专题4-2 对数与对数函数15 类题型汇总
【题型1】对数运算........................................................................................................................2
【题型2】指数式与对数式的相互转化........................................................................................5
【题型3】换底公式的应用............................................................................................................8
【热考题型1】用已知对数表示其他对数............................................................................8
【热考题型2】利用换底公式证明等式恒等......................................................................10
【题型4】对数函数函数的概念与图象......................................................................................11
【热考题型1】对数函数的概念..........................................................................................11
【热考题型2】对数函数过定点问题..................................................................................12
【热考题型3】对数函数的图象性质..................................................................................14
【题型5】解对数方程..................................................................................................................18
【热考题型1】常规对数方程..............................................................................................19
【热考题型2】对数型嵌套函数方程..................................................................................19
【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题..................................................................................22
【题型7】对数相关函数图像的识别..........................................................................................29
【题型8】对数型复合函数的值域问题......................................................................................33
【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求值域......................................................33
【热考题型2】已知对数型复合函数的值域求参数范围..................................................34
【题型9】比较大小......................................................................................................................38
【热考题型1】找中间数比较大小......................................................................................38
【热考题型2】结合单调性比大小......................................................................................40
【热考题型3】去“1”法比大小..........................................................................................41
【热考题型4】指对互化，换底公式比大小......................................................................42
【热考题型5】结合函数图形比大小..................................................................................46
【热考题型6】结合函数单调性与奇偶性比大小..............................................................49
【题型10】对数型复合函数的单调性........................................................................................52
【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求单调区间..............................................52
【热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数范围..............................................54
【题型11】解对数不等式.............................................................................................................57
【热考题型1】解对数型不等式..........................................................................................57
【热考题型2】结合函数性质解不等式..............................................................................58
【题型12】对数函数模型的实际应用........................................................................................65
【题型13】反函数对称性质的运用............................................................................................72
【题型14】等高线问题................................................................................................................77
【题型15】对数函数的综合问题................................................................................................86
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
【题型1】对数运算
1、对数计算公式
（1）同底对数加减运算：
；
（2）底数和真数是乘方数时：
（3）对数恒等式：
（4）倒数式：logab=
1
logba
1．计算：
(1)
：
(2)
．
【答案】(1)4,(2)3
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
2．计算：
(1)
，
(2)
.
【答案】(1)11;(2)2
【详解】（1）原式
.
（2 ）原式
.
3．化简
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．-1
【答案】A
【解析】
4．
____________
【答案】2
【解析】原式
.
5．已知函数
是定义在R 上的奇函数，且满足
. 若当
时，
，则
的值为_____.
【答案】
【分析】
根据题意，由奇函数的性质可得
，进而由对数的运算性质可得
，结合函数的解析式分析可得答案．
【详解】解：根据题意，函数
是定义在
上的奇函数，则
，则
又由
满足
，即
，
又由当
时，
，则
，
则
；故答案为：
．
【巩固练习1】计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)100
;
(2)12
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【巩固练习2】求值
；
【解答】
【巩固练习3】求值
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
；；（2）0；；（3）3；；（4）13
【解析】（1）原式=
;
（2）原式=
=
;
（3）原式=
;
（4）原式
.
【题型2】指数式与对数式的相互转化
对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最
简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真
数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：
(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算
中应注意互化.
6．已知
，则
．
【答案】
【详解】由
，得
，而
，所以
.
7．已知
，则
．
【答案】3
【解析】依题意，
，
则
．
8．若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指对互化的运算可得
，利用对数的换底公式和对数的运算性质的应
用即可求解.
【详解】由
，得
，
所以
.
9．设
，且
，则
（ ）
A．
B．10
C．100
D．1000
【答案】C
【详解】根据题意由
可得
，
所以
，
即可得
，即
.
【巩固练习1】若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得：
，得：
，
所以：
.故A 项正确.
故选：A.
【巩固练习2】设
，求
的值．
【解答】依题意有
，
，
，
【巩固练习3】已知
，则
．
【答案】
【详解】由
得：
，
，
，
，
.
【巩固练习4】
，则
的值（ ）
A.小于0 B.等于1 C.大于1 且小于2 D.等于2
【解答】
①对
进行转换，由题可得
，
②对
进行转换
，
则
=
【题型3】换底公式的应用
换底公式：logab=
logcb
logc a (a＞0，且a¿
1；c＞0，且c¿
1；b＞0)．
【热考题型1】用已知对数表示其他对数
10．已知
，
，则
（用
，
表示）
【答案】
【解答】解：因为
，
，
所以
，
，
，
所以
．
故答案为：
．
11．已知
，
，则
.（用
表示）
【答案】
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
.
12．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
中档题型
模块二
【解析】
.
【巩固练习1】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.故选：B
【巩固练习2】设
，
，
（1）用含
，
的式子表示
，形式为___________.
（2）用含
，
的式子表示
，形式为___________.
【答案】（1）
，（2）
【解析】（1）
；
（2）
【巩固练习3】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由换底公式得：
，
，
其中
，
，
故
【巩固练习4】（1）已知
，
，试用
表示
；
（2）已知
，
，试用
表示
．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）
，
，
，
，
；
（2）
，
，
．
【热考题型2】利用换底公式证明等式恒等
13．已知
，求证：
.
【答案】证明见解析.
【解析】设
(
)，
则
，
，
，
故
.
【巩固练习1】已知a，b，c 均为正数，且
，求证：
；
【答案】证明见解析
【解析】设
，则
.
∴
，
∴
，
而
，
∴
，得证.
【巩固练习2】设
，且
，求证：
【答案】证明见解析.
【解析】设
，
，则
，
，
.
因为
，所以
，
即
.
所以
，即
.
【题型4】对数函数函数的概念与图象
一、对数函数过定点(1，0)，即x＝1 时，y＝0；
函数
过定点
二、对数函数的图象（底大图低）
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1 时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1 时，y＜0；
当x＞1 时，y＞0
当0＜x＜1 时，y＞0；
当x＞1 时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、
平移、对称等变换得到，当
时，对数函数的图像呈上升趋势；当
时，对数函数的图
像呈下降趋势.
【热考题型1】对数函数的概念
14．(多选)下列说法正确的有（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何指数式都可以化成对数式
C．任何对数式都可以化成指数式
D．
【答案】AC
【解析】由对数的定义可知A,C 正确；
对于B
且
时，
才能化为对数式
对于D，
均为正数时才成立
故选：AC.
15．代数式
有意义时，求x 的取值范围．
【答案】
【解析】由题意可得
解得
．
【巩固练习1】已知函数
是对数函数，则
．
【答案】1
【详解】因为函数
是对数函数，则
，解得
．
【巩固练习2】使式子
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使式子
有意义，
则
，即
，解得
或
，
所以x 的取值范围是
.故选：D
【热考题型2】对数函数过定点问题
16．函数
(
且
)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为对数函数
(
且
)恒过定点
，
所以函数
(
且
)的图象必过定点
.
17．（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数
恒过定点
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】由题意可知
，
则
，
当且仅当
，
时，
的最小值为
【巩固练习1】已知函数f ( x)=1+ loga(2 x−3) (a>0,a≠1)恒过定点(m,n)，则m+n=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题思路】令2 x−3=1，即可求解f ( x)恒过定点(2,1)，进而求解.
【解答过程】令2 x−3=1，解得x =2，此时f (2)=1+ loga1=1，
所以f ( x)恒过定点(2,1)，则m=2,n=1，
所以m+n=3.
【巩固练习2】已知直线
经过函数
图象过的定点（其中
均大于
0），则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】因为
，所以函数
图象过的
定点为
，
将其代入直线方程
得
，即
，
又
，
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，故
有最小值4.
【巩固练习3】函数
（
且
）的图象恒过定点
，若
且
，
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
（
且
）的图象恒过定点
,所以
，
,
,当且仅当
，即
等号成立
【热考题型3】对数函数的图象性质
18．已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx 的大致图象如图所示，则下列
不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a
B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d
D．b＋d＜a＋c
【答案】A
【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A 正确，D 错误；又
a＋d 与b＋c 的大小不确定，故B，C 错误．故选A.
