解析式与单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，当 时，求方程 的所有根的和.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）由题意可得：
因为 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，
所以 的最小正周期为 ，即可得 ，
又 为奇函数，则 ，
又 ，所以 ，故 .令 ，得 ，
所以函数 的递减区间为 .
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，
再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，
又 ，则 或 ，
即 或 .
令 ，当 时， ，
画出 的图象如图所示：
的两个根 对应的点 关于直线 对称，即 ，
有 ，
在 上有两个不同的根 ，
所以 ；
又 的根为 ，
所以方程 在 内所有根的和为 .
（建议用时：60分钟）1．（2023·北京延庆·高三北京市延庆区第一中学校考阶段练习）设函数 ，则下列结论正确
的是（ )
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称
C． 的一个零点为 D． 的图象可以由 图像左移 得到
【答案】D
【解析】由 ，则其最小正周期为 ，A错误；
当 时， ，是对称中心，B错误；
，当 时， ，C错误；
的图象左移 ，即 ，
D正确，故选：D
2．（2022·全国·高三校联考专题练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
令 ，解得 ，
故 的单调递增区间为 ，故选：B.
3．（2024·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）函数 在
上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，当 时， ，
则 ，所以 在 上的值域为 ．故选：B4．（2024·云南昭通·统考模拟预测）函数 向左平移 个单位 得到 ，若
是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，在 中，向左平移 得到 ，所以 ，
因为 为偶函数，所以 ，
又因为 ，所以 ，故选：D.
5．（2023·青海·高三校联考阶段练习）将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函
数 的图象，若直线 是 图象的一条对称轴，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意 ，
因为直线 是 图象的一条对称轴，
所以 ，则 ，
对比选项可知当 时， ．故选：B．
6．（2023·福建福州·高三校联考期中）函数 的两个零点分别为 ，且 ，在
上 仅有两条对称轴，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 的两个零点为 ，且在 上仅有两条对称轴，
所以 ，又 且 ，得 .
由函数 的零点为 ，得 ，得 ，当 时， ，此时 .故选：A.
7．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数 满足
，且在 上单调，则 的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】由 ，得 的图象关于点 中心对称．
又且 在 上单调，且 ，
所以 在 上单调，所以 ，
即 ，所以 ．故选：B.
8．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）设函数 若存在
且 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨取 ，由 可得： ，
由 可得 ，
由图可取 要使存在 且 ，使得 ，
需使， ，解得 .故选：A.
9．（2023·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）若函数 在区间
上恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知 ，解得 ， ．
因为函数 在区间 上恰有两个零点，
所以 或
解得 或 ，即 ．故选：C.
10．（2023·江苏南京·高三期末）已知函数 在区间 上恰有两个最大值，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，
所以由题意得： ，解得 .故选：D.
11．（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）（多选）已知函数 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在区间 上单调递减
C． 是函数 图象的一条对称轴 D． 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【解析】函数
对于A， 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B，由 ，得 ，
从而 即 时， 单调递减，故B不正确；对于C， ，
所以 是函数 图象的一个对称轴，故C正确；
对于D， ，
所以 的图象关于点 对称，故D正确．故选：ACD．
12．（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 的最小正周期为
C． 存在零点 D． 存在极值点
【答案】BCD
【解析】对A，由 ，可得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
且 ，所以函数 为偶函数，A错误；
对B，因为函数 的最小正周期为 ，所以 的最小正周期为 ，B正确；
对C，令 ，即 ，
即 ，即 为函数 的零点，C正确；
对D，因为函数 在 单调递增， 单调递减，
所以函数 在 单调递增， 单调递减，
所以 为函数 的极大值点，D正确；故选:BCD.
13．（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考期中）（多选）已知 ，下列结论中正确
的有（ ）
A． 既是奇函数也是周期函数 B． 的最大值为
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 中心对称
【答案】ACD
【解析】对于A选项，函数 的定义域为 ，
，
，
所以，函数 既是奇函数也是周期函数，A对；对于B选项，令 ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，
由 ，可得 ；由 ，可得 或 ，
所以，函数 的减区间为 和 ，增区间为 ，
因为 ， ，所以，函数 的最大值为 ，B错；
对于C选项，因为 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，C对；
对于D选项，因为 ，
所以，函数 的图象关于点 对称，D对.故选：ACD.
14．（2023·安徽·高三校联考期末）（多选）已知函数 的部分图象如图
所示，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 的图象关于直线 对称 D． 为偶函数
【答案】AC
【解析】对于A选项，由图可知， ，
因为 ，则 ，所以， ，解得 ，A对；
对于B选项，由A选项可知， ，
当 时， ，所以，函数 在 上不单调，B错；
对于C选项，因为 ，所以， 的图象关于直线 对称，C对；
对于D选项， ，
所以， 是非奇非偶函数，D错.故选：AC.
15．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数 图象的相邻两条对称轴
之间的距离为 ，且关于点 对称，则 的值为 ．
【答案】
【解析】因为函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，
所以 ，则 ， ，
所以 ，又函数图象关于点 对称，
所以 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 .
16．（2024·山东临沂·高三统考期末）设函数 在区间 上的最大值为 ，最小值
为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】函数 的最小正周期为 ，由于 ，
则区间 的长度是周期的 ，
要使 取最小值，则 在 上不单调，
所以当区间 关于其对称轴对称时， 取得最小值，
其对称轴为 ，
所以当 时，函数 取得最值±4，不妨设 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以 的最小值为 .
17．（2024·江苏常州·高三校考期末）将余弦函数 的图象上所有点的纵坐标伸长到顶原来的
倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.若关于x的方程
在 内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】依题意， ，
则关于x的方程 可化为： ，
则关于x的方程 在 内有两个不同的解可转化为：函数 的图象与函
的图象在 上有两个交点.
由 可得： ，取 ,作出函数 在 上的图象.
由图，要使函数 的图象与其有两个交点，须使 ，即实数m的取值范围为 .
18．（2023·北京东城·高三北京五十五中校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调递增区间；（3）求函数 的最大值与最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 最大值为 ， 最小值
为 .
【解析】（1）由图知： 的最小正周期为
，
故 ，所以 ，
又 为 单调递减区间上的零点，
故 ，又 解得： .
又图象过(0，1)点，所以 ，解得 .
所以函数 的解析式为： .
（2）由（1）知
令 ，解得：
故函数 的单调递增区间为：
（3）
， 当 时， 最小值为 ；
当 时， 最大值为 ；
故： 最大值为 ， 最小值为 .
19．（2023·河南·高三校联考期中）设 ， ，已知函数 的图象在区间
内恰有4条对称轴，且函数 为偶函数．
（1）求 的值以及 的取值范围；（2）当 取得最大值时，将 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，再将所得图象向右平移
个单位长度，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的值域．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）依题意得 ，
因为 为偶函数，所以 ，故 ．
因为 ，所以 ， ．
令 ，则 ，
则 ，解得 ，
即 的取值范围为 ．
（2）依题意得 ，
将 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，
得到 的图象，
再将所得图象向右平移 个单位长度，得到 的图象．
当 时， ，
故 的值域为 ，
即 在区间 上的值域为 ．
20．（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）已知点 ， 是函数
图象上的任意两点， ，且当 时，
的最小值为 .
（1）求 的解析式；（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由题知， ，即 ，
又 ，所以 ，
因为 时， 的最小值为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
（2）当 时， ，
所以 ，所以 ，
令 ，则当 时， 恒成立，
等价于 时， 恒成立，
，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又当 时， ，所以
所以 ，即实数 的取值范围为 .
