专题4-3 函数与方程零点问题综合
【题型1】零点存在定理
【题型2】二分法
【题型3】 零点个数问题
【题型4】比较零点的大小
【题型5】由零点个数求参数范围
【题型6】求零点的和
【题型7】由二次函数零点分布求参数范围
【题型8】等值线问题
【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化
【题型10】嵌套函数零点问题
【题型11】关于f(x)的方程𝑎𝑓(𝑥)2+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0 解的个数问题
图像的变换
（1）平移变换
①函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向左平移
个单位得到的；
②函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向右平移
个单位得到的；
③函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向上平移
个单位得到的；
④函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向下平移
个单位得到的；
（2）对称变换
①函数
与函数
的图像关于
轴对称；
函数
与函数的图像关于
轴对称；
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
函数
与函数
的图像关于坐标原点
对称；
②若函数
的图像关于直线
对称，则对定义域内的任意
都有
或
（实质上是图像上关于直线
对称的两点连线的中点横坐
标为
，即
为常数）；
若函数
的图像关于点
对称，则对定义域内的任意
都有
③
的图像是将函数
的图像保留
轴上方的部分不变，将
轴下方的部分关于
轴对称
翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④
的图像是将函数
的图像只保留
轴右边的部分不变，并将右边的图像关于
轴对
称得到函数
左边的图像即函数
是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：
的图像先保留
原来在
轴上方的图像，做出
轴下方的图像关于
轴对称图形，然
后擦去
轴下方的图像得到；而
的图像是先保留
在
轴右方的图像，擦去
轴左方的图
像，然后做出
轴右方的图像关于
轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数
与
的图像关于
对称．
【题型1】零点存在定理
零点存在定理及其推论
1、定理：如果函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，且
，
那么，函数
在区间
内至少有一个零点，
即存在
，使得
，这个
也就是方程
的解。
【注意】（1）定义不能确定零点的个数；
（2）不满足定理条件时依然可能有零点；
（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
（4）定理反之是不成立的.
2、重要推论：
（1）推论1：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，
，
且
具有单调性，则函数
在区间
内只有一个零点.
（2）推论2：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，
函数
在区间
内有零点，且函数
具有单调性，则
1．函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
在
上单调递增，
，
所以
的零点在区间
.
2．已知
是函数
的一个零点，若
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】因为
是函数
的一个零点，则
是函数
与
的交点的横坐标，
画出函数图像，如图所示，
则当
时，
在
下方，即
；
当
时，
在
上方，即
，
3．（23-24 高一下·河南漯河·期末）函数
，则“
”是“函数
在
上
存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】首先得出“函数
在
上存在零点”的充要条件是
的取值范围是
，进
一步结合必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】设方程
即方程
在
上存在零点，
令
，显然
在
上单调递减，
而
，所以
的值域为
，
所以函数
在
上存在零点当且仅当
的取值范围是
，
所以“
”是“函数
在
上存在零点”的必要不充分条件.
【巩固练习1】方程
的解所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.
【详解】令
，
在
上连续，且单调递增，
对于A，因为
，
，
所以
的零点不在
内，所以A 错误，
对于B，因为
，
，
所以
的零点不在
内，所以B 错误，
对于C，因为
，
，
所以
的零点在
内，所以方程
的解所在区间为
，所以C 正确，
对于D，因为
，
，
所以
的零点不在
内，所以D 错误
【巩固练习2】已知
是函数
的一个零点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
在区间
上单调递减，函数
在区间
上单调递减，
故函数
在区间
上单调递减，
又
，
所以
，
因为
，
，
由单调性知
，即
．
【题型2】二分法
对于在区间
上连续不断且
的函数
，通过不断把函数
的零点所在的
区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4．用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，
因为函数
在
上都是增函数，
所以函数
在
上是增函数，
，
所以函数
在区间
上有唯一零点，
所以用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是
.
5．用二分法研究函数
的零点时，第一次计算，得
，
，第二次
应计算
，则
等于（ ）
A．1
B．
C．0.25
D．0.75
【答案】C
【解析】因为
，
，所以
在
内存在零点，
根据二分法第二次应该计算
，其中
【巩固练习1】已知函数
(
)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.51
2
1.099
由二分法,方程
的近似解(精确度0.05)可能是（ ）
A．0.625
B．-0.009
C．0.5625
D．0.066
【答案】C
【解析】
在
上单调递增.
设近似值为
，
由表格有
，
所以
【巩固练习2】已知函数
，在区间
内存在一个零点，在利用二分法求函数
近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解.
【详解】由函数
为单调递增函数，且在
内存在一个零点，
又由
，则
，
第一次用二分法，由
，
因为
，可得
，即
，可得
，所以
，
所以确定函数的零点所在区间为
；
第二次用二分法，由
，
因为
，可得
，即
所以
，所以确定函数的零点所在区间为
，
所以第二次求得的区间的中点值为
.
【巩固练习3】一块电路板的
线段之间有
个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落
造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）
A．
次
B．
次
C．
次
D．
次
【答案】B
【解析】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要
次检测，则
，
即
，因为
，故
的最小值为
，即至少需要检测
次.