19．已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(0，
) C．(0，1] D．[1，+∞)
【答案】D
【解析】
的图象是由
的图象向左平移
个单位所得．
的图象过
点，函数为增函数，因此
．故选：D．
20．当
时，在同一平面直角坐标系中，函数
与
的图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意可将指数函数
化为
，由
可知
；
由指数函数图象性质可得
为单调递减，且过定点
，即可排除BC，
由对数函数图象性质可得
为单调递增，且过定点
，排除D
21．在同一平面直角坐标系中，函数
，
（
且
）的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据每个选项中函数
的单调性求出实数
的取值范围，再由函数
（
且
）的图象与
轴的交点，求出
的取值范围，观察
的范围能否一致，由此可得出合适
的选项.
【详解】对于A 选项，函数
为增函数，则
，可得
，
对于函数
，令
，可得
，
可得
，解得
，合乎题意；
对于B 选项，函数
为减函数，则
，可得
，
对于函数
，令
，可得
，
可得
，解得
，不合乎题意；
对于C 选项，函数
为减函数，则
，可得
，
对于函数
，令
，可得
，
可得
，可得
，不合乎题意；
对于D 选项，函数
为增函数，则
，可得
，
对于函数
，令
，可得
，
可得
，可得
，不合乎题意.
【巩固练习1】如图是对数函数
的图象，已知a 值取
，
，
，
，则相应的
，
，
，
的a 值依次是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】B
【解析】∵当
时，图象呈上升趋势；
当
时，图象呈下降趋势，
又当
时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；
时，a 越小，图象向右越靠近x 轴，
故
，
，
，
对应的a 值依次是
，
，
，
．故选：B
【巩固练习2】已知函数
（
且
，
，
为常数）的图象如图，则下列结
论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】因为函数
为减函数，所以
又因为函数图象与
轴的交点在正半轴，所以
，即
又因为函数图象与
轴有交点，所以
，所以
，故选：D
【巩固练习3】在同一平面直角坐标系中，函数
，
（
且
）的图象可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分
和
进行分类讨论判断即可.
【详解】当
时，
与
单调递增，A，B 均不符合题意；
当
时，
与
单调递减，
对于
，当
时
，C 不正确.
【巩固练习4】已知函数
（
且
）的图像如图所示，则以下说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图象可知
在定义域内单调递增，所以
，
令
，即
，
所以函数
的零点为
，结合函数图象可知
，所以
，
因此
，故A 错误；
，又因为
，所以
，因此
不一定成立，故B 错误；
因为
，即
，且
，所以
，故C 正确；
因为
，所以
，即
，故D 错误，故选：C.
【题型5】解对数方程
【方法技巧】
（1）对于形如
的形式，利用
转化；
对于形如
的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.
（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这
个不等式即可．
【热考题型1】常规对数方程
22．方程
的解为________
【答案】
【解析】方程
，化为：x
．
23．已知方程＝0 的两根为则＝（ ）
A．－ln12
B．2ln2﹒ln3
C．
D．12
【答案】C
解：由＝0，
得(lnx＋ln3)(lnx＋ln4)＝0，
∴lnx＝－ln3 或lnx＝－ln4,
即＝或＝
则＝＝． 故选：C．
【巩固练习1】求下列各式中的
值：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
．
【答案】（1）125；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）因为
，所以
；
（2）因为
，所以
，解得
（3）因为
，所以
，所以
；
（4）因为
，所以
，所以
.
【热考题型2】对数型嵌套函数方程
24．方程
的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】D
【解析】∵
，∴
，∴
.
25．（杭州学军中学2024-2025 高一上期中）已知函数
在定义域
上单调，若对任意的
，都有
，则方程
的解的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】先求得
的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案.
【详解】设
①，则
，
由①令
得
，
在
上单调递增，
，题意
，所以
.
对于方程
，即
，
两边除以
得
，
函数
，
在
上单调递增，
，所以
有唯一零点在区间
，
所以方程
有唯一解.
26．已知
f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有
2
1
2
1
3
x
f
f x
，
则
2
log 3
f
的值为________.
【答案】 1
2
【解析】令
2
=
2
1
x
f x
t
，则
1
= 3
f t
再令=
x t ，则
2
1
2
=
=
1
2
1
3
2
1
t
t
f t
t
t
t
，则
2
2
1
2
1
2
1
x
x
f x
2
1
log 3 = 2
f
【巩固练习1】已知函数f(x)是定义域内的单调函数，且满足
2
[
3
)]
1
(
f f
x
ln x
ln
－
＋
＝
＋，
则函数
f
x 的解析式
f
x ＝_______，若不等式
x
f
x
m
e
＞－
对任意
0[
)
x
，＋
恒
成立，则实数m 的取值范围是_______.
【答案】
=
)
2
1
(
f
x
ln x
＋
；
3
，
【解析】（1 ）令
(
)=
1
t
f
x
ln x
－
＋
，则
)
2
1
(
3
2=
f t
ln
t
ln t
t
＝
＋
＋
，则
=
)
2
1
(
f
x
ln x
＋
（2）
1
(
)
2
x
x
f
x
m
e
ln x
e
m
＞－
＋
＞
，由单调性可知
0
(
)
0 1
3
2
ln
e
m
m
＋
＞
＞
【巩固练习2】已知
，则
的值为____．
【答案】
【解析】由
，得
，所以
，
即
，所以
，
，所以
．
【巩固练习3】已知
，则
的值为____．
【答案】
【解析】由
，得
，所以
，
即
，所以
，
，所以
．
【巩固练习4】已知函数
，则方程
的解为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】换底公式化简可得出关于
的等式，求出
的值，再利用对数式与指数式的互化
可得出
的值.
【详解】因为
，
由
可得
，
得
或
，当
时，
；当
时，
.
综上所述，原方程的解为
或
.
【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题
常见对数型函数奇偶模型
（1）
，
（2）
（
3
）
是
偶
函
数
，
如
，
27．（2023 年新课标全国Ⅱ卷）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【解法1】特殊值法：因为
为偶函数，则
，解得
，
验证：当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称.
，
故此时
为偶函数.
【解法2】函数性质法：因为
是奇函数，而
为偶函数，故
为奇函数．
证明过程：
，故
，则
，
这一方法要求学生能够发现函数
的奇偶性，解题的起点相对高，对一些数学基础
弱的学生有一点难度。
【解法3】定义法：
则有
即(
，则
28．函数
的部分图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析函数
的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的
，
，则函数
的定义域为
，
因为
，
，则函数
为偶函数，排除CD 选项，
又因为
，当且仅当
时，等号成立，排除B 选项.
29．若函数
为偶函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据函数是偶函数，则
，解出后验证即可.
【详解】因为
为偶函数，
，
则有
，
解得
，
经验证
时，符合条件
30．已知函数
，求函数
的定义域，并判断其奇偶性.
【答案】
；奇函数
【解析】由
解得
或
，所以
的定义域为
，
定义域关于原点对称，且
，
所以
为奇函数.
31．已知函数
是奇函数，则
.
【答案】
【解析】由
，得
，
则
，所以函数
的定义域为
，所以
，解得
32．已知函数
是偶函数，求实数
的值.
【解答】解：（1）
是偶函数，
，
即
对任意
恒成立，
，
．
33．已知函数
为偶函数，则
.
【答案】
【分析】利用偶函数定义
即可求出
的值.
【详解】根据题意，函数
为偶函数，
则有
，即
，
变形可得
，必有
34．（2023·重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数
为偶函数，则实数
的值为
.
【答案】
【分析】利用特殊值
先求解
值，再根据偶函数的定义进行验证.
【详解】函数
为偶函数，则
，
即
，解得
.
当
时，
，
为偶函数.
35．若函数
是偶函数，则
【答案】2
【详解】因为函数
是偶函数，
所以由偶函数的性质有
，
即
，解得
，
此时
，
又因为
，
所以
的定义域为
关于原点对称，
且
，
即函数
是偶函数满足题意.
【巩固练习1】设函数
2
( )
log (4
1)
,
R
x
f x
kx x
为偶函数，求k 的值
【答案】1
【分析】根据
f
x
f
x
得到方程，求出
1
k ；
【详解】∵
f x 为定义在R 上的偶函数，
∴
f
x
f
x
，即
2
2
log (4
1)
log (4
1)
x
x
kx
kx
，
故
2
2
4
1
2
log
log 4
2
4
1
x
x
x
kx
x
，即2
2
k
，解得
1
k ；
【巩固练习2】设
是实数，若函数
为奇函数，则
【答案】
【分析】利用奇函数的性质
求得
，再分别进行检验即可得解.
