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专练 06（填空题-压轴）
1．已知直线 经过点 ，则 的最小值是__．
【答案】32
【分析】
根据题意，由直线经过点 ，分析可得 ，即 ；进而可得
，结合基本不等式分析可得答案．
【详解】
根据题意，直线 经过点 ，则有 ，即 ；
则 ，当且仅当 时等号成立；
即 的最小值是32；
故答案为：32．
【点睛】
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的一般式方程，属于中档题．
2．已知函数 在区间 上是增函数,且 .若 ,且,则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
利用赋值法求出 ，且 ，然后利用函数的单调性即可解不等式.
【详解】
在 中,令 ,得 ,
所以 .令 , ,得 ,
再令 , ,得 .
又因为 ,所以 可化为 ,
即 ,所以 ,解得 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了抽象函数的单调性解不等式，注意在解不等式时需在定义域内求解，属于基础题.
3．已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是_____.【答案】
【分析】
根据复合函数单调性的性质，结合二次函数单调性与对数定义域要求，分类讨论 与 两种情
况，即可求得 的取值范围.
【详解】
函数 ，所以 且 ，
令 ，则
当 时，因为函数 在 内单调递减，而函数 在区间 上是减函数，由
复合函数单调性的性质可知， 在区间 上是增函数，
由二次函数对称轴及单调性可得 .且满足对数函数定义域要求，即 ，解得
，所以由以上可得 ；
当 时，因为函数 在 内单调递增，而函数 在区间 上是减函数，由复合
函数单调性的性质可知， 在区间 上是减函数，
由二次函数对称轴及单调性可得 .且满足对数函数定义域要求，即 ，解得
，所以由以上可得 .
综上可知， 的取值范围为 .故答案为： .
【点睛】
本题考查了复合函数单调性性质应用，对数函数定义域要求，二次函数的对称性及单调性，分类讨论思想
的综合应用，属于中档题.
4．已知点 在函数 （ 且 ）图象上，对于函数 定义域中的任意 ，
，有如下结论：
① ；② ；
③ ；④ .
上述结论中正确结论的序号是___________.
【答案】①④
【分析】
先求出a，根据指数运算与指数函数性质依次讨论即可逐项排除得到答案.
【详解】
点 在函数 （ 且 ）图象上，即 ， ， ，
∵对于函数 定义域中的任意的 ，
有
∴结论（1）正确；又 ， ， ，
∴结论（2）错误；
又 是定义域 上的增函数，
∴对任意的 ，不妨设 ，则 ， ， ，
，
∴结论（3）错误；
又 ，
，
，
∴结论（4）正确；
故答案为：（1），（4）.
【点晴】
本题考查命题真假判断，实质上是考查函数的性质．对于这种给出具体函数式的问题，只要把函数式代入
一一验证即可，解决此类问题不能限入误区，认为这类问题都是有难度，没处下手，事实上最简单的方法
反而是最好的方法．5．已知函数 ， ， ， ，使得
成立，则实数 的取值范围为_____________.
【答案】
【分析】
对于 ， ，使得 成立，则有 ，利用函数的单调性分
别在定义域内求出最值即可.
【详解】
由 ，
根据复合函数的单调性可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以
对于 ， ，使得 成立，则有
即不等式 ，对于任意的 恒成立.
当 时， ，对于任意的 ， 恒成立，
符合题意；当 时， 的图像是开口向下的抛物线，且
要使不等式 对于任意的 恒成立，
则若对称轴 ，即 ， ，即 ，显然成立，
若对称轴 ，即 时， ，
解得 ，故 ，
此时 ，
当 时，函数 的图像是开口向上的抛物线，
对称轴方程为 ，
在 上无最大值，故不符合题意，
综上所述，实数 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查考查了不等式恒成立问题、考查了二次函数在某个区间上的最值，符合函数的单调性，考查
了分类讨论的思想，属于中档题.6．（2020·广西南宁二中高一期中）设函数 则使得f( )>f(3x-1)成立的x的
取值范围是___________.
【答案】
【分析】
先判断函数的奇偶性，求出函数的单调性，由此得到 ，解不等式即得解.
【详解】
由题得函数的定义域为R. 所以函数是偶函数.
当 时， 都是增函数，所以 是增函数，
所以函数在 是增函数，在 上是减函数.
因为f( )>f(3x-1)，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查抽象不等式的解法，注意对于偶函数，解其不等式时，
避免讨论，运用绝对值得出其大小关系，属于中档题.7．若函数 满足对任意 ，都有 成立，则实数 的
取值范围是______.
