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第六讲：基本初等函数
【考点梳理】
1．幂函数的概念
一般地，形如 ( )的函数称为幂函数，其中底数 为自变量， 为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
在 上 单 调 递
在 上单 在 上单 在 上单 在 和
单调性 减；在 上单调
调递增 调递增 调递增 上单调递减
递增
过定点 过定点 过定点
3．常用结论
(1)幂函数在 上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点 .
(3)当 时，幂函数的图象均过定点 ，且在 上单调递增.
(4)当 时，幂函数的图象均过定点 ，且在 上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
4.根式的概念及性质
（1）概念：式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数．（2）性质：
① ( 且 )；
②当 为奇数时， ；当 为偶数时，
5.分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
②正数的负分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
6.指数幂的运算性质
① ；
② ；
③ .
7.指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数 ( ，且 )叫做指数函数，其中指数 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）指数函数 的图象和性质
底数
图象
定义域为 ，值域为
图象过定点
当 时，恒有
性质 当 时，恒有 ；
；
当 时，恒有
当 时，恒有
在定义域 上为增函数 在定义域 上为减函数
指数函数 ( ，且 )的图象和性质与 的取值有关，应分
注意
与 来研究
8.对数的概念（1）对数：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，
其中 叫做对数的底数， 叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的
对数 .
（3）对数式与指数式的互化： .
9.对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数 具有以下性质：
①负数和零没有对数，即 ；
②1的对数等于0，即 ；
③底数的对数等于1，即 ；
④对数恒等式 .
（2）对数的运算性质
如果 ，那么：
① ；
② ；
③ .
（3）对数的换底公式
对数的换底公式： .
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成
什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以 为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
① ；
② ；
③ (其中 ， ， 均大于0且不等于1， ).
10.对数函数及其性质（1）对数函数的定义
形如 ( ，且 )的函数叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）对数函数的图象与性质
图象
定义域：
值域：
性质
过点 ，即当 时，
在 上是单调增函数 在 上是单调减函数
【典型题型讲解】
考点一：幂函数的定义及其图像
【典例例题】
例1．幂函数 在 上为增函数，则实数 的值为（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
例2．已知幂函数 （p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则
（ ）
A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且
【方法技巧与总结】
1.5种特殊幂函数的图像及其性质；
2.幂函数的单调性及奇偶性的性质判断方法.【变式训练】
1．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上
述条件的幂函数可以为 ______．
2.已知幂函数 （ ）的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，则 的值
为______.
3.如图是幂函数 （αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α＝3，α＝2，α＝1，
1 2 3
， ，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
4.已知函数 ，若关于 的方程 有两个不同的实根， 则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
考点二：指数与指数幂的运算
【典例例题】
例1．化简：
（1）（2） (a>0，b>0).
（3） .
【方法技巧与总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如 ， ， 的形式常用“化同底”转化，再利用指
数函数单调性解决；
【变式训练】
1． =（ ）
A．2 B．1 C．3 D．0
2.甲､乙两人解关于x的方程 ，甲写错了常数b，得到的根为 或x= ，乙写错了
常数c，得到的根为 或 ，则原方程的根是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
考点三：指数函数的图像及性质
【典例例题】
例1.函数 恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2.已知 为定义在R上的奇函数， ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
1、指数函数的解析式具有单一性；
2、指数函数的单调性和图像与底数有关系.
【变式训练】
1.函数 ，下列关于函数 的说法错误的是（ ）
A．函数 的图象关于原点对称 B．函数 的值域为
C．不等式 的解集是 D． 是增函数
2.函数 图象过定点 ，点 在直线 上，则 最小值为___________.
3.已知定义在R上的函数 满足：① ；② ；③在 上的解析式
为 ，则函数 与函数 的图象在区间 上的交点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022·北京·二模）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数 ，则______．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
，则 ______．
7．已知函数 ，则不等式 的解集为___________.
8．设函数 ，若 是函数 的最大值，则实数 的取值范围为_______．
考点四：对数概念与对数运算
【典例例题】
例1.（1）计算 ；
（2）已知 ，求实数x的值；
（3）若 ， ，用a，b，表示 ．
【方法技巧与总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同
底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.
【变式训练】
1.（1）求 的值.
（2）已知 ， ，试用 ， 表示2．（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信
号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数
中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至5000，则C大约增
加了（ ）（附： ）
A．20% B．23% C．28% D．50%
3．（2022·广东韶关·一模）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质
量约是原来的 ，估计经过多少年，该物质剩留的是原来的 ？（ ）
（参考数据： ）
A．16 B．17 C．18 D．19
4．（2022·广东·金山中学高三期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生
物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳
日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教
室内二氧化碳的浓度为 %，且 随时间 （单位：分钟）的变化规律可以用函数 描
述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）
（参考数据 ）
A．11分钟 B．14分钟
C．15分钟 D．20分钟
考点五：对数函数的图像及性质
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）已知函数 （ ， ），则 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·广东珠海·高三期末）设 ， ， ，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1、对数的函数的图像画法，定点问题；
2、对数函数的图像及性质应用.
【变式训练】
1．（2022·广东茂名·一模）已知 均为大于0的实数，且 ，则 大小关系正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·广东茂名·一模）已知函数 ，若 均不相等，且
，则 的取值范围是___________
3．（2022·广东湛江·一模）已知函数 ， ，用 表示m，n中的最小值，
设函数 ，若 恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.
4.己知实数 ，且 ，则（ ）A． B． C． D．
5.（多选题）已知函数 （ 且 ）的图象如下所示．函数 的图
象上有两个不同的点 ， ，则（ ）
A． ， B． 在 上是奇函数
C． 在 上是单调递增函数 D．当 时，
6.（2022·广东·三模）已知 ，e是自然对数的底，若 ，则 的取值可以是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【巩固练习】
1．已知函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 是单调递增 B．是奇函数，且在 是单调递增
C．是偶函数，且在 是单调递减 D．是奇函数，且在 是单调递减
2．1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了
一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的 次幂成正比，即 ，其中F为基础代谢
率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数
据： ）（ ）A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍
3．已知函数 ，且 ，则 （ ）
A．26 B．16 C．－16 D．－26
4．若函数 的零点为 ，则 （ ）．
A． B．1 C． D．2
5．已知函数 满足：对任意 ， ．当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．关于函数 和实数 的下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7．区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密
码一共有 种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行 次运算.现在有一台计算机，每秒
能进行 次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据， ）（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ， ，其中 且 ， 且 ，若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C．2 D．3
9．已知正实数x，y，z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
12．下列函数中，存在实数a，使函数 为奇函数的是（ ）A． B．
C． D．
13．已知函数 ，若存在三个实数，使得 ，则
（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
三、填空题
14． ___________.
15．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：① ；② 在 上单
调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.
16．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围为___________.
17．已知函数 为奇函数，且对定义域内的任意x都有 ．当 时，
．给出以下4个结论：
①函数 的图象关于点 成中心对称；
②函数 是以2为周期的周期函数；
③当 时， ；
④函数 在 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．