【详解】由题意，
为奇函数，
所以
对定义域内任意
恒成立，即
，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以
对定义域内任意
恒成立，则
，故
或
；
当
时，
，其定义域为
，不关于原点对称，
故
不为奇函数，不满足题意；
当
时，
，
由
，解得函数
的定义域为
，关于原点对称，
又
，故
为奇函数，符合题意；
综上：
.
【巩固练习3】已知函数
是奇函数，则实数
的值为 .
【答案】1 或
【分析】由题意可得
，求出
，检验即可.
【详解】由题意知，定义域为
，
函数
是奇函数，则
，
即
，化解得
，解得
或
，
经检验，
或
都符合要求.
故答案为：1 或
.
【巩固练习4】函数
为奇函数，则实数
.
【答案】
【解析】由
为奇函数，根据定义有
，结合
是单调函数即可
求
.
【详解】函数
为奇函数知：
，而
，
∴
，即
，
又
是单调函数，
∴
，即有
，解得
.
【巩固练习5】函数
为奇函数，则实数k 的取值为 .
【答案】
【解析】因为
为定义域上的奇函数，所以
，
即
，整理化简有：
恒成立，
所以
，得
，又因为
，所以
，
且当
时，
，其定义域为
，关于原点对称，故
满足题意.
【巩固练习6】若函数
是奇函数，则
．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出
，求出函数的定义域，再由奇函数得
，即可求出
，即可得解.
【详解】由
，可得
，即
，
且
，即
，-
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以
，所以
，
故
，定义域为
，
因为函数
是奇函数，
所以
，所以
，
经检验，符合题意，所以
，
，所以
.
【巩固练习7】已知函数
，f(a)＝4,则f(－a)＝ .
解：函数g(x)＝
满足g(－x)＝＝＝＝－g(x),
所以g(x)是奇函数．
函数f(x)＝＝4，
可得f(a)＝4＝可得＝3，
则f(－a)＝＝－3＋1＝－2．
【巩固练习8】若函数
是R 上的奇函数，则
________，
________.
【答案】1；0
【解析】因为函数
是奇函数，
故
，即
，即
.又
，
故
，
即
，
恒成立，
故
，所以
或
，当
时
无意义.
当
时
满足奇函数.故
综上，
，
【巩固练习9】（2022·全国·高考真题）若
是奇函数，则
，
．
【答案】
；
．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若
，则
的定义域为
，不关于原点对称
若奇函数的
有意义，则
且
且
，
函数
为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得
，
由
得，
，
，
故答案为：
；
．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数
为奇函数
[方法三]：
因为函数
为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由
可得，
，所以
，解得：
，即函数的定义域为
，再由
可得，
．即
，
在定义域内满足
，符合题意．
故答案为：
；
．
【题型7】对数相关函数图像的识别
1、判断函数图像常用的办法是排除法
一:判断奇偶性(依选项而判断)；二:代入特殊点看正负；三:极限思想
2、判断奇偶性技巧
(1)运算函数的奇偶性规律：
运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如
.
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.
(2)复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
⑤若
为奇函数，则
为偶函数
36．函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.
【详解】解：
，
因为
，
所以
是偶函数，故排除AD，
当
时，令
，得
或
，
当
或
时，
，当
时，
37．（多选题）函数
的大致图象不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】函数
的定义域为
，
因为
，所以函数
为偶函数，
当
时，
为减函数，且过定点
，
故函数
的大致图象不可能为BCD 选项.
【巩固练习1】函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】方法一：因为
，即
，所以
，
所以函数
的定义域为
，关于原点对称，
又
，所以函数
是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除
；
当
时，
，即
，因此
，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数
是奇函数，其图象关于原点对称，故排除
；
又
，所以排除A.
【巩固练习2】函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用
的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解.
【详解】对于
，必有
，故CD 错误；
又
，故B 错误；
将函数
在
轴下方图象翻折到上方可得函数
的图象，
再将其在
轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数
的图象，
进而将得到的函数图象向右平移1 个单位，
可得函数
的图象，故A 正确.
【题型8】对数型复合函数的值域问题
对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的
问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1 的大小关系；三是复合函数的
构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与
化归思想的应用.
【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求值域
38．函数
的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
因为
，
所以
，所以
的最小值为1，故选：B
39．已知函数
的最大值为2，则
．
【答案】6
【解析】因为函数
由
与
复合而成，
而
在定义域上单调递增，所以当
取最大值时，函数
取得最大值，
由二次函数的性质易知当
时，
，此时
，所以
，
解得
．
【巩固练习1】已知函数
2
lg
1 ,
1,3
f x
x
x
，则
f x 的值域为（ ）
A．
0,
B．
0,1 C．
lg2,1 D．
0,1
【答案】D
【解析】因为
1,3
x
，所以
2
1
1,10
x
，
所以
2
lg
1
0,1
f x
x
，故选：D
【巩固练习2】若函数
的最大值为0，则实数a 的值为___________.
【答案】
【解析】因为
的最大值为0，所以
应有最小值1，
因此应有
解得
.
【热考题型2】已知对数型复合函数的值域求参数范围
40．函数
的值域为R．则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合一元二次不等式求解即得.
【详解】由函数
的值域为R，得
的取值包含所有正实数，
因此
，解得
或
，
所以实数m 的取值范围是
.
41．若函数
的值域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由对数函数值域，则内层函数值域包含
，结合二次函数性质列不等式求参数范围.
【详解】函数
的值域是
，
则
的值域包含
，故
即可，
所以
.
42．设
且
，若函数
的值域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】当
时，检验满足
.当
时，分类讨论
的范围，依据对数函数的单调性，求
得
的范围，综合可得结论.
【详解】由于函数
且
的值域是
，
故当
时，满足
.
若
在它的定义域上单调递增，
当
时，由
，
.
若
在它的定义域上单调递减，
，不满足
的
值域是
.
综上可得，
.
43．若函数
存在最大值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】判断
时，
，无最大值，由判断
在
时的单调性，可得
单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案.
【详解】当
时，
在
上单调递增，此时
，无最大值；
又因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
，
结合题意可得
，解得
，
即实数
的取值范围为
44．已知函数
在区间
上有最大值或最小值，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】要使函数
在区间
上有最大值或最小值，
由于
开口向上，
故需函数
在区间
上有最小值，且
．
该函数图像的对称轴为直线
，所以
，解得
，
所以
，且
，即实数
的取值范围为
．
【巩固练习1】已知函数
在
上的值域为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，则函数
在
上的值域为
等价于在
上
，
结合基本不等式求解即可.
【详解】设
，
因为
的值域为
，所以
，
又
，
，所以
，
即
，解得：
且
，
所以实数
的取值范围是
.
【巩固练习2】（1）若
的定义域为
，则实数
的取值范围为 ；
（2）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】（1）定义域为
，说明真数恒大于0，列式求解；
（2）值域为
，说明真数能取遍
，列式求解.
【详解】定义域为
即真数恒大于0，则
或
，得
所以
的取值范围是
．
（2）值域为
即真数能取遍(0,+∞)
当
时，
成立，
当
，解得
，
所以
的取值范围是[0,1]
【巩固练习3】已知函数
的值域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域求解
【详解】由
值域为
，得
，
故
，即
的定义域为
，令
得
，故
的定义域为
【巩固练习4】若函数
且
在
上的值域为
，则
的值为（ ）
A．
或
B．0 或
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】先根据对数函数的单调性求出函数
的值域，再分
和
两种情况讨论，结
合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上的值域为
，
当
时，
在
上单调递减，则
，解得
，
则
，得
，
当
时，
在
上单调递增，则
，解得
或
（舍去），
则
，得
，
综上，
或
.
