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专题4-1 幂函数与指数函数13 类题型总结
【题型1】分数型指数幂的取值范围问题
【题型2】二重根式的化简
【题型3】求函数解析式
【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值
【题型5】 大致图象的判断及利用图形性质求参数范围
【题型6】指数幂比大小
【题型7】指数幂结合基本不等式求最值
【题型8】指数函数的实际应用
【题型9】指数型函数的奇偶函数模型
【题型10】指数型函数的值域问题
【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题
【题型12】指数型复合函数单调性
【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合
【题型1】分数型指数幂的取值范围问题
一、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂
不可理解为
个
相乘，它是根式的一
种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式
化成分数指数幂的形式时，不要轻易对
进行约分．
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如
有意义，但
就没有意义．
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
二、分数指数幂的意义
（1）分数指数幂的意义
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
（3）性质：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义
1．函数
的定义域为_________.
【巩固练习1】函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】函数
的定义域为______.
【题型2】二重根式的化简
二重根式化简，在高中的三角函数、解三角形中却频频出现!
，要化简
，则
2．求值
_______．
3．化简
________.
【巩固练习1】化简
（ ）
A．
B．
C．2 D．
【巩固练习2】化简下列根式：
（1）
（2）
（3）
【巩固练习3】化简
=_________.
【题型3】求函数解析式
一、指数函数图象都经过点
，指数型函数
恒过定点
．
二、所有的幂函数图象都过点(1,1)
三、若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形
式.记
，
，则
.
4．已知
是指数函数，若
，则
___________.
5．已知函数
，若
为偶函数，且在
是增函数，求
的解析式
6．知幂函数
在
为减函数，则
___________.
7．若奇函数
和偶函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知指数函数
在
上单调递增，则
的值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【巩固练习2】如果函数
和
都是指数函数，则
（ ）
A．
B．1
C．9
D．8
【巩固练习3】已知函数
是奇函数，且当
时，
，那么当
时，
的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
实数指数幂的运算性质
①
．
②
．
③
．
8．已知
，则
______．
9．（1）化简：
（2）已知
，分别求
的值.
10．化简或求值：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
（
且
）.
11．已知
，
，且
，则
______．
【巩固练习1】已知
＝5，则
的值为_________．
【巩固练习2】已知
，求下列各式的值.
（1）
； （2）
； （3）
.
【巩固练习3】若
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】（1）计算：
；
（2）计算：
；
（3）已知
，求
的值．
【巩固练习5】已知
，求：
(1)
(2)
.
【题型5】大致图象的判断及利用图形性质求参数范围
一、幂函数
（1）幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，
，
的图象(如图)．
幂函数的性质
1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增（重要）；
3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于
原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；
4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．
二、指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
第1 象限底大图高
性质
定义域
R
值域
(0,+∞)
过定点
(0,1)
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
12．函数①
；②
；③
；④
的图象如图所示，a，b，c，d 分别是下列四个数：
，
，
，
中的一个，则a，b，c，d 的值分别是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
13．幂函数
在第一象限的图像如图所示，则
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．若函数
的图象不经过第一象限，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．若函数
的图象如图所示，且
，则实数
，
的值可能为
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
16．在同一坐标系内，函数
和
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（多选）已知函数
（
且
）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】如图，曲线①②③④分别是指数函数
，
，
，
的图像，则实
数a、b、c、d 的大小关系满足（ ）
A．
B．
C．
； D．
．
【巩固练习2】图中C1、C2、C3为三个幂函数
在第一象限内的图象，则解析式中指数
的值
依次可以是（ ）
A．
、、
B．
、、
C．
、
、 D．
、
、
【巩固练习3】函数
的图像如图所示，其中
为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【巩固练习4】（多选）若函数
的图象过第一，三，四象限，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】（多选）在同一直角坐标系中，函数
的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6】指数幂比大小
比较指数幂的大小
常用方法有：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来
比较．
18．若
，则a､b､c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．设
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．已知函数
是定义域为R 的偶函数，且在
上单调递减，若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）.