【题型3】 零点个数问题
零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令
，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2 、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间
上是连续不断的曲线，且
，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
的图象，函数
的图象与
轴交点
的个数就是函数
的零点个数；
（2 ）两个函数图象：将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，则函数
的零点个数就是函数
和
的图象的交
点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
6．函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】令
，得
，画出函数
与
的图象，
可得这两个函数在
上的图象有唯一公共点，
故
的零点个数为1．故选：B
7．函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】通过图形可以得出
有3 个零点
【巩固练习1】函数
在定义域内的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】函数
分别是R 上的减函数和增函数，则函数
是减函
数，
而
，
，
所以函数
在R 上的零点个数是1.故选：B
【巩固练习2】方程
的解的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2 或3 或4
【答案】A
【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可.
【详解】方程
的解的个数，
等价于函数
和函数
的图象的交点个数，
作出两函数的图象，如图所示．
数形结合可得，函数
和函数
的图象的交点个数为2，
故方程
的解的个数为2．
【巩固练习3】已知函数
则函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由题意可知，
的零点个数可以转化为
和函数
的图象交点个数，
它们的函数图象如图所示.故选：C．
【题型4】比较零点的大小
利用数形结合、等价转化等数学思想,将函数零点问题转化成图象交点，作出函数的图象，再根据
图象求结果.
8．（23-24 高一上·河北唐山·期末）若函数
，
，
的
零点分别为
，
，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果.
【详解】由
，得到
，由
，得到
，
由
，得到
，
在同一直角坐标系中，作出函数
的图象，如图所示，
由图知，
故选：B.
9．（24-25 高一上·全国·课后作业）设
，
，
均为实数，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论.
【详解】由题意得
，分别是函数
与
，
，
图象的交
点横坐标．
在同一坐标系内作出函数
，
，
，
的图象，
如图所示，由图可得
．
10．（23-24 高一上·山东日照·期末）若
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由
可得
，
，
，由
，得
，
，在同一个平面直角坐标系作出
，
和
的图象，结合图象可得结果.
【详解】因为
，而当
时，
，当
时，
，
所以
，
因为
，而当
时，
，所以
，
因为
，而当
时，
，所以
，
由
，得
，
，
所以
为
和
图象交点的横坐标，为
和
图象交点的横坐标，
在同一个平面直角坐标系作出
，
和
的图象，如图所示，
由图可得
综上
，
故选：A
11．（23-24 高一上·北京丰台·期末）函数
，
，
的零点分
别为
，
，，则
，
，，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可.
【详解】令
，即
，
令g(x)=0，即
，
令
，即
，分别作出
，
，
和
的图象，
如图所示：
由图象可知：
，所以
.
故选：
.
12．（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程
的两根为
，
，则（ ）
A．
，
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出
，即可判断AD，计算出
，可判断BC.
【详解】由
可得
，
在同一直角坐标系中同时画出函数
和
的图象，如图所示：
因为
，
，
由图象可知，
，
所以
故A，D 错误；
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，故B 错误，C 正确.
【巩固练习1】（23-24 高一下·广东揭阳·期末）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，
，由其单调性结合图象得出大小关系.
【详解】构造函数
，
，
所以
，
，
因为
均为
上增函数，则函数
，
为增函数.
函数
，
与函数
的图象，如下图所示：
由图可知，
.
又
，
，
所以
.
综上，
.
【巩固练习2】（2024·广东梅州）三个函数
，
，
的零点分别为
，则
之间的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.
【详解】因为函数
，
，
，
都是增函数，
所以函数
，
，
均为增函数，
因为
，
所以函数
的零点在
上，即
，
因为
，
所以函数
的零点在(2,3)上，即
，
因为
，
所以函数h(x)的零点在(0,1)上，即
，
综上，
．
【巩固练习3】（23-24 高一下·河南·开学考试）已知函数
的零点分别是
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，从而将问题转化为
、
、
与
交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令
，得
，
则
为函数
与
交点的横坐标，
为函数
与
交点的横坐标，
为函数
与
交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出
和
的图象，如图所示，
由图可知，
.
【巩固练习4】（23-24 高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数
的零点分别为
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解.
【详解】因为函数
的零点分别为
，
可转化为
与三个函数
的交点的横坐标为
，
在同一坐标系下，画出函数
与函数
的图象，
如图所示，
结合图象可得：
.
【题型5】由零点个数求参数范围
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象，利用数形结合的方法求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.
13．设函数
，若函数
恰有3 个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，设函数
，令
，即
，
所以问题转化为
，
有3 个交点；
在坐标系内，作出函数
的图像如下所示，
结合图象可知，
，故实数
的取值范围为
.
故选：B
14．（2018·全国·高考真题）已知函数
．若g（x）存在2 个零
点，则a 的取值范围是
A．[–1，0）
B．[0，+∞）
C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
【答案】C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2 个零点，得到方程
有两个解，将其转化为
有两个解，即直线
与曲线
有两个交点，根据题中所给的函数解析式，
画出函数
的图像（将
去掉），再画出直线
，并将其上下移动，从图中可以发
现，当
时，满足
与曲线
有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数
的图像，
在y 轴右侧的去掉，
再画出直线
，之后上下移动，
可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程
有两个解，
也就是函数
有两个零点，
此时满足
，即
，故选C.
