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专练 08 解答题-提升
1．（2020·赣州市赣县第三中学高一期中）设集合 ， ．
（1）求 ；
（2）若集合 ，满足 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）求出集合 、 ，利用交集的定义可求得集合 ；
（2）求出集合 ，利用条件 可得出关于实数 的不等式，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】
（1）由题意，根据指数函数的运算性质，可得 ，
由对数函数的运算性质，可得 ，
所以 ；
（2）由题意，可得集合 ，
因为 ，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围 .
【点睛】
本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的单调性，正确求解集合 、是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．已知 ，
计算：（1） ； （2） .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）分子分母同除以 ，得到 ，代入 的值即可；
（2） ，分子分母同除以 ，得到 ，代入
的值即可.
【详解】
（1） .
（2） .
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，涉及到 ， 的齐次式的计算，考查学生转化与化归
的思想，是一道容易题.3．（2020·广东高一期末）已知函数 ，且 ．
（1）求 的解析式； （2）证明 在区间 上单调递减．
【答案】（1） （ ） （2）证明见解析
【分析】
（1）根据条件列方程组，解得 ， ，即得结果；
（2）根据单调性定义，作差变形，根据差的符号确定单调性.
【详解】
（1）由已知有 解得 ， ∴ （ ）
（2）证明：设任意 ，且 ，则
又 ，且 所以 ， ，
∴ ，即 ，所以 在 上单调递减．
【点睛】
本题考查函数解析式以及函数单调性定义，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.4．已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在 上为减函数，求满足不等式
的实数a的取值范围.
【答案】 或 .
【分析】
由幂函数的奇偶性和单调性求出 ，由 的单调性解不等式，注意分类讨论．
【详解】
由于幂函数 的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数，即m为奇数.又该函数在
上为减函数，因而 ，即 .
又 ，从而 .
故不等式 可化为 .
函数 的定义域为 ，且在 与 上均为减函数，因而
，或 ，或 ，解得a的取值范围为 或 .
【点睛】
本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．
5．（2020·福建高一期中）对于函数 ，若满足 ( 为常数)成立的 取值范围所构成的集合称为函数 的“ 倍集合”，已知二次函数
（1）当 时，求函数 的“ 倍集合”；
（2）若 ，求关于 的不等式 的解集.
【答案】（1） 或 ；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据题意可得 ，解一元二次不等式即可求解.
（2）不等式化为 ，讨论 与 的大小，根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
（1）当 时，
则 ，所以 ，解得 或
所以函数 的“ 倍集合” 或
（2）由 得 ，所以
所以 ，因为
所以当 时， ，原不等式解集为 或 ，当 时， ，原不等式解集为R
当 时， ，原不等式解集为 或 ，
综上所述：当 时，原不等式解集为 或 ，，
当 时，原不等式解集为R.
当 时，原不等式解集为 或 .
6．（1）已知 ，求 的解析式。
（2）已知 是一次函数，且满足 ．求 ．
（3）已知 满足 ，求 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）利用换元法，令 ，代入解析式得到关于 的表达式，进而得到 的解析式；
（2）利用待定系数法，设 ，根据条件列出关于 的方程，即可求得答案；
（3）利用解方程组法，即写出关于 的方程组，从而求得 的解析式．【详解】
（1）令 ，
因为 ，
所以 ，即 .
（2）设 ，则 ，
，
， ， ； ．
（3） ①
将①中 换成 ，得 ②
① ②得 ． ．
【点睛】
本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查换元法，配凑法，待定系数法，方程组法求解析式，考查方
程思想的运用．
7．（2019·郑州市第五中学高一期中）某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资1200万元，
每个项目至少要投资300万元.根据市场分析预测：甲项目的收益 与投入 满足 ，乙项目的收益 与投入 满足 .设甲项目的投入为 .
（1）求两个项目的总收益关于 的函数 .
（2）如何安排甲、乙两个项目的投资，才能使总收益最大？最大总收益为多少？（注：收益与投入的单
位都为“万元”）
【答案】（1） ；（2）甲项目投资500万元，乙项目投资700万
元时，总收益最大，最大总收益为360万元.
【分析】
（1）根据题意，列出函数解析式，再根据题目要求，求解定义域；
（2）将函数进行还原，转化为求解二次函数的最大值问题.
【详解】
（1）由题知，甲项目投资 万元，乙项目投资 万元.