A．
B．
C．
D．
22．已知函数
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．设
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】定义在R 上的偶函数
对
都有
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】已知偶函数
在
上单调递增，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】已知奇函数
在R 上是增函数，
．若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型7】指数幂结合基本不等式求最值
指数幂结合基本不等式求最值是一类常见的数学问题，通常涉及到指数函数、幂函数以及基本不等
式的应用，通过变形和转换，将指数幂表达式转化为可应用不等式的形式，从而求得表达式的最大
值或最小值。
24．已知
，
，若
，则
的最小值为
25．（23-24 高一上·浙江温州·期中）若正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．27
B．81
C．6
D．9
26．已知正数m，n 满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．5
C．8
D．9
【巩固练习1】（23-24 高一上·广东深圳·期中）若正数
满足
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．12
D．16
【巩固练习2】已知
，求
的最小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．12
【巩固练习3】已知正数
满足
，则
的最小值为 .
【题型8】指数函数的实际应用
1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质
的衰变等。
2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。
指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。
27．人工放射性核素碘-131 可发射
射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8 天，设质量为
的
碘-131 经过
天后剩留的质量为
，则
关于
的函数解析式是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
28．当生物死亡后，它机体内原有的碳14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N
年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14 原有初
始质量为Q，该生物体内碳14 所剩质量y 与死亡年数x 的函数关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以
的增长率呈指数增长，已知经过
天以后，该湖泊
的蓝藻数大约为原来的
倍，那么经过
天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ）
A．18 倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
30．某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100 年后只剩原来的一半，现有这
种元素1 克，3 年后剩下（ ）
A．0.015 克 B．
克 C．0.925 克
D．
克
31．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR
中档题型
模块二
法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增过程中的靶标DNA 进行实时检测．已知
被标靶的DNA 在PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加
．若被测标本DNA 扩
增5 次后，数量变为原来的10 倍，则p 的值约为（ ）．（参考数据：
，
）
A．36.9
B．41.5
C．58.5
D．63.1
32．友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量
（毫
克/每立方米）与时间
（小时）成正比
；药物释放完毕后（此时药物含量
），
与
满足关系
（
为常数，
）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到
毫克
以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（ ）分钟进行消毒工作.
A．50
B．
C．
D．
33．放射性核素锶89 的质量M 会按某个衰减率衰减，设初始质量为
，质量M 与时间t（单位：
天）的函数关系为
（其中h 为常数），若锶89 的半衰期（质量衰减一半所用的
时间）约为50 天，那么质量为
的锶89 经过30 天衰减后质量大约变为（ ）（参考数据
）
A．0.72
B．0.70
C．0.68
D．0.66
【巩固练习1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近
年内减少了
，如果按此
速度，设2022 年的冬季冰雪覆盖面积为
，从2022 年起，经过
年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积
与
的函数关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】心理学家有时用函数
来测定人们在时间
内能够记忆的单词
量
，其中
表示记忆率.心理学家测定某学生在
内能够记忆50 个单词，则该学生在
从能记忆的单词个数为（ ）
A．150
B．128
C．122
D．61
【巩固练习3】（23-24 高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，
根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以
的增长率生长.若经过
周后，该植物的长
度是原来的
倍，则再经过
周，该植物的长度大约是原来的（ ）
A．
倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
【巩固练习4】（重庆·高一重庆巴蜀中学校考）已知某种果蔬的有效保鲜时间
（单位：小时）与
储藏温度
（单位：
）近似满足函数关系
（
，
为常数，为自然对数底数），若该
果蔬在
的保鲜时间为216 小时，在
的有效保鲜时间为8 小时，那么在
时，该果蔬的有
效保鲜时间大约为 小时.
【巩固练习5】（23-24 高二下·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减
情况，这个时间被称做半衰期，记为
（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半
衰期分别为
．开始记录时，这两种物质的质量相等，512 天后测量发现乙的质量为甲的质量的
，则
满足的关系式为________
【题型9】指数型函数的奇偶函数模型
一、常见奇偶性函数模型
奇函数：函数①：
或函数
．
函数②：
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：函数①
．
函数②：
类型的一切函数．
③若
为奇函数，则
为偶函数
二、运算函数的奇偶性规律：
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；（加减要同性）
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.（同性为偶，异性为奇）
三、复合函数奇偶性
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
34．已知函数
为定义在R 上的奇函数，求实数m，n 的值.