15．已知函数
若函数
有四个不同的零点，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将函数
有四个不同的零点，转化为函数
与
图象由四个交点，
再数形结合即可解答.
【详解】
依题意，函数
有四个不同的零点，即
有四个解，
转化为函数
与
图象由四个交点，
由函数函数
可知，
当
时，函数为单调递减函数，
；
当
时，函数为单调递增函数，
；
当
时，函数为单调递减函数，
；
当
时，函数为单调递增函数，
；
结合图象，可知实数
的取值范围为
.
16．已知函数
有唯一零点，则负实数
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【解析】函数
有唯一零点，
设
则函数
有唯一零点，
则
设
∴
为偶函数，
∵函数
有唯一零点，
∴
与
有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0，
解得
或
（舍去）
17．已知函数
有唯一零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】设
，定义域为R,
∴
，
故函数
为偶函数，则函数
的图象关于y 轴对称，
故函数
的图象关于直线
对称，
∵
有唯一零点，
∴
，即
．
18．（24-25 高一上·福建厦门·期中）已知
是定义在R上的偶函数，且对
，都有
，且当
时，
.若在区间
内关于
的方程
至少有2 个不同的实数根，至多有3 个不同的实数根，则实数
的
取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据题意分析函数
的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数
在
上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.
【详解】由
，可得：
，
又因为
是定义在R 上的偶函数，
则f (−x)= f (x)，且函数
图象关于
轴对称，
所以
，即
的周期为4，
作出函数
在
上的图象，
根据
对称性及周期为4，可得出
在
上的图象：
令
，
若在区间
内关于
的方程
至少有2 个不同的实数根，
至多有3 个不同的实数根，
则函数
与函数
在
上至少有2 个不同的交点，
至多有3 个不同的交点，
所以
，即
，解得
.
【巩固练习1】（23-24 高一下·云南昆明·期中）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出分段函数图象，数形结合，再用图象交点问题解题即可.
【详解】画出
的图象如图所示.
因为方程
有四个不同的解
，
故
的图象与
的图象有四个不同的交点，又由图，求得
，
，
故
的取值范围是
.
【巩固练习2】（23-24 高一上·天津·期末）已知函数
若函数
有三个零点，则实数
的取值范围 .
【答案】
【分析】转化为y = f (x)与
的图象有3 个交点，做出y = f (x)的图象，结合图象可得答案.
【详解】若函数
有三个零点，
则y = f (x)与
的图象有3 个交点，
，
当
时，
，
当
时，
，
与
轴的交点为(0,2)，
的大致图象如下，
要使y = f (x)与
的图象有3 个交点，
则
，解得
，或
.
故答案为：
.
【巩固练习3】已知关于
的函数
有唯一零点
，则
（ ）
A．
B．3
C．
或3
D．4
【答案】B
【解析】
，令
，
则有
是偶函数，
若只有唯一零点，则必过原点，即
，从而
.
当
时，有3 个零点，舍去.
故
，此时
，则
，故
.
【巩固练习4】设
，函数
若
恰有一个零点，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】画出函数
的图象如下图所示：
函数
可由
分段平移得到，
易知当
时，函数
恰有一个零点，满足题意；
当
时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当
时，图象往下平移，当
时，函数有两个零点；
当
时，
恰有一个零点，满足题意，即
；
综上可得的取值范围是
.
【题型6】求零点的和
零点的和一般通过函数图像对称性来求
19．（23-24 高一上·湖南益阳·期末）已知函数
，
，
的零点分别为a，b，c，则
．
【答案】3
【分析】先把
转化为函数
，
，
与
的交点的横坐标，再利用
与
互为反函数，可得
，又
，所以
.
【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数
，
，
的图象，它们的图象与函
数
的交点的横坐标就是
.
因为
，
互为反函数，其图象关于直线
对称，
与
垂直，所以
.
又
，所以
.
所以
.
20．函数
的所有零点之和为（ ）
A．0
B．-1
C．
D．2
【答案】A
【分析】令
，即
，构造函数
与函数
，画出函数图象，可知
两个函数图象相交于两点，设为
，得
，进而得到
，即
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程
的实数根，令
，
则
，显然
，所以
，
构造函数
与函数
，则方程
的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数
有两个零点，
设为
，所以
，
，
即
，
另外发现，将
代入，可得
，
所以
也是函数
的零点，说明
，即
.
故选:A.
21．（23-24 高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数
的定义域为R，且
是奇函数，当
时，
，函数
，则方程
的所有的根之和为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和.
【详解】由题知
是奇函数,则有：
, f (x)关于
对称，
且
, x>1时，
,
恒过
，且
关于
对称，
方程
的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和，
根据
对称性及解析式画出图象如下：
由图像可知
有5 个交点，其中一个交点横坐标为1,
另外四个，两两分别关于
对称， 故五个交点横坐标和为
, 即所有根之和5.