【题型9】比较大小
1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
2、当底数和真数的差或倍数一样时， 可以考虑拆出一个1
例1：
和
（倍数一致）
简析：
；
，由图像可知
例2：
和
（差一致）
简析：
；
，由图像可知
【热考题型1】找中间数比较大小
45．设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
．
故选：
．
46．已知
，
，
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
则
，
，
的大小关系为
【巩固练习1】设
，
，
，则三者大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
故
.故选：C
【巩固练习2】已知
，
，
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
则
，
，
的大小关系为
【巩固练习3】已知
,
，
，则( )。
A. x＜y＜z B. z＜x＜y
C. z＜y＜x D. y＜z＜x
【答案】D
【分析】利用x＝lnπ＞1,0＜y＝＝即可得到答案．
解：∵x＝lnπ＞lne＝1，＝即
1＝＝＝即∴y＜z＜x．故选：D．
【热考题型2】结合单调性比大小
47．已知
,
,
,则a, b, c 的大小关系为( ) .
A. c＜b＜a B.c＜a＜b
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
【答案】A.
变形:
故
，选A
【巩固练习1】已知
、
、
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用对数的作商法结合对数函数的单调性可得出
、
、
的大小关系.
【详解】
，得
；由
，得
.
从而可得
.
【巩固练习2】设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
又由对数函数的性质:当
时，底数越大，图像越低，可得
，
所以
，故选: D.
【巩固练习3】已知
是定义在
上的单调函数，
是(0,+∞)上的单调减函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
是定义在
上的单调函数可推知
，表示出
，再作商法，
运用换底公式变形，比较出
的大小即可求解.
【详解】由已知得
，则
，所以
，
，
，
所以
，则
，
，则
，
所以
．又因为
是(0,+ ∞)上的单调减函数，所以
【热考题型3】去“1”法比大小
48．（重庆南开中学高一期末）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据函数单调性得到
，
，对
利用换底公式变形后作差，结合基本不
等式，得到
，从而得到答案.
【详解】因为
单调递减，所以
，
又
与
均单调递增，故
，
，
法一：去“1”法比大小
，
，结合图形可以得出
法二：利用换底公式比大小
其中
，
，
，其中
，故
，
其中
，
故
，所以
，即
，故
.
49．已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由对数运算公式得，
，
，
，易知
，
．
故选：
．
【巩固练习1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数单调性得到
，再利用换底公式和作差法得到
，比
较出大小关系.
【详解】
，
其中
，
，所以
，
故
，所以
.
【巩固练习2】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小.
【详解】
，即
.
,即
.
综上知道
.
【热考题型4】指对互化，换底公式比大小
50．若
，则
，
，
从小到大的顺序是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
，且
，
，
.
由于
，
，故
.
而
，
，所以，
.
51．设
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：
，
，
，
．
．
52．设
，且实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
整理可得
,同理
,
,再根据
可得
均为正数,进
而利用作商法比较大小即可.
【详解】由
,可得
,则
,即
；
同理
,
因为
, 所以
均为正数, 则
, 同理可得
,
，
所以
53．设a＝logo.20.3，b＝log20. 3，则( )。
A. a＋b＜ab＜0 B. ab＜a＋b＜0
C. a＋b＜0＜ab D. ab＜0＜a＋b
【答案】B
解：∵a＝＝＝＝
∴a＋b＝＝＝
ab＝＝
∵∴ab＜a＋b＜0．故选：B．
【巩固练习1】若
，且
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据
即可得出
，
，
，根据
得出
，从而根据幂函数
的单调性即可判断
，
和
的大小关系．
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
单调递减，
，
．
【巩固练习2】若
，
，则x，y，z 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，可得
和
，根据
（
）为增函数，即可比
较三者大小.
【详解】
根据指数与对数的关系和
（
）为增函数：
，由
，即
故
可得
，即
综上：
【巩固练习3】若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用
，把
用
表示，并得到
，构造幂函数，利
用幂函数的单调性，得到结果.
【详解】
设
，则
，
则
则
设函数
，
在
单调递减
即
，因此
【巩固练习4】已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b
的大小，从而得到a，b，c 的大小关系．
【详解】分别对
，
，
两边取对数，得
，
，
．
．
由基本不等式，得:
，
所以
，即
，所以
．
又
，所以
【巩固练习5】设x、y、z 为正数，且＝＝则（ ）
A．2x＜3y＜5z
B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x
D．3y＜2x＜5z
【答案】D
【分析】x、y、z 为正数，令＝＝＝k＞1．lgk＞0．可得x＝＝＝．可得3y＝＝＝．根据＝＝＝
＝．即可得出大小关系．
另解：x、y、z 为正数，令＝＝＝k＞1．lgk＞0．可得x＝＝＝．＝＝可得2x＞3y,同理可得5z＞
2x．
解答：x、y、z 为正数，
令＝＝＝k＞1．lgk＞0．
则x＝＝＝．
∴3y＝＝＝．
∵＝＝＝＝．
∴．
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z 为正数，
令＝＝＝k＞1．lgk＞0．
则x＝＝＝．
∴＝＝可得2x＞3y,
＝＝．可得5z＞2x．
综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．
【巩固练习4】
【热考题型5】结合函数图形比大小
54．已知正实数a, b,c,满足:
则( )
A. a＜b＜c B. c＜b＜a.
C. b＜c＜a D. c＜a＜b
【解答】
【答案】B. 图像法——
的交点横坐标即为a，
的交点横
坐标即为b，
交点横坐标即为c，比较交点位置即可得到大小关系
55．已知实数a、b 满足等式＝下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a
＝b，其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】在同一坐标系中做出y＝和y＝两个函数的图象，
结合图象求解即可．
解：实数a，b 满足等式＝
即y＝在x＝a 处的函数值和y＝在x＝b 处的函数值相等，
由下图可知：①②⑤均有可能成立 故选：B．
【巩固练习1】（多选）已知实数
满足等式
，则下列可能成立的关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】在同一坐标系内分别画出函数
和
的图像，结合图像即可判断.
【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数
和
的图像，如图所示，
由图像知，当
时，
，故选项A 正确；
做出直线
，当
时，若
，则
，故选项B 正确；
当
时，若
，则
，故选项C 正确；
当
时，易得
，则
，故选项D 错误.
故选：ABC.
【巩固练习2】（多选）已知实数a，b 满足等式
，下列五个关系式：
①
；②
；③
；④
；⑤
其中有可能成立的关系式有（ ）
A．①
B．②⑤
C．②③
D．④
【答案】AB
【分析】画出指数函数
，
的图象，利用单调生即可得出答案.
【详解】如图所示，数
，
的图象，
由图象可知：
( 1 ) 当时
，若
，则
；
( 2 ) 当
时，若
，则
；
( 3 ) 当
时，若
，则
.
综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .
故选：AB
【热考题型6】结合函数单调性与奇偶性比大小
56．（深圳高级中学高一校考期末）已知函数
，记
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先判断函数
的性质，再比较
的大小关系，从而利用单调性比较
，
，的大小关系.
【详解】
是偶函数，并且当
时，
是增函数，
，
因为
，
，即
又因为
在
是增函数，所以
57．已知定义在R 上的函数
为偶函数，且
在区间
上是增函数，记
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数函数、指数函数等知识来确定
的大小关系.
【详解】由函数
为R 上的偶函数，且在
上是增函数，
则该函数在
上为减函数，且有
，
则
，
，
，
因为
，
，
，
即
，由于函数
在
上为减函数，
所以
，可得
.
【巩固练习1 】（深圳科高月考）若偶函数f ( x)在(−∞，0]上单调递减，a=f (4
2
3 )，
，c=f (2
3
2 )，则a、b、c 满足（ ）
A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b
D.c<b<a
【解答】
【答案】C. 可以参考开口向上，关于y 轴对称的抛物线，显然f（x）在
上单调递增
变形，找中间数:
【巩固练习2】函数f(x)定义在实数集上,有f(－1＋x)＝f(3－x),且当x≥1 时, f(x)＝lnx,则有( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】C
解：根据题意，函数f(x)定义在实数集上，有f(－1＋x)＝f(3－x),则函数f(x)的图象关于直线x＝1 对
称，则＝＝
又由当x≥1 时,f(x)＝lnx,f(x)在区间[1，＋∞）上为增函数，则有故有
【巩固练习3】已知奇函数f(x)在R 上是增函数,g (x)＝xf(x)。若a＝g(－log25.1),b＝g(20.8),c＝ g(3),
则a,b,c 的大小关系为( )。
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. b＜a＜c D. b＜c＜a
【解答】
解：奇函数f(x)在R 上是增函数，当x＞0,f(x)＞f(0)＝0，
g(x)＝xf(x)偶函数，且g(x)在(0,＋∞)单调递增，
∴a＝＝则
由g(x)在(0,＋∞)单调递增，则∴b＜a＜c
【巩固练习4】已知奇函数
在
上是增函数，
， 则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知判断
的奇偶性和单调性，进而判断函数值的大小.