35．函数
为偶函数，则实数
的值为 .
36．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
37．已知函数
是奇函数，若
，则实数a 的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【巩固练习1】已知函数
是定义在
上的奇函数，求实数
的值.
【巩固练习2】函数
的部分图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知定义域为
的函数
是奇函数，求
，
的值.
【巩固练习4】若
为奇函数，则
（ ）
A．1
B．0
C．
D．
【题型10】指数型函数的值域问题
解决步骤
第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．
第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．
第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域．
38．函数
，
的值域是( )
A．
B．
C．
D．
39．已知函数
，
，则函数
的值域为（ ）．
A．
B．
C．
D．
40．若不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】函数
在
上的值域为___________.
【巩固练习2】若对任意的
，都有
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】若
，不等式
恒成立，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题
简单指数不等式的解法
1、形如
的不等式，可借助
的单调性求解
2、形如
的不等式，可将
化为以
为底数的指数幂的形式，再借助
的单调性求解
3、形如
的不等式，可借助两函数
，
的图象求解
41．若x 满足不等式
，则函数
的值域是（ ）
A．[ 1
8
，2) B．[ 1
8
，2] C．(−∞，1
8
] D．[2，+∞)
42．已知不等式
对任意实数
恒成立，则
的取值范围是 .
43．已知函数
，则不等式
的解集为______．
44．若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．[
，＋∞）
B．（－∞，
]
C．（
，
]
D．[
，
]
45．若
，求a 的取值范围.
46．已知函数
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知函数
，则不等式
的解集为( )
A.
B.
C.
D.
【巩固练习2】不等式
的解集是______．
【巩固练习3】若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】已知函数
，若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】若对任意的
，使得不等式
恒成立，则实数
的取值范
围为 ．
【巩固练习6】不等式
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型12】指数型复合函数单调性
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
47．函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
48．函数
的单调递增区间为________
49．函数
的单调递增区间是_________．
50．已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是______．
51．设函数
在区间(0,1)单增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
52．设函数
（
且
）在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】函数
的单调递增区间是_________．
【巩固练习4】设函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】（重庆巴蜀中学高一校考）已知函数
在
上单调递
增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习6】设函数
且
在区间(0,2)上单调递减，则
的取值范围是( ).
A．(1,+∞)
B．
C．(0,1)
D．(1,4)
【巩固练习7】（23-24 高一上·福建福州·期末）设函数
（
且
）在区间
(1,+∞)上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．(
1
2 ,1)
D．
【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合
1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象，再利用数形结合的方法来解决．
2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内
层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规
律求解．
53．已知函数
是R 上的奇函数.
(1)求m 的值；(2)比较
与0 的大小，并说明理由.
54．已知函数
为奇函数.
(1)求
的值，并用函数单调性的定义证明函数
在
上是增函数；
(2)求不等式
的解集.
55．已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求实数
的值；(2)判断函数
的单调性，并用定义加以证明；
(3)若对任意的
，不等式
成立，求实数
的取值范围.
56．已知
，
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且满足
．若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
57．已知函数
，则
的解集为 ．
58．已知定义在
上的函数
，满足不等式
，
则
的取值范围是 ．
【巩固练习1】函数
为奇函数.
(1)求
的值;(2)判断
的增减性，并证明.
【巩固练习2】已知函数
是定义在R 上的奇函数
．
(1)求
的解析式；(2)求当
时，函数
的值域．
【巩固练习3】已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求
，
的值；(2)若存在
，使
成立，求
的取值范围．
【巩固练习4】已知函数
.若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】（多选）已知函数f ( x)=|2
x−1|，当
时，有
．给出以下
命题，则正确命题的有（ ）
A．
B．
C．
D．
B．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群
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永不过期
C．