22．（贵州省毕节市2023-2024 学年高一下学期期末联考数学试题）已知
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由题意可得
的零点为函数
与
交点的横坐标，
的零点为函数
与
交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果.
【详解】由题意可得
的零点为函数
与
交点的横坐标，
因为
和
在
上递增，所以
在
上递增，
所以
为
唯一的零点，设函数
与
交点为
，
的零点为函数
与
交点的横坐标，
因为
和
在
上递减，所以
在
上递减，
所以
为
唯一的零点，设函数
与
交点为
，
因为
与
的图象关于直线
对称，
与
的图象关于直线
对称，
所以
关于直线
对称，所以
.
故选：B
23．（23-24 高一上·江苏·阶段练习）设
满足
，
满足
，则
.
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数并探讨其单调性，借助函数零点确定
与
得解.
【详解】令函数
，而函数
在
上都是增函数，因此函数
是增函
数，
由
满足
，得
，即
，于是
，
由
满足
，得
，因此
，而函数
在
上递增，
于是
，即
，所以
.
24．已知定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
.设
，则
与
图象的所有交点的横坐标之和为 .
【答案】
【分析】由
可得
关于
对称，结合
为偶函数可得
周期，由
h(x)解析式可得该函数也关于
对称，即可由对数函数及幂函数图象将
与h(x)图象画在
同一直角坐标系中，结合图象与函数对称性即可得到
与h(x)图象的所有交点的横坐标之和.
【详解】由
为偶函数，故
，即
，
由
，故
关于
对称，且
，
即有
，故
周期为
，则
也关于
对称；
由
，故
，
由
，
即h(x)关于
对称，
由x∈[0,2]时，
，作出
及h(x)图象如图所示：
当
时，
，
，
故当
时，
与h(x)图象无交点，
由图象可知，当
时，
，有一个交点(2,0)，
当
时，
与h(x)图象存在一个交点，设该点横坐标为
，
则结合函数对称性可知，当
，
与h(x)图象必有两交点，且两交点横坐标分别为
，
，
故
与h(x)图象的所有交点的横坐标之和为
.
【巩固练习1】（23-24 高一上·河北石家庄·期末）设函数
的零点为
，函数
的零点为
，则
.
【答案】6
【分析】根据
的零点即为
与
的交点之横坐标，
的零点即为
与
的交点之横坐标，且
与
互为反函数，即图象关于
对称，且
与
垂直，所以
和
与
的交点也关于
对称，据此求解
【详解】解：令
得
，则
的零点
即为
与
的交点
之横坐标，
同理函数
的零点
为
与
的交点之横坐标，
又
与
互为反函数，即它们的图象关于
对称，且
与
垂直，
所以
和
与
的交点也关于
对称，
由
解得两直线交点为
， 所以
.
【巩固练习2】（湖北省鄂东南2024-2025 高一上期中联考）设函数
关于x 的
方程
有三个不等实根
，且
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出函数图象，数形结合得到
，
，求出答案.
【详解】画出函数
的图象，观察图形知，仅当
时，方程
有三个不等实根，
分别对应直线
与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设
，显然
关于
对称，则
，
另一个交点位于直线
上，在
中，当
时，
，即
，
因此
，所以
.
【巩固练习3】（山东省泰安市肥城市2023-2024 学年高一上学期11 月期中考试数学试题）已知函
数
，方程
有三个解
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】变换得到
，设
，确定函数为奇函数，得到
，
，计算得到答案.
【详解】
，
，即
，即
，
设
，函数定义域为
，
，
函数
为奇函数，
，
不妨取
，则
，
，
.
【巩固练习4】（广东省珠海市高一上学期11 月联考）若
，
分别是方程
，
的根，则
（ ）
A．
B．2023
C．
D．4046
【答案】A
【分析】由于
的图像与
图像关于直线
对称，而直线
也关于直线
对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出
的值.
【详解】
由题意可得
是函数
的图像与直线
交点
的横坐标，
是函数
图像与直
线
交点
的横坐标，
因为
的图像与
图像关于直线
对称，而直线
也关于直线
对称，
所以线段
的中点就是直线
与
的交点，
由
，得
，即线段
的中点为
，
所以
.
【题型7】由二次函数零点分布求参数范围
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般
考虑以下几方面：
1.
开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）.
2.
判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成
立）
3.
判定△符号.
4.
判定对称轴的位置.
总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去
分析就可以得到结论，无需记忆.
（1）二元二次方程在
上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根
;
②方程有两个相等的实数根
;
③方程没有实数根
（2）一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根
；
②方程有两个不等负根
③方程有一正根和一负根,设两根为
（3）一元二次方程
的根的“
”分布
①两根都小于
；
②两根都大于
③一根小于
，一根大于
（4）一元二次方程根
在区间的分布
①两根都在
内
②两根都在
外
③两根仅有一根在
内
④一根在
内,另一根在
内
25．（24-25 高一上·全国·期中）如果函数
的两零点分别落在区间
和
上，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程根的分布列出不等式求解即可.