所以 .整理得：
依题意得 解得 .故 .
（2）令 ，则 .
.
当 ，即 时， 的最大值为360.所以当甲项目投资500万元，乙项目投资700万元时，
总收益最大，最大总收益为360万元.
【点睛】
本题考查函数模型的应用，涉及二次函数最大值问题，属函数应用基础题.
8．（2018·江西南康中学高一期中）计算：（1） ；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）直接利用有理指数幂的运算性质求解；
（2）直接利用对数的运算性质求解．
【详解】
解：（1）
；
（2）由 ，得 ，
．【点睛】
本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础题．
9．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 其中 且 .
（1）求 的值；（2）求 时， 的解析式.
【答案】(1)0；(2) .
【分析】
（1）利用 为奇函数，便可得出 ；
（2）可设 ，从而 ，这样根据条件便可得到 ，从而可以求出 时
的 的解析式．
【详解】
（1）因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，所以 ；
（2）已知当 时， ，当 时，则 ，有 ，
由 是奇函数，得 ，得 ，所以 .
【点睛】
本题考查奇函数的定义，以及对于奇函数，已知一区间上的函数解析式，而求其对称区间上解析式的方法
和过程，属于基础题．
10．（2020·浙江学军中学高一月考）设集合 ， .（1）若 ，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；
【分析】
（1）由集合描述求集合 、 ，根据集合交运算求 ；（2）由充分不必要条件知 ⫋ ，即可求m
的取值范围.
【详解】
，
（1） 时， ，
∴ ；
（2）“ ”是“ ”的充分不必要条件，即 ⫋ ，
又 且 ，
∴ ，解得 ；
【点睛】
本题考查了集合的基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属于基础题.
11．（2020·四川高三月考（理））已知 ，且（1）证明：
（2）若 恒成立，求 的取值范围
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】
（1）利用基本不等式即可证出.
（2）利用基本不等式求出 的最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解.
【详解】
解：（1）
（2）由 ，得
所以 恒成立
当 时， 故
当 时， 解得 ，故
当 时，解得 ，故 ，故综上可知：
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值、解绝对值不等式，属于基础题.
12．已知函数 （ ）.
（Ⅰ）用定义法证明；函数 在区间 上单调递增；
（Ⅱ）若对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）根据单调性定义证明；
（Ⅱ）确定函数为奇函数，这样可得到函数在 上的单调性，从而可求得 在 上的最小
值，得 的范围．
【详解】
（Ⅰ）任取 、 ，且 ，
.
因为 ，
所以 ， ， ，所以 ，即 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递增.
（Ⅱ）因为函数 的定义域是 ，
对定义域内的每一个 都有 ，所以函数 是奇函数.
由（Ⅰ）知函数 在区间 上单调递增，所以函数 在区间 上单调递增，
所以函数 在区间 上单调递增.所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查用定义证明函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题．难度较小，属于中档
题．
13．设函数 ，其中 为实数
（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；
（2）当 时，求 的最小值
【答案】（1） ；（2）1【分析】
（1） 的定义域为 等价于 恒成立，即 ；
（2）当 时，令 ， ，借助对勾函数的单调性求最值即可.
【详解】
解：（1）∵ 的定义域为 ，∴ 恒成立，
∴ ，∴ ；
（2）当 时， ，令 ，
则 ，
又 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的最小值为 ，
即 的最小值为1.
【点睛】
本题考查函数的定义域与最值，考查“三个二次”的关系，考查对勾函数的单调性，属于中档题.
14．（2020·无锡市第一中学高一期中）已知 ， ，且 ．（1）求 的最小值；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）9；（2）(－8，2)．
【分析】
（1） ，利用基本不等式性质即可求得最小值．
（2）利用基本不等式求出 的最小值，代入 求出 的范围即可．
【详解】
解：（1）因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 的最小值为9．
（2）因为 ， ，所以 ，所以 ．
因为 恒成立，所以 ，
解得 ，所以 的取值范围为 ．
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值问题，属于基础题．
15．（2019·东台创新高级中学高二月考）设函数（1）若对一切实数x， 恒成立，求m的取值范围；
（2）若对于 ， 恒成立，求m的取值范围：
【答案】（1） .（2）
【分析】
（1）对 进行分类讨论，利用判别式进行求解；
（2）利用参数分离得到 对 恒成立，利用二次函数的性质求得 的
值域即可.