【详解】奇函数
在R上是增函数，则当x>0时，
，且
，
，则
，
在
单调递增，
又
，则
为偶函数.
，则
，
则
，所以
.
故选：A
【巩固练习5】已知
，其中
是奇函数且在
上为增函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断函数
的奇偶性和单调性，继而判断
的取值范围和大小关系，
结合函数的奇偶性和单调性，即可比较大小，即得答案.
【详解】由于
是奇函数且在
上为增函数，故
，
当
时，
，且
为偶函数，
且
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
故
【题型10】对数型复合函数的单调性
对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求单调区间
58．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题知
的定义域为
，
令
，则
，函数单调递增，
当
时，关于
单调递减，
关于
单调递减，
当
时，关于
单调递增，
关于
单调递增，
故
的递增区间为
．故选：D．
59．函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
二次函数
的对称轴为：
，
所以二次函数的单调递增区间为
，递减区间为
，
而函数
是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数
的单调增区间为
，故选：C
【巩固练习1】函数
的单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
，解得
，
设
，即求函数
在
中的减区间，即
．
【巩固练习2】已知函数
，若
，则此函数的单调递增区间是
．
【答案】
【详解】由题意，令
，解得
或
，故函数
的定义域为
，
，得
，
令
，则
，
根据复合函数的单调性，即求
在定义域内的增区间，
由二次函数的性质，
的增区间为
，
所以函数
的单调递增区间为
.
【巩固练习3】函数
的减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，解得
或
，则
的定义域为
，
令
在
上单调递减，
又
在
上单调递减，所以
在
上单调递增，
在
上单调递增，所以
在
上单调递减
【热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数范围
60．若函数
在区间
上是单调增函数，则实数a 的取值范围是___．
【答案】
【解析】由函数
在区间
上是单调增函数，
只需函数
在
上是单调增函数，且当
时
恒成立，
所以满足
解得
．
61．若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解.
【详解】
，
令
，为增函数，
所以
，所以
在
单调递减，
所以
，即
，解得
62．已知f（x）＝
在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是
________．
【答案】（－4，4]
【解析】二次函数
的对称轴为x＝
，
由已知，应有
≤2，且满足当x≥2 时y＝x2－ax＋3a>0，
即
解得－4<a≤4．
故答案为：（－4，4]
63．已知
是定义在
上的偶函数，且在
上为增函数，
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再结合对数函
数的性质计算可得.
【详解】因为
是定义在
上的偶函数，且在
上为增函数，
所以
在
上单调递减，又
，则
，
所以
时
，
时
，
时
，
所以不等式
等价于
或
，
即
或
，
即
或
，
解得
或
，即不等式
的解集为
.
【巩固练习1】“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以
时
恒成立且
在
上单调递增，
所以
，则
是“函数
在
上单调递增”的充分
不必要条件.
【巩固练习2】若函数
在区间
上为减函数，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由复合函数单调性可得，
函数
在区间
上为严格减函数，且
，
则
，解之得
.
【巩固练习3】设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
在
单调递减上单调递减，
根据复合函数的单调性可得
在区间
上单调递增，
当
时，
在
单调递增，需满足
，
当
满足题意，
当
时，
在
单调递增，则在区间
上单调递增
又需满足真数
，则最小值
，即
，
综上
．
故选：C．
【巩固练习4】已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
在区间
上单调递增，
为增函数，
所以函数
在区间
上有意义，且
在
上单调递增，
所以
，则
或
，解得
，所以
的取值范围为
.
【题型11】解对数不等式
解对数不等式时，首先确定对数的定义域，然后利用对数函数的单调性去掉对数，转化为代数不等
式求解。注意验证解是否符合原不等式定义域，最后写出解集。
【热考题型1】解对数型不等式
64．设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
，
【答案】C
【解析】由
，得：
，因为
，所以
，取交集得：
．
所以
的取值范围是
，故选：C.
65．若实数x 满足不等式
，则实数x 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
，
，解得
或
.
【巩固练习1】已知实数
，且满足不等式
，则不等式
的解
集为________．
【答案】
【解析】因为
，所以
，而
，则
，于是
.
【巩固练习2】不等式
的解集是 .
【答案】
【详解】易知
，
由
可得
；
又函数
在
为单调递减，
所以可得
，解得
.
【巩固练习3】若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
【答案】
【分析】由
的取值范围求出
的取值范围，再令
，求出
的范围即可.
【详解】当
时
，所以
，
所以
，即
，则
，
即
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
【热考题型2】结合函数性质解不等式
66．已知函数
的最大值为2，则
．
【答案】6
【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得.
【详解】因为函数
由
与
复合而成，
而
在定义域上单调递增，所以当
取最大值时，函数
取得最大值，
由二次函数的性质易知当
时，
，此时
，所以
，
解得
．
67．设函数
，则使得
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】方法一 :
由
得
，
则
，解得
或
.
方法二 :根据题意，函数
，其定义域为
，
有
，即函数
为偶函数，
设
，则
，
在区间
上，
为增函数且
，
在区间
上为增函数，
则
在
上为增函数，
，
解得
或
，故选：D．
68．设函数
2
( )
log (4
1)
,
R
x
f x
kx x
为偶函数．
(1)求k 的值；
(2)写出函数
( )
y
f x
的单调性（不需证明），并解不等式
(2
1)
(
1)
f
x
f x
．
【答案】(1)1
(2)单调性见解析，不等式解集为
,0
2,
【分析】（1）根据
f
x
f
x
得到方程，求出
1
k ；
（2）根据定义法得到函数的单调性，并根据单调性解不等式.
【详解】（1）∵
f x 为定义在R 上的偶函数，
∴
f
x
f
x
，即
2
2
log (4
1)
log (4
1)
x
x
kx
kx
，
故
2
2
4
1
2
log
log 4
2
4
1
x
x
x
kx
x
，即2
2
k
，
解得
1
k ；
（2）
f x 在
,0
上单调递减，在
0,
上单调递增，
理由如下：
2
2
2
2
( )
log
4
1
log
4
1
log 2
log
2
2
x
x
x
x
x
f x
x
，
设
2
2
x
x
g x
任取
1
2
,
0,
x x
，且
1
2
x
x
，
则
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
g x
g x
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
因为
1
2
,
0,
x x
，且
1
2
x
x
，
所以
1
2
1
2
2
2
0,2
1
0
x
x
x
x
，
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
0
2
x
x
x
x
x
x
g x
g x
，
故
1
2
g x
g x
，
所以
2
2
x
x
g x
在
0,
单调递增，
由复合函数同增异减可得，
( )
f x 在
0,
单调递增，
又
( )
f x 在R 上为偶函数，故
( )
f x 在
,0
上单调递减，
2
1
1
2
1
1
f
x
f x
f
x
f
x
，
∴2
1
1
x
x
，
解得
0
x
或
2
x
，
∴不等式解集为
,0
2,
.
69．已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间
上单调递减，若
，且满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】依题意，
是偶函数，且在区间
上单调递减，
由
得
，
所以
，所以
或
，
所以
或
，
所以
的取值范围是
.
70．已知函数
，
的最大值为
，最小值为
，则
.
【答案】
【分析】构造
，定义判断奇偶性，利用对称性有
，即可求结果.
【详解】令
，且
，
，
所以
为奇函数，且在
上连续，
根据奇函数的对称性：
在
上的最大、最小值关于原点对称，
则
，故
.
【巩固练习1】已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，令
，转化为
的值域取遍一切正实数，结合二次
函数的性质，分类讨论，即可求解.
【详解】由函数
，令
，
令
，可得
，
要使得函数
的值域为
，
则
的值域能取遍一切正实数，
当
时，则满足
，解得
；
当
时，可得
，符合题意；
当
时，则满足
，此时函数
的值域能取遍一切正实数，符合题意，
综上可得，实数
的取值范围为
.