【详解】
为开口向上的抛物线，
由题意可得：
，即
解得：
.
26．（高一上·江苏徐州·阶段练习）方程
的两个根均大于1，则实数m 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】结合二次函数的图像和性质，根据一元二次方程根的分布，求参数的范围.
【详解】设
，因为
的两个实数根均大于1，
所以
，解得
，所以m 的取值范围为
．
故答案为：
.
27．（24-25 高一上·浙江宁波·阶段练习）若函数
在(−1,1)内恰有一个零点，则实
数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.
【详解】当
时，
，解得
，符合题意，则
；
当
时，二次函数
的判别式为：
，
若
，即
时，函数
的零点为
，符合题意，则
；
当
，即
时，由
，解得
且
，
则
且
；
当
时，
，方程另一根
，当
时，
，方程中一根
，则
或
，
所以实数a 的取值范围为
.
【巩固练习1】（24-25 高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数
有一个零点在区
间
内，求实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】分函数只有一个零点且在区间
内和函数有两个零点，且一个零点在
上两种情况
讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】当函数只有一个零点，则
，解得
；
当函数有两个零点，且一个零点在
上时，则
，
即
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
或
.
【巩固练习2】（24-25 高一上·江苏无锡·期中）若二次函数
在区间
上存在
一个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的判别，结合二次函数以及零点存在性定理，可得答案.
【详解】由题意可得方程
在
上存在一个根，
，
由函数
，则其对称轴为直线
，
当
时，
，可得
，解得
；
当
时，
，可得
，显然无解.
综上所述，
.
【巩固练习3】（24-25 高一上·辽宁·期中）已知函数
至少有一个零点在区
间
内，求实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】C
【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案.
【详解】对于函数
，
，
当
，即
时，
没有零点，不符合题意.
当
，即
或
时，
当
时，
，零点为，
，符合题意.
当
时，
，零点为
，
，不符合题意.
当
，即
或
时，
有两个不相等的零点
，
至少有一个零点在区间
内，
则需
或
，
解得
，
，
另外若
，
则
，零点为
或，不符合题意.
若
，
则
，零点为
或
，
，符合题意.
综上所述，
的取值范围是：
.
【题型8】等值线问题
数形结合思想
28．（23-24 高一上·广东潮州·期末）已知函数
有两个零点分别为
和
，则
的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】不妨设
，根据对数的运算性质可得出
，则
，且
，利用
对勾函数的单调性可求得
的取值范围.
【详解】不妨设
，因为函数
有两个零点分别为
、
，
所以
，所以
，即
，即
，
所以，
，其中
，所以，
，
因为函数
在(0,1)上为减函数，当
时，
，
所以，
，故
的取值范围是
.
故答案为：
.
29．（23-24 高一上·江苏苏州·期中）已知
若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到
，
，
，求出
，得到答案.
【详解】画出
的图象，如下，
设
，则
，
令
，解得
或0，
因为
的对称轴为
，由对称性可得
，
且
，
其中
，
因为
，所以
，
故
，
又
，故
，
.
30．（23-24 高一上·宁夏石嘴山·期中）(多选)已知函数
，若存在
，
使得
，则
的取值可以是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】CD
【分析】设
，则直线
与函数
的图象有三个交点，结合函数的对
称性求出
的取值范围即可.
【详解】设
，作出函数
与
的图象，如图：
观察图形知，当
时，直线
与函数
的图象有三个交点，
点
、
关于直线
对称，则
，且函数
在
上为增函数，
由
，
，得
，因此
，
所以
的取值可以是
，
.
31．（24-25 高一上·云南昆明·期中）已知
，若
，且
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出图形，设
，数形结合可得出的取值范围，由对称性可得出
的值，由此可得出
的取值范围.
【详解】作出函数
的图象如下图所示：
设
，
由图可知，当
时，直线
与函数
的图象有三个公共点，
且点
、
关于直线
对称，则
，且
，
故
.
【巩固练习1】（23-24 高一下·广东广州·阶段练习）已知函数
．若
，
则
的零点为 ；若函数
有两个零点
，
，则
的最小值为
．
【答案】 50
【分析】空1：求解
即可；空2：作出
的图象，结合题意可得
，再根
据基本不等式求解最小值即可.
【详解】
，解得
，故
的零点为；
由题意
有两个零点
，
作出
的图象可得
，
且
，故
，即
.
故
，
当且仅当
，即
时取等号.
故答案为：5；50
【巩固练习2】（23-24 高一上·山西阳泉·期末）已知函数
，若方程
有
四个不同的解
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出函数大致图象，数形结合得
，利用对称性及对
数函数的性质有
、
，进而求目标式的范围.
【详解】由解析式可得函数大致图象如下，
由图知：
，则
，
且
，
，
所以
，又
在
上递减，则
.