【答案】
【分析】
根据题中条件，可以先判断出函数f（x）在R上单调递增，再结合分段函数的解析式，要每一段都是增函
数，且分界点时右段函数的函数值要大于等于左段函数的函数值，列出不等关系，求解即可得到a的取值
范围．
【详解】
：∵对任意x≠x，都有 成立，
1 2
∴x-x 与f（x）-f（x）同号，
1 2 1 2
根据函数单调性的定义，可知f（x）在R上是单调递增函数，
∴当 时，f（x）=（ 为增函数，则 ，即a＜3，①
且当x=2时，有最小值 ；
当 时，f（x）= 为二次函数，图象开口向下，对称轴为x=2，
若f（x）在（-∞，2）上为增函数，且 ；
又由题意，函数在定义域R上单调递增，
则 ，解得 ；②
综合①②可得a的取值范围： ，即答案为 .
【点睛】
本题考查了分段函数的单调性的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．注意解题方法
的积累，属于中档题．
8．（2018·江苏省南通中学高一）已知函数 的最大值是 ，最小值为 ，
则 __．
【答案】2
【分析】
化简函数可得 ，可判 为奇函数，由奇函数的性质可得结论．
【详解】
解： ，
令 ，可得 ，
函数 为奇函数，
的最大值与最小值之和为0，
的最大值与最小值之和为2，即 ，
故答案为：2【点睛】
本题考查函数的奇偶性与最值，突出考查转化思想、创新思维与综合运算能力，属中档题．
9．（2015·上海市延安中学高一期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值
范围是__________.
【答案】
【分析】
不等式等价于 的解集是 ，分 和 两种情况讨论求实数 的取值范围.
【详解】
恒成立， 不等式等价于 的解集是 ，
当 时， 不成立，解集是 ，
当 时， ，解得： ，
综上： .
故答案为：
【点睛】
本题考查根据不等式的解集求参数的取值范围，意在考查分类讨论和计算能力，属于基础题型.
10．（2018·福建高一期中）函数 有四个零点，则 的取值范围为_______.【答案】
【分析】
函数零点转化为 的解，即函数 与直线 的交点的横坐标，由数形
结合思想可得解．
【详解】
由 得 ，作函数 的图象和直线 ，如图，
函数 在 和 上递减，在 和 上递增， ，由图象知当 时，
的图象和直线 有四个交点．即 有4个零点．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查函数的零点个数，解题时把问题转化为函数图象与直线交点个数，通过数形结合思想求解．
11．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是_____.
【答案】【分析】
根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即
可求得 的取值范围.
【详解】
当 时, ,此时值域为
若值域为 ,则当 时. 为单调递增函数,且最大值需大于等于1
即 ,解得 ，故答案为:
【点睛】
本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.
12．已知 ，则不等式 的解集是________．
【答案】
【分析】
先构造函数 ，得到 关于 对称，且单调递增，再结合对称性与
单调性将不等式 转化为 即可求解．
【详解】
构造函数 ，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到 ，的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称．
不等式 等价于 ，
等价于
结合 单调递增可知 ，
所以不等式 的解集是 ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平.
13．已知 ，则 ________.
【答案】
【分析】
等式平方相加得到 ，解得答案.
【详解】由 平方相加得 ，
即 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销量 （万件）与广告费 （万
元）之间的函数关系为 ，已知生产此产品的年固定投入为 万元，每生产1万件此产
品仍需要再投入30万元，且能全部销售完，若每件甲产品销售价格（元）定为：“平均每件甲产品生产成
本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润
比不投入广告费时的年利润增加了__________万元．
【答案】
【解析】
由题意可得，当广告费为 万元时， ，产品的生产成本为 （万元），每件销售价为
（元）， 年销售收入为 （万元）， 年利润为
（万元），若不投入广告费，则 ，产品的生产成本为 （万元），每
件销售价为 （元）， 年销售收入为 （万元）， 年利润为 （万元），故企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了 万元，故答案为 ．
15．已知 ， ，则 的最小值为_______.
【答案】
【分析】
由 ，两次利用基本不等式即可求解.
【详解】
由 ， ， ，
当且仅当 ， 时取等号，故答案为：
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题.
16．（2020·山西高三月考（文））已知定义在 上的函数 满足 ，且 的图
象与 的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.
【答案】8
【分析】
确定 的图象关于点 对称，函数 的图象关于点 对称，得到答案.【详解】
，故 ，即 的图象关于点 对称，
又函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对称，
所以四个交点的横纵坐标之和为8.
故答案为：8.
【点睛】
本题考查了函数的交点问题，确定函数关于点 对称是解题的关键.
17．对任意实数 ， 均取 ， ， 三者中的最小值，则 的最大值是
___________.
【答案】
【分析】
先在同一直角坐标系中画出函数 、 、 的图象，在不同区间上取靠下的函
数图象，组成函数 的图象，由图象即可观察出函数 的最大值，通过解直线的公共点即
可得此最值.
【详解】
由题意可知 ，函数 的图象如图：联立 ，解得 ，即点 ，
因此，函数 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了利用函数图象求函数最值的方法，理解新定义函数的意义，并能画出其图象是解决问题的
关键，属于中等题.
18．已知函数 若 互不相等，且 ，则 的取值范围是
．
【答案】（10，12）
【详解】不妨设a