【巩固练习2】已知函数
，则满足不等式
的实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据奇偶函数的定义证明
为偶函数，易知当
时函数
单调递增，利用
定义法证明函数y =e
x+e
−x
2
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，利用函数的单调
性和奇偶性解不等式即可求解.
【详解】
，定义域关于原点对称，
则
，所以函数
为偶函数；
当
时，函数
单调递增，
设
，则
，
，
所以
，
又
，所以
，
则函数y =e
x+e
−x
2
在
上单调递增，所以函数
在
上单调递增，
由
，得
，解得
，
所以实数a 的取值范围为
.
【巩固练习3】已知函数
，若不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出函数
的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，
，
最后结合基本不等式计算求解即可
【详解】
,
,
所以
为奇函数,
为单调增函数,
,
,
恒成立,
,
.
【巩固练习4】已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
单调递减，则不等式
的解集为 .
【答案】
或
.
【详解】因为函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
单调递减，
所以
在
上递增，
因为
是定义在
上的偶函数，
所以由
，得
，
所以
，
所以
或
，
所以
或
，
解得
或
，
所以不等式的解集为
或
.
故答案为：
或
.
【巩固练习5】已知函数
，则
的解集为 ．
【答案】
【分析】由解析式得
，即
关于
对称，再应用定义求证
上
单
调性，结合对称性及不等式有
，即可求解集.
【详解】由
，则
，
所以
关于
对称，
当
，令
，则
，而
，
所以
，即
在
上递增，
根据对称性知：
在
上递减，
由
，则
，即
，
所以
，即
，可得
，
故不等式解集为
.
【巩固练习6】函数
是定义在
上的偶函数，
，当
时，
．
(1)函数
的解析式；
(2)解不等式
．
【答案】(1)
(2)
或
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以当
时，
，
所以
的解析式为
.
（2）因为函数
是定义在R 上的偶函数，所以
，因为
．
所以可将
等价于
，
因为
时，
．
此函数在
上是单调递增，
所以
，
或
，
即
或
，解得
或
，
综上所述，不等式
的解集为
或
.
【题型12】对数函数模型的实际应用
对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析
式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代
入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
71．某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时
间（单位：h）的关系为
（
且
，
且
），其图象如下，则污染物减
少
至少需要的时间约为（ ）（参考数据：
，
）
A．23 小时
B．25 小时
C．42 小时
D．44 小时
【答案】D
【分析】由图象首先得
，进一步由指对互换、换底公式以及对数运算性质即
可得解.
【详解】由题意
时，
，
时，
，解得
，
令
，
解得
，
对比选项可知污染物减少
至少需要的时间约为44 小时.
72．一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21 个月（假设没有捕杀与
其他损耗）.那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要（ ）年
A．23
B．22
C．21
D．20
【答案】A
【分析】设经过
年后的一万只兔子有
只,依题可得
，令
，求解即可.
【详解】设经过
年后的一万只兔子有
只，
根据倍增期为21 个月，可得
，
令
,则
，两边取以10 为底的对数得，
，则
，故大约需要23 年，
故选：A.
73．把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是
，空气的温度是
，则
后该
物体的温度
满足
. 将温度分别为
和
的两块物体放入温度为
的空气中，要使两块物体的温度之差不超过
，至少要经过（ ）(取:
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可.
【详解】
的物体经过
后的温度为
，
的物体经过
后的温度为
，
由题可得，
，
即
，解得
，所以要使两块物体的温度之差不超过
，至少要经过
74．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中
酒精含量达到20⁓79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾
车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，
他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其
中取
)（ ）
A．7 小时
B．6 小时
C．5 小时
D．4 小时
【答案】B
【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.
【详解】设需要休息
小时，依题意，
，
，两边取以
为底的对数得
，
所以
，
所以至少需要
小时.
75．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科
技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”，
实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划在2024 年全年投入芯片制造研
发资金60 亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长
，则该公司全年投入的研
发资金开始超过100 亿元的年份是 .
（参考数据：
，
，
）
【答案】2030
【分析】根据题意列不等式，即可根据对数的性质求解.
【详解】依题意，设还需要
年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100 亿元，
则
，故
，
所以
，又
，
所以还需要6 年，即2030 年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100 亿元，
故答案为：2030.
76．中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用
的水泡制，再等到茶水温度降至
时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组
联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是
，经过
后
的温度是T，则
，其中
表示环境温度，h 为常数.该研究小
组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是
，放在
的室温中，
以后茶水的温度是
，在上述条件下，大约需要再放置
能达到最佳饮用口感.（结果精确到
0.1，参考数据：
，
）
【答案】13.3
【分析】根据题意列出等式，可得
，根据条件列出方程，解出即可.
【详解】由题意得，
，
即
，则
.
设大约需要再放置
能达到最佳饮用口感，
则
，即
，
则
，所以
，
解得
.
77．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环
保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为
，排放前每过滤一次，该
污染物的含量都会减少
，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过
，
若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为
，在根据题意列出不等式解
出即可．
【详解】过滤第一次污染物的含量减少
，则为
；
过滤第两次污染物的含量减少
，则为
；
过滤第三次污染物的含量减少
，则为
；
过滤第n 次污染物的含量减少
，则为
；
要求废气中该污染物的含量不能超过
，则
，即
，
两边取以10 为底的对数可得
，即
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，又
，所以
，故排放前需要过滤的次数至少为次．
【巩固练习1】（华南师大附中高一期末）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少
需要将 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5 倍．（参
考数据：
．）
【答案】
【分析】构造不等式
，利用对数运算法则解不等式可求得结果.
【详解】假设需要
块这样的玻璃，则
，
，
，
至少需要7 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的
.
【巩固练习2】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是
，空气的温度是
，经过
分钟后物体的温度
可由公式：
求得．其中
是一个随着物体与空气的接触
状况而定的大于0 的常数．现有
的物体，放在
的空气中冷却，5 分钟以后物体的温度是
，则
约等于 （参考数据：
A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55
【解答】解：由题意可得，
，
，
，即
，
．
故选：
．
【巩固练习3】2008 年我国人口总数为14 亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则
年我国人口将超过20 亿．（
，
，
）
【答案】2037
【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可.