【巩固练习3】（23-24 高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，则
的取值范围是
．
【答案】
【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定
，
，
，变换
，根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】画出函数
的图象，如图所示：
方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，
由
时，
，则
与
的中点横坐标为
，即：
，
当
时，由于
在
上是减函数，在
上是增函数，
又因为
，
，则
，有
，
，又
，
，
在
上递增，故取值范围是
．
【巩固练习4】（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知函数
，若
，
，
满足
，记
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】画出函数图像，结合二次函数和一次函数的性质，找出满足题意得图像段，缩小变量范围，
后将M 转化为求二次函数的值域问题.
【详解】因为
的图象是将
在
轴下方部分沿
轴翻折得到的.
满足
，则直线在如图所示两条虚线间上下平移.
令
，即
，解得
或
.
令
时，解得
.
令
，即
，解得
或
.
令
时，解得
.
画出草图如下：
由
，
，知
，
，
又因为
，由函数的对称性，此两点关于
对称，则
.
令
，
则
，
，
则
，
，
，对称轴为
，则
在
单调递减.
.则
的取值范围为
.
【巩固练习5】（2024 高一上·江苏·专题练习）已知
，若
互不相等且
，且
，则
的范围是 ．
【答案】
【分析】画出函数
的大致图象，根据图象知
，
，且
，
，再建立
的函数并结合对勾函数求出范围.
【详解】函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
，
画出
的图象，如图，
因为
，由
，得
，
，
，
由
，得
，即
，由
，得
，
于是
，由对勾函数性质知，
在
上递增，则
，
所以
的范围是
．
【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化
函数零点题型常涉及求解方程根、判断函数图像与x 轴交点等。指数式与对数式互化题型则注重转
换技巧，如给定指数式求对数式表达，或利用对数定义解指数方程。两类题型均考验数学基础与逻
辑转换能力。
32．（24-25 高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数
（其中为自
然对数的底数）.设
分别为f (x),g(x)的零点，则
.
【答案】3
【分析】利用
，结合
的单调性求解即可.
【详解】
分别为f (x),g(x)的零点，
故
，
因为
，所以
，且
，
因为函数
为增函数，且
，
故
，所以
.
33．已知
是函数
的零点，则
.
【答案】
【分析】根据题意列出方程，进而得到
进行求解即可.
【详解】由题可知，
，
所以
，
令
,则f (x)单调递增，且
,
所以
，所以
，
所以
.
34．（23-24 高一上·四川南充·阶段练习）已知
是函数
的零点，则
.
【答案】1
【分析】首先由
可得
，然后构造函数
，由
的单调性以
及
得
，则
的值可求.
【详解】令
，
，
由于
，所以
，即
，
令
，则
，因为
在
上均大于0，且单调递增，
所以
在
上单调递增，所以
，
，所以
.
【巩固练习1】（23-24 高一上·湖南长沙·期末）已知
分别是函数
与
的零点，若
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】
分别为
与
图象交点的横坐标，而
与
的图象关于直
线
对称，直线
与直线
垂直，从而可得
，再得出
的范围后即可得结论．
【详解】由题意，
分别为
与
图象交点的横坐标，
而
与
的图象关于直线
对称，直线
与直线
垂直，
因此这两个交点关于直线
对称，如图所示：
，
∵
，∴
，
.
故答案为：
．
【巩固练习2】（23-24 高二下·山东菏泽·阶段练习）设
是函数
的零点，则
．
【答案】3
【分析】根据零点的定义，结合对数与指数互化公式，通过构造新函数，利用新函数的单调性进行
求解即可.
【详解】由题意，
．
注意到
，
所以
，
在
两边同时加上
，
即
，
即
，
设函数
，显然该函数是实数集上的增函数，
由
，
即
即
，
所以
【巩固练习3】（23-24 高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知
是函数
的零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对A：根据零点存在定理，即可判断零点范围；对B：
，两边取对数，即可判
断；对C：
，结合
的范围，即可得到
，从而进行判断；对D：根据
的
范围，再结合指数函数单调性，即可判断.
【详解】
均为单调增函数，故
为单调增函数；
对A：因为
，故
，故A 错误；
对B：因为
，故
，两边取对数可得
，故B 正确；
对C：
，故
，则
，则
，故C 错误；
对D：因为
，
，故
，则
，
，故D 错误.
【巩固练习4】（23-24 高一上·江西宜春·阶段练习）已知
的零点为
，若
，则整数
的最大值是 .
【答案】
【分析】根据题意分析
的零点
，
，得到
，通过判断
的范围即可得到答案.
【详解】函数
的定义域为
，
当
时，
恒成立，不存在零点；
当
时，
单调递增，且
，
，
所以
的零点
，
，
即
，两边同时取对数，即
，即
，
所以
，所以
，
记
，
显然，
单调递减，所以
，
所以
，所以整数
的最大值是0.
【题型10】嵌套函数零点问题
数形结合与换元法
对于嵌套型复合函数
的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数
和外层函数
；
（2）确定外层函数
的零点
；
（3 ）确定直线
与内层函数
图象的交点个数分别为，
则函数
的零点个数为
.
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
35．（23-24 高一上·陕西西安·阶段练习）定义域和值域均为[−a,a]（常数
）的函数y = f (x)
和y = g(x)图象如图所示，则方程
有 个解．
【答案】3
【分析】先利用换元法将方程
根的问题转化方程
及
根的问题，由图象
可得方程
在
上有三个实数解，结合函数
的单调性及值域即可求解.