【详解】
（1） 对 恒成立，
若 ，显然成立，
若 ，则 ，解得 .
所以， .
（2）对于 ， 恒成立，即 对 恒成立
对 恒成立∴ 对 恒成立，
即求 在 的最小值，的对称轴为 ，
， ， ，
可得 即 .
【点睛】
本题考查一元二次函数的图象与性质、不等式恒成立问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注
意参变分离法的应用.
16．（2020·河南南阳中学高一月考）根据下列条件，求 的解析式.
（1） ，其中 为一次函数；
（2） .
【答案】（1） 或 ；（2） .
【分析】
（1）由题意，设 ，根据题中条件，列出方程组求解，得出系数，即可求出解析式；
（2）根据原式，将原式中的 与 互换，得 ，两式联立求解，即可得出结果.
【详解】（1）由题意，设 ，
则 ，
由恒等式性质，得 ， 或 .
∴所求函数解析式 或 .
（2）解：因为 ，将原式中的 与 互换，得 .
于是得关于 的方程组 .解得 .
17． 已知函数f(x)=x +2ax+2, x .
(1)当a=-1时，求函数的最大值和最小值；
(2) 若y=f(x)在区间 上是单调 函数，求实数 a的取值范围.
【答案】（1）最大值37, 最小值1 ； (2)a 或a
【解析】
（１）因为对称轴为x=1,所以当x=-5时，f(x)取最大值；当x=1时，f(x)取最小值.
(2)因为二次函数对称轴一侧的区间为单调区间，因而可得 可得a的取值范围.
18．（2020·沈阳市第一二〇中学高一月考）已知定义在 上的函数 ，对任意x、都有 ．
（1）求 的值；（2）若 在 上单调递增，
①求证： 在 上单调递增；
②如果 ，解关于x的不等式 ．
【答案】（1）0；（2）①证明见解析；② ．
【分析】
（1）令 ，利用赋值法即可求解.
（2）①根据题意可得 时， ，设 ， ，且 ，利用函数单调性的定义结合
即可证明；②利用赋值法求出 ，将不等式化为 ，再
由①的单调性即可求解.
【详解】
解：（1） ．
令 ，得 ，则 ；
（2）①若 在 上单调递增，且 ， 当 时， ，
设 ， ，且 ，则 ，则 ，，
即 ， 在 上的是增函数；
②若 ，则 ，
则不等式 等价为 ．即 ．
由①知函数在 上为增函数，则不等式等价为
即 ，解得 ，即不等式的解集为
【点睛】
本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性的定义和性质是解决本题的关键，属于中档题．
19．（2020·天津市第二南开中学高三月考）已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值；
（3）若函数 在 上有两个不同的零点，求实数k的取值范围.【答案】（1） ；（2）最大值为2，最小值为 ；（3） .
【分析】
（1）先利用二倍角公式和辅助角公式对函数化简，再利用周期公式可求出周期；
（2）由 得 ，再结合正弦函数的图像和性质可求出函数的最值；
（3）由函数 在 上单调递增， ，在 上单调递减， ，从
而可求出实数k的取值范围.
【详解】
（1）由 ，
得 的最小正周期为 .
（2）因为 ，所以 ，所以 .
从而 .所以，当 ，即 时， 的最大值为2；
当 ，即 时， 的最小值为 .
（3）由 ，得 ，而函数 在 上单调递增，，在 上单调递减， ，
所以若函数 在 上有两个不同的零点，则 .
【点睛】
此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查正弦函数图像和性质的应用，属于基础题
20．已知函数 的图象过点 .
（1）不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）函数 ， ，若实数 ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）先由函数 过点 ，求出 ，得到 ，由题意，得到
恒成立，求出 的值域，即可得出结果；
（2）先由（1）得到 ，令 ，根据题意，得到 ， ，分别讨论 ， 两种情况，即可求出结果.
【详解】
（1）∵ 的图像过点 ，
∴ ，∴ ，∴ .
∴ 恒成立即 恒成立.
而 在 上单增，所以 ，因此只需 ；
（2）由（1）得 ，令 ，
∵ ，∴ ，∴ ， ， ，
①当 ，即 时，函数 ；
②当 ，即 时， ，
综上： .
【点睛】本题主要考查由对数型不等式恒成立求参数的问题，考查求含对数的二次函数的最值，属于常考题型.