【详解】
由题意，列方程得：
.∴
，
∴
【巩固练习4】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
约为
，而可观测宇宙中普通物质
的原子总数
约为
．已知
，则下列各数中与
最接近的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
围棋状态空间复杂度的上限
约为
，
可观测宇宙中普通物质的原子总数
约为
．
，
，
根据对数性质有
，
，
，
【巩固练习5】当生物体死亡后，它机体内的碳14 含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年
衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”
年3 月23 日四川省文物考古研究院联合北京
大学对三星堆新发现
坑的部分炭屑样品使用碳14 年代检测方法进行了分析，发现碳14 含量衰
减为原来的
，则该遗址距今约 年．（参考数据：
A．3000
B．3100
C．3200
D．3300
【解答】解：设生物体死亡后，碳14 每年衰减为原来的
，
依题意，有
，
，
设距今约年，碳14 衰减为原来的
，
结合参考数据：
，可得
．
故选：
．
【巩固练习6】当生物体死亡后，它机体内的碳14 含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年
衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021 年3 月23 日四川省文物考古研究院联合北京
大学对三星堆新发现
坑的炭屑样品使用碳14 年代检测方法进行了分析，发现碳14 含量衰减为
原来的
，则该遗址距今约 年．（参考数据：
A．3300
B．3200
C．3100
D．3000
【解答】解：设该遗址距今约
年，衰减率为
，
则有
，则
，
故
，
由题意可得，
，
则
，
故
，
所以
，
则该遗址距今约3100 年．
故选：
．
【巩固练习7】为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精
含量不得超过
．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升
到
，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少
．那么此人
在开车前至少要休息 （参考数据：
，
A．4.1 小时
B．4.2 小时
C．4.3 小时
D．4.4 小时
【解答】解：设经过
小时，血液中的酒精含量为
，
则
，
由
，得
，
则
，
因为
，所以
，
所以开车前至少要休息4.2 小时，
故选：
．
【巩固练习8】基本再生数
与世代间隔
是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染
者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：
描述累计感染病例数
随时间（单位：天）的规律，指数增长率与
，
近似满足
，有学者基于已有数据估计出
，
，据此，在新冠肺炎疫
情初始阶段累计感染病例数增加1 倍需要的时间为 （参考数据：
A．约1.8 天
B．约2.6 天
C．约3.5 天
D．约6.9 天
【解答】解：把
，
代入
，
可得
，解得
，
所以
，
设感染病例数增加1 倍需要的时间为
，
因为感染病例增加1 倍，感染病例数变为原来的2 倍，
所以
，则
，
两边取对数可得
，解得
，
所以在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为1.8 天，则判断错误的有
．故选：A．
【题型13】反函数对称性质的运用
指数函数
（a>0 且a≠1）与对数函数
（a>0 且a≠1）互为反函数
反函数是高中数学中并不太重视的一个知识点，从大的角度讲，反函数是对称这个大家族中的一员。
对称是高考考察的热点及难点之一，线的对称本质上是点的对称，利用点与点之间的对称关系去理
解线与线之间的对称关系，是学好这一块内容的最佳途径，参考题中的信息，先要找到互为反函数，
且互为反函数关于y =x 对称。可以求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题。
78．若实数a 满足ex＋x－2＝0，实数b 满足lnx＋x－2＝0，则a＋b＝______
[解析]同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于y＝x 对称,可知x＝a 是函数y＝ex和
y＝－x＋2 交点的橫坐标，同理x＝b 是函数y＝lnx 与y＝－x＋2 交点的横坐标，且y＝－x＋2
与y＝x 垂直，作出图像
，所以x＝a,x＝b 关于x＝1 对称，所以a＋b＝2
79．若满足＝满足＝＝（ ）
A．
B．3 C．
D．4
【答案】C
解法1：反函数对称性
将＝5，
分别变为
＝－x＋
令＝＝＝
因为与关于 y＝x 对称，
所以关于 y＝x－1 对称，
从而它们与的交点也关于 y＝x－1 对称，
易求出与 y＝x－1 的交点为
所以
解法2：同构式
第一步对式子变形 ：
①
②
第二步：继续变形得到同结构t＋2
t
代入②式可得
第三步：构造方程、函数模型
令t＋2
t＝
，可知
和
是方程的2 个根；
令h（x）＝t＋2
t，显然h（x）为增函数，所以
＝
把②式代入可得
＝
，得x1＋x2＝
故选：C．
80．设方程
和方程
的根分别为
，设函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，由
得
，
所以令
，这3 个函数图象情况如下图所示：
设
交于点
，
交于点
，
由于
的图象关于直线
对称，
而
的交点为
，所以
，
注意到函数
的对称轴为直线
，即
，
且二次函数
的图象是开口向上的抛物线方程，
从而
.
81．设a、b 分别是方程
与
的根，则
．
【答案】
【分析】根据函数
与
互为反函数，图象关于
对称，联立
与
，
即可根据对称求解.
【详解】由
可得
，由
可得
，
所以
是
与
的交点横坐标，
是
与
的交点横坐标，
由于函数
与
互为反函数，图象关于
对称，
联立
与
可得
，
故
，
故答案为：
82．已知
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
的值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由题意可得
的零点为函数
与
交点的横坐标，
的零点为函数
与
交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果.
【详解】由题意可得
的零点为函数
与
交点的横坐标，
因为
和
在
上递增，所以
在
上递增，
所以
为
唯一的零点，设函数
与
交点为
，
的零点为函数
与
交点的横坐标，
因为
和
在
上递减，所以
在
上递减，
所以
为
唯一的零点，设函数
与
交点为
，
因为
与
的图象关于直线
对称，
与
的图象关于直线
对称，
所以
关于直线
对称，所以
.
故选：B
【巩固练习1】已知函数
和
的图象与直线
交点的横坐标分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出函数
和
的图象以及直线
的图象，如图，
由函数
和
的图象与直线
交点的横坐标分别为
，
，
结合图象可知
，A 错误；
由题意知
，也即
，
由于函数
和
互为反函数，
二者图象关于直线
对称，而
为
和
的图象与直线
的交点，
故
关于
对称，故
，B 错误；
由
，故
，C 错误；
因为
，故
，
结合
，即得
，D 正确
【巩固练习2】已知函数
，
，
的零点分别是
，
，
，则
，
，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，
，
，
得
，
，
，
则
为函数
与
交点横坐标，
为函数
与
交点横坐标，
为函数
与
交点横坐标，
在同一直角坐标系中，分别做出
，
，
和
的图像，如图所示，
由图可知，
【巩固练习3】已知
，
分别是关于
的方程
，
的根，则下面为定值
2023 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
E．均不是
【答案】C
【解析】由已知条件可知，
，
，
令
，
，
，
如图所示，
曲线
与曲线
关于直线
对称，曲线
关于直线
对称，
设曲线
分别与曲线
，
交于点
，
，
则点
，
关于直线
对称，
而点
关于直线
对称的点为
，即为点
，
则
，即
.
【题型14】等高线问题
等值线问题
等值线本是地理学中的名词， 借用到数学中来便有其特殊的含义．对于函数f(x)， 若存在互不相
等的实数a，b，c， 使f(a)＝f(b)＝f(c)＝t， 则称直线为函数的等高线． 解决等高线问题时， 要
注意函数本身的整体性， 遵循分段处理的原则， 首先画出分段函数的图象， 充分利用形的直观
性与数的精确性， 挖掘函数的性质， 如对称性、不变性(如定和、定积)等， 从而有效地、快速地
解决问题． 这类问题由四种常见题型．
1、求等高线对应的交点横坐标之和：利用函数的对称性
2、求等高线对应的交点横坐标之积：结合对数运算
3、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域：注意极端位置、特殊位置
4、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围
83．已知函数
有三个零点
，则
=（ ）
A.
B.8 C.15 D.16
【答案】B
【解析】
，
，由题可知
与
有3 个交点，如图
则
仅有一个根，解得
或
（舍），
设
，则
，
，故选B
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
O
x
y
84．已知函数
2
3
log
,0
2
2
1,2
5
x
x
x
f x
x
＜＜
≤
＜若存在实数
1
2
3
4
x
x
x
x
＜
＜
＜
，且
1
2
3
4
f x
f x
f x
f x
，则
3
4
1
2
2
2
x
x
x x
的取值范围是 ．
【答案】
0,1
【解析】画出
f x 的图象如图所示，
一方面，由
1
2
f x
f x
及
1
2
x
x
＜
，
2
1
2
2
2
1
2
2
log
log
log
log
x
x
x
x
，可得
1
2
1
x x ；
另一方面，
3
4
f x
f x
及
3
4
x
x
＜
，
3
4
3
3
2
1
2
1
x
x
，所以
3
4
3
3
x
x
，有
3
4
6
x
x
，且
3
2
3
x
＜
＜，故
3
4
3
4
3
3
1
2
2
2
2
2
2
4
0,1
x
x
x
x
x
x
x x
．故答案为
0,1 ．
85．已知函数
，若存在互不相等的实数
，
，，
满足
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】画出函数图象，数形结合，得到
，
，结合基本不等式求出最小值.
【详解】画出
的图象如下：
由对称性可得到
，且
，即
，
故
，当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
.
86．已知函数
，若
，则
；若
，且
，则
的取
值范围是 .
【答案】 或
【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可
求解
的取值范围.
【详解】
，得
或
；
由题意可知，
，
由函数图象可知，
，则
，
即
，则
，
，
所以
的取值范围是
.
87．（多选）设函数
，若实数a，b，c 满足
，且
.则下列结论恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据函数图象找出实数a，b，c 的范围，求出
，对不成立的结论可举反例,对恒成立的
结论结合对勾函数的性质进行论证.
【详解】画出函数图象，如图，
因为
，且
，
.
所以
.且
即
.
对A，因为
，所以
，故A 正确；
对B，因为
，所以
，由对勾函数的性质知函数
在
上为单调减
函数，则
，故B 正确；
对C ，因为
，所以
，又
，则
，令
解得
，即
时，
,
因为函数
在
上单调递减，则当
时，有
，故C 不正确；
对D ，因为
，所以
，由对勾函数的性质知
在
上递减，则
.