【详解】令
则
，
由函数
的图象可得：方程
有个解
，其中
由函数
的图象可知：函数
在
上单调递减
又因为
值域为
所以对于每一个
，都存在唯一的
与之对应.
所以方程
有个解.
36．已知函数
若关于
的方程
有且仅有两个实数根，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换元法设
，则方程等价为
，根据指数函数和对数函数图象和性质求
出
，利用数形结合进行求解即可．
【详解】令
，则
．
①当
时，若
；若
，由
，得
．
所以由
可得
或
．
如图所示，满足
的
有无数个，方程
只有一个解，不满足题意；
②当
时，若
，则
；若
，由
，得
．
所以由
可得
，当
时，由
，可得
，
因为关于
的方程
有且仅有两个实数根，则方程
在
]上有且仅有一个实
数根，
若
且
，故
；
若
且
，不满足题意．
综上所述，实数
的取值范围是
37．已知函数
，则
至多有______个实数解.
【答案】7
【解析】由
可得
，由
知
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
在
单调递增，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
，
在
单调递增，
则可作出函数
的大致图像如图：
三个图分别对应
时的情况，
设
，则
即
，
则
的解的个数问题即为
的交点个数问题，
结合
的图象可知
的交点个数最多是3 个，
即为图2 个和图3 所示情况，
不妨设交点横坐标为
，当如图2 所示时，
，
此时
无解，
有1 个解，
最多有3 个解，
故此时最多有4 个解；
当如第3 个图所示时，
，
此时
有一个解，
最多有3 个解，
最多有3 个解，
故此时最多有7 个解
38．已知
，若
只有5 个不同的实根，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
【分析】令
，本题转化为
中x 的解的个数为5，作出函数图象，根据嵌套函数的
性质一一分析即可.
【详解】令
，本题转化为
中x 的解的个数为5.
，当
时，令
，解得
或，
，当
时，令
，解得
，
则作出
的图象,如下图所示，
当
时，
有两个根，
，
，则
有1 个实数根，
当
时，
有3 个根，
时有两个根，
故共有3 个或4 个根，故舍去；
当
时，此时
有3 个根，
，
，
，
有1 个根，
有1 个根，
时，
有1 个根，不合题意；
时，
有2 个根，不合题意；
时，
有3 个根，
此时满足题意共5 个根的情况，而
，则
；
当
时，
有两个根，
，
，
有1 个根，
有1 个根，共有两个根，不合题意舍去；
当
时，
有1 个根，
，此时共1 个根，舍去.
综上所述：实数a 的取值范围是
.
【巩固练习1】（23-24 高一上·浙江金华·期末）已知函数
则方程
的所有根之积为 ．
【答案】
【分析】解方程
，可得出该方程的根，再将所有根全部相乘，即可得解.
【详解】令
，由
可得
，
当
时，由
，即
，则
，即方程
无解；
当
时，由
，可得
或
.
（1）当
时，当
时，由
可得
，
解得
，
，
当
时，由
可得
，
；
（2）当
时，当
时，由
可得
，
，方程
无解，
当
时，由
可得
，
，
因此，方程
的所有根之积为
.
【巩固练习2】（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知函数
为
上的奇函数，当
时，
，若函数
满足
，且
有8 个不同的解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到
与
的解析式，设
，作出函数
的图象，数形结合，分类讨论函数
、
与
三种情况，得到对应情况下
的解的个数，从而得解.
【详解】因为函数
为
上的奇函数，当
时f (x)= x
2−2 x，
令
，则
，则
，
又
所以
，则
，
设
，作出函数
的图象，
对于A，当
时，函数
没有实数根，不满足题意；
对于B，当
时，函数
有四个根
，
其中
，
，
，
；
作出
与
、
、
与
的图象，如图，
显然几个函数恰有8 个交点，则
有8 个不同的解，故B 正确；
对于CD，当
时，函数
有两个根
，其中
，
，
与选项B 同理可知
与
、
各有一个交点，
则
只有2 个不同的解，不满足题意，故CD 错误.
【巩固练习3】（24-25 高一上·江苏连云港·期中）已知函数
，则函数
的零点为 .
【答案】4
5
【分析】由题意可将方程
转化成
，
再利用函数单调性即可求得其零点.
【详解】易知将
化简可得：
；
令函数
，显然
的定义域为
，
且满足
，因此即可得函数
为奇函数，且
为单调递增，
若
，解得
；
令
，可得
，解得
；
即可得函数
的零点为
.
【巩固练习4】（24-25 高一上·江苏泰州·阶段练习）若
和
都是R 上的函数，且
有实数解，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】这是一个抽象函数与方程的问题，如何化抽象为具体，则需要根据题意转换变量，即可得
到
方程至少有一解，从而检验四种可能，通过是否有解来作出判断.