因为函数
在
上单调递减，所以
，故D 正确.
故选：ABD
88．（多选）已知函数
，若方程
有4 个不同的零点
，
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性.
【详解】如图：
由图象可知，若方程
有4 个不同的解，须有
，故A 错误；
当
时，方程
有4 个不同的解，且
.
所
以
，
且
，故B 正确；
又
，且
关于直线
对称，所以
，故C 错误；
由
，又
.所以
，故D 正确.
故选：BD
89．（多选）已知函数
，若存在
，使得
，
则
的取值可以是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】CD
【分析】设
，则直线
与函数
的图象有三个交点，结合函数的对
称性求出
的取值范围即可.
【详解】设
，作出函数
与
的图象，如图：
观察图形知，当
时，直线
与函数
的图象有三个交点，
点
、
关于直线
对称，则
，且函数
在
上为增函数，
由
，
，得
，因此
，
所以
的取值可以是
，
.
【巩固练习1】已知函数
，存在实数
满足
，则
的取
值范围是 .
【答案】
【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】∵存在
，满足
，由图像可知，
，∴
，
，∵
，∴
∴
，即
，∴
∴
的取值范围是
，
【巩固练习2】已知函数
，若
且
，则
的取值范围为
.
【答案】
【分析】作出函数
的图象，可得出
，利用双勾函数的单调性可求得
的取
值范围.
【详解】画出
的图象如图：
∵
，且
，
∴
且
，
，
∴
，即
，∴
，
，
由图象得
在
上为减函数，
∴
，
∴
的取值范围是
.
故答案为：
.
【巩固练习3】已知函数
，若互不相等的实数
满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为直线
与函数
图象的三个交点，结合函
数图象分析求解.
【详解】设
，
由图象可知，当
时，
直线
与函数
图象的三个交点
的横坐标分别为
，
二次函数
的图象关于直线
对称，则
，
由于
，即
，得
，
解得
．
因此
的取值范围是
．
【巩固练习4】已知函数
，若a，b，c，d 互不相等，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若
，将问题
转化为曲线
与直线
的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数
函数的性质可得
，
，
，结合对勾函数的性质求范围即
可．
【详解】令
，则
或
，令
，则
或
，
由解析式知：
在
上递减且值域为
，在
上递增且值域为
，在
上递
减且值域为
，在
上递增且值域为
．
作出
的草图如下，
令
，不妨设
，则
，
，，
为曲线
与直线
的交点横坐标，
由图知：
，
且
，
则
，
由对勾函数可知
在
上递减，故
，
故
.
【巩固练习5】已知函数
，若方程
有4 个解，分别记为
，
，
，
，且
，则
.
【答案】
【分析】画出
的大致图象，根据对称性以及对数运算等知识求得正确答案.
【详解】画出
的大致图象如下图所示，
当
时，
，对称轴为
，
所以
.
当
时，
，
由
，
得
，
，
.
故答案为：
【巩固练习6】（多选）已知函数
，若
有四个不同的解
且
，则有 （ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
【答案】ABD
【分析】先画出图像，结合图像即可判断AC 选项，再通过
判断B 选项，
最后结合单调性判断D 选项.
【详解】由题意，当
时，
：当0<
时，
：当
时，
，
作出函数f(x)的图象，如图所示，
易知f(x)与直线
有四个交点，分别为（-2，1），（0，1），（
，1），（4，1），因为
有
四个不同的解
且
，所以
故C 错误；
且
A 正确；
，又
，
所以
，即
，B 正确；
所以
，且
，
构造函数
，且
，
可知g(x)在（1，4]上单调递减，且
，
所以
的最小值为—
．D 正确．
【题型15】对数函数的综合问题
90．已知函数
为偶函数．
(1)求k 的值；
(2)设函数
，若
，
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数
为
上的偶函数可得
，即可得解；
（2）由（1）得
，令
，则
，则要使
，
恒
成立，只需要函数
的值域是不等式
的解集的子集即可，再分
和
两
种情况讨论即可.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
因为函数
为偶函数，
所以
，
即
，
所以
，解得
，
经检验，符合题意，
所以
；
（2）由（1）得
，
则
，
令
，则
，
令
，解得
，
要使
，
恒成立，
只需要函数
的值域是
的子集即可，
当
时，因为
，所以
，
则
，解得
，
当
时，则
，
则
，解得
，
综上所述，a 的取值范围为
．
91．已知函数f (x), g(x)分别是定义在
上的奇函数和偶函数，且
.
(1)求函数f (x), g(x)的解析式；
(2)设
，对
，使得
，求实
数
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）方程组法去求解
与
的解析式即可解决；
（2）对
，使得
，即为函数
的值域为(−1,1)为函数h(x)的值
域的子集，讨论解之.
【详解】（1）由题意
①，
所以
，
函数
，
分别是定义在
上的偶函数与奇函数，
所以
所以
②，
由①②解得
，
；
（2）
，
由
，则
，
所以
的值域为(−1,1)，
，
，
设
，根据
知
为增函数，若
，则
，
则
，
若
，则
在
上单调递增，
则
，即
，
因为对
，使得
，
则
，所以
，解得
，
所以
；
若
， 则
，即
，
则
，解得
，所以
，
综上所述，若对
，使得
，则
.
92．已知函数
（k 为常数，
），且
是偶函数.
（1）求k 的值；
（2）设函数
，若方程
只有一个解，求a 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
或
.
【分析】（1）由偶函数的性质
即可求出；
（2）令
，题目等价于
只有一解，讨论
，
两种情况讨论求解.
【详解】（1）因为
，
是偶函数，
因为
，
即
，
∴
；
（2）若方程
只有一个解，
即
只有一个解，
整理得：
，
令
得
，
令
，
因为
，所以
与
同号，
①当
时，
，则
，
方程
在区间
上只有一个解，
因为
图像是开口向上的，
且
，
，
，
所以当
时方程
在区间
上只有一个解；
②当
时，
，则
，
方程
在区间
上只有一个解，
因为方程对应的二次函数
图像是开口向下的，
且
，
，
则
解得
，
所以当
时，方程
在区间
上只有一个解；
综上：当
或
时，方程
只有一个实根.
【巩固练习1】设函数
.
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)当
时，若对任意
，函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1，求
a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时，不等式
即
，所以
，
解得
或
，所以不等式
的解集为
.
（2）由复合函数的单调性知
在
上单调递减，
则
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，所以
，
而
，
令
，因为
，所以
，所以
，
由对勾函数单调性知
在
上单调递增，
所以
，所以
.
【巩固练习2】已知函数
是偶函数.
(1)求
的值;
(2)设
，
，若对任意的
，存在
，使得
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
是偶函数，
所以
，
即
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，即
.
（2）
，
因为对任意的
，存在
，使得
，
所以
在
上的最小值不小于
在
上的最小值，
因为
在
上单调递增，
所以
，
因为
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
【巩固练习3】已知函数
是偶函数.
(1)求
的值；
(2)设函数
，其中
.若函数
与
的图象有且只有一个交点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可；
（2）设
转化为方程
在
上只有一个解，分类讨论即可.
【详解】（1）函数
是偶函数，
故
，
即
，
，故
.
（2）
，故
，
若函数
与
的图象有且只有一个交点，
即
在
上只有一个解，故
，
即
，即
，
设
故
只有一个解，即
，
当
时，
，则
，不符合
，故舍去；
当
时，函数
的对称轴为
，
故
在(0,+ ∞)单调递减，且
，故方程
在
无解；
当
时，函数
的对称轴为
，且
，
，
故方程
在
上有唯一解，符合题意，
综上所述，
的取值范围是(1,+ ∞).
【巩固练习4】已知函数
(1)当
时，解关于x 的方程
(2)若函数
是定义在R 上的奇函数，求函数
的解析式；
(3)在(2)的前提下，函数
满足
若对任意
且
不等式
恒成立，求实数
的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当
时，
，
即
，整理得
，
即
，得
或
（舍去）
；
（2）因为函数
是定义在R 上的奇函数，
则
且
，
，解得
，
即
，
证明：
，
故
是定义在R 上的奇函数，
（3）在(2)的前提下，
整理得
，
代入
得
，
即
恒成立，
，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立，
即实数
的最大值为.
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