【详解】设
有实数解
，则
，
因为
和
都是R 上的函数，
所以有
，再令
，
则有
，从而可知
至少有一个解是，
对于A，由
，此方程有解，故A 正确；
对于B，由
，此方程无解，故B 错误；
对于C，由
，此方程有解，故C 正确；
对于D，由
，此方程有解，故D 正确
【题型11】关于f(x)的方程𝑎𝑓(𝑥)2+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0 解的个数问题
先换元再因式分解，最后数形结合
39．已知
则函数
的零点个数是______．
【答案】7
【解析】函数
的零点即为方程
的根，解方程
得
或
．
作出函数
的图像，如图所示．
由图像知直线
与
的图像有4 个交点，直线
与
的图像有3 个交点．
因此函数
的零点有7 个．
故答案为：7
40．（24-25 高一上·浙江·期中）已知
，若函数
有5 个不同的零点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】令
，画出f (x)的图象，要使函数
有5 个不同的零点，即
函数
有两个零点即
，
或
，
，再结合二次函数根的分
布即可求解.
【详解】令
，画出f (x)的图象，如下图，
要使函数
有5 个不同的零点，
即函数
有两个零点
，
或
，
，
当
，
时，即
，所以
有两根
和，符合题意；
当
，
时，又因为
，
所以
，解得
.
综上所述：
的取值范围为
.
41．（23-24 高一上·河南南阳·期末）已知函数
有3 个不同的零点
则实数
的取值范围是
；若
，则
.
【答案】
/
【分析】令
，得到
或
，结合
的图象求解计算即可.
【详解】令
，
解得
或
.
作出
的图象如图.
要使
有3 个不同的零点，
则
的图象与直线
和
一共有3 个交点，
由图可知当
即
时，
的图象与直线
有1 个交点，与直线
有
2 个交点，符合条件.
易得
，所以
，即
，
不妨设
，由
，得
，
由
，得
，
所以
.
故答案为：
【巩固练习1】已知
，则函数
的零点个数是 .
【答案】6
【分析】先由函数的零点转化为方程
和2 的根，再利用数形结合求出零点个数即可；
【详解】令
，即
，
解得
或2，
画出
图象，如下：
由图可知，实线和虚线共有6 个交点，所以函数
的零点个数是6.
【巩固练习2】（23-24 高一下·贵州六盘水·期中）已知函数
，关于x 的方程
恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是 .
【答案】
或
【
分
析
】
作
出
的
图
象
，
由
，
得
，所以
或
，所以
与
和
的图象共3 个公共点，结合图象分析求解即可.
【详解】作出
的图象：
因为
，故
，
解得：
或
，
由题意，
与
和
的图象共3 个公共点，
由图象可得
或
，
故
或
，
所以
的取值范围为
或
.
故答案为：
或
.
【巩固练习3】（24-25 高一上·吉林长春·期中）设函数
，若关于
的方程
恰有三个不相等的实根，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先画出函数
的图象，再结合题意，令
，可得关于的方程
有两个不相等的实数根，一个根在(0,1)上，一个根为0 或一个根在(0,1)上，一
个根为1 或一个根在(0,1)上，一个根在(1,+∞)上，分类求解即可.
【详解】如图，画出函数
的图象：
关于
的方程
恰有三个不相等的实根，
令
，则关于的方程
有两个不相等的实数根，
一个根在(0,1)上，一个根为0 或一个根在(0,1)上，一个根为1 或一个根在(0,1)上，一个根在
(1,+∞)上.
当一个根在(0,1)上，一个根为0 时，
则
，即
，此时方程为
，解得
或
，符合题意；
当一个根在(0,1)上，一个根为1 时，
则
，即
，此时方程为
，解得
，不符合题意；
当一个根在(0,1)上，一个根在(1,+∞)上时，
设
，
则
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出函数
的图象，令
，转化问题为关于
的方程
有两个不相等的实数根，进而分类求解即可.
【巩固练习4】（23-24 高一上·广东湛江·期中）设
，若关于x 的方程
有三个不同的实数根，则实数t 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出函数
的图象，由题意可得
或
，
的图象与直线
共
有三个不同的交点，从而可求出实数t 的取值范围.
【详解】由
得
或
，作出函数
的图象，
易知当
时，不符合题意；
当
时，
，结合函数
的图象知，要使方程
有三个不同的解，需
满足方程
有两个解，方程
有且只有一个解，
由图象知
，所以
．
故选：C．
【巩固练习5】（24-25 高一上·浙江杭州·期中）已知函数
，若关于
的方
程
有5 个不同的实数根，则
的取值范围为 ․
【答案】
【分析】由方程可得
或
，将方程有5 个不等的实数根等价于
与的图
象与直线
和
共有五个交点，再作出
的图象，数形结合求出
的范围.
【详解】当
时，
在
上单调递增，函数值集合为
，
在
上单调递减，函数值集合为
，
当
时，
在
上单调递增，函数值集合为
，
函数
的图象如下：
方程
化为
，解得
或
，
方程
有5 个不等的实数根，
等价于
与的图象与直线
和
共有五个交点，而
，
因此
或
，解得
或
，
所以
的取值范围为
.
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