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重难点 2-5 利用导数研究零点与隐零点
导数综合问题中的零点问题在高考中常以解答压轴题的形式出现。主要包含函数零点个数判断与证明。主
要考查：根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等，
在高考中难度偏大。
【题型1 判断函数零点的个数】
满分技巧
1、判断函数零点个数的常用方法
（1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图。函数零点的个数问题即是函数图象与 轴交点的个
数问题．
（2）分离出参数，转化为 ，根据导数的知识求出函数 在某区间的单调性，求出极值以及
最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线 与函数 图象交点的个数问题．只需要用a
与函数 的极值和最值进行比较即可．
2、处理函数 与 图像的交点问题的常用方法
（1）数形结合，即分别作出两函数的图像，观察交点情况；
（2）将函数交点问题转化为方程 根的个数问题，也通过构造函数 ，把交点
个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况.
【例1】（2023·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习） 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由 得 ，构造函数 ，求导得
在 上单调递减，在 上单调递增， 上单调递减，且 ，及 时 ， 的图像如图，得到 有3个解.故选：D.
【变式1-1】（2023·四川成都·高三成都列五中学校考期末）函数 的图象与直线
的交点个数为 .
【答案】
【解析】令 ，则 ，
函数 在区间 上单调递增，
所以，曲线 与直线 的交点个数等于曲线 与直线 的交点个数，
作图易知，曲线 和直线 都过点 ，且都关于点 对称，
所以，曲线 与直线 的交点个数或者为 或者为 .
下面考察关于 的方程 在区间 上的解的个数，
令 ，其中 ，
则 对 恒成立，
所以，函数 在区间 上单调递增，则 ，
所以，关于 的方程 在区间 上的解的个数为 ，
因此，函数 的图象与直线 的交点个数为 .【变式1-2】（2024·云南德宏·高三统考期末）已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】当 时， ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ， ，
则存在 ，使得 ，
画出 的图象，如下：
令 ，则 ，
当 时，令 ，解得 或 ，
若 ，则 ，
结合图象可知，此时存在两个根 ， ，
若 ，则 ，
结合图象可知，此时存在 和 满足要求，
当 时，令 得 ，
此时 ，
结合图象可知，此时存在两个根 ，
综上，共6个零点，故选：C【变式1-3】（2023·四川攀枝花·统考一模）已知定义在 上的奇函数 恒有 ，当
时， ，已知 ，则函数 在 上的零点个数
为（ ）
A．4 B．5 C．3或4 D．4或5
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以函数 的周期为2，
当 时， ，则 ，
由 ，得 ，
则 ，即 ，
所以 ，即函数 在 上单调递增，
又 为 上的奇函数，所以函数 在 上单调递增，
由 ，即 ，
又 ， 为 上的奇函数， 的周期为2，
令 ，则 ，即 ，则 ，
作出函数 和 在 上的大致图象：
由图象可知，函数 和 的交点为4个或5个，
则函数 在 上的零点个数为4个或5个.故选：D.
【题型2 讨论证明函数零点的个数】
满分技巧
证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察。
利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极
值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
注意：单调性+零点存在=唯一零点【例2】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ，且函数 的
零点是函数 的零点．
（1）求实数a的值；
（2）证明： 有唯一零点．
【答案】（1）1；（2）证明见解析
【解析】（1）由 易判断 在 单调递增，
且 ， ，
所以可令 ，
得 ， 所以 ，
由题意 ，即 ，所以 ；
（2） ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以 ，
结合（1）可得存在唯一 ，使得 ，即函数 有唯一零点.
【变式2-1】（2023·全国·高三校联考开学考试）已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线；
（2）若对任意 ，当 时，证明函数 存在两个零点．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则 ， ，
此时切线方程为 ，即 ；
（2）证明：函数 存在两个零点，得方程 有两解，即 存在两解．
令 ，则 ，
令 ，因为 ，
所以 在 上为单调递减函数，
由 ， ，
所以存在 ，使得 ，
且 ， ， ， ，
所以 在 上递增，在 上递减．
所以 ，
由 ，且 ，
则任意 ， 时，函数 与 有两交点，
故函数 存在两个零点．
【变式2-2】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中 ．
（1）若 的极小值为 ，求 单调增区间；
（2）讨论 的零点个数．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）由题 ，得 ，其中 ，
当 时， ， 单调递增， 无极值；
当 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ，
所以当 时， 取得极小值 ，
所以 ，解得 ．单调增区间 和 ；
（2）由（1）知当 时， 的极小值为 ，
的极大值为 ， ，
所以 在区间 有1个零点，
当 ，即 时，因为 ， ，
所以 在区间 各有1个零点，因此 有三个零点，如图①曲线；
当 ，即 时， 有两个零点，如图②曲线；
当 ，即 时， 有一个零点，如图③曲线；
当 时， ，易知 有一个零点．
综上，当 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点；
当 时， 有三个零点.
【变式2-3】（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数 ．
（1）若 是 的极值点，求 ；
（2）讨论函数 的零点个数．
【答案】（1） ；（2）当 时，1个；
当 时，2个；当 时，3个；
【解析】（1）由已知可得，函数 定义域为 ，且 ，
所以 .
又 是 的极值点，所以 ，解得 .
代入 可得， .
设 ，
则 在 上恒成立，所以 单调递增.
又 ，
所以，当 时，有 ，即 ，所以， 在 上单调递减；
当 时，有 ，即 ，
所以， 在 上单调递增.
所以， 在 处取得极小值，满足题意.
所以， .
（2）由已知可得， ， ，且 ，
显然 ，且 .
令 ，则 .
①当 时， 恒成立，所以， 在 上单调递减.
又 ，此时 只有一个零点；
②当 时， ，此时有 恒成立，
所以， ，即 在 上单调递增.
显然 时，有 ，则 ； .
且 ，
， .
当 时，1个；当 时，2个；
当 时，3个；
【题型3 根据函数零点个数求参数】
满分技巧
1、分离参数 后，将原问题转化为 的值域（最值）问题或转化为直线 与
的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；
2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；
3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。
【例3】（2024·重庆·统考一模）（多选）已知函数 ，则 在 有两个不同
零点的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因为 ，
令 ，则 ，
令 ，
则 ，
注意到 ，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
则 ，且当 趋近于 或 时， 都趋近于 ，
若 在 有2个不同零点的充要条件为函数 与 图象在第一象限有2个交点，
所以 ，即 有2个零点的充要条件为 ，
若符合题意，则对应的取值范围为 的真子集，
结合选项可知：A错误，BCD正确；故选：BCD.
【变式3-1】（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知函数 若函数 有3
个零点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
当 时， .
当 时， ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减.
当 时， .
画出函数 的图象如图所示：
因为函数 有3个零点，
所以 与 的图象有3个交点，由图知： .
所以 的取值范围为 ，故选：B
【变式3-2】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）已知函数
（1）求曲线 在 处的切线方程
（2）若函数 在区间 上恰有两个不同的零点，求实数 的取值范围
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）函数 ，求导得 ，
令 ，得 ，则 ， ，显然 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由（1）知， ， ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， .
令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上递减，在 上递增，
，即 ，则 ，
因此 ，
显然函数 在 上单调递增，函数值集合为 ，
从而函数 在 上的函数值集合为 ，
函数 在 上恰有两个不同的零点，
则当且仅当 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【变式3-3】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 有且仅有1个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） 时， ，所以 ，
则 ，所以 在 处的切线方程为 ；
（2）①由上知 时， ，
有 ，
令 ，
即 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 时， ， 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，此时 只有一个零点，符合题意；②当 时， ，且 ，
所以 ，
设 ，
显然 时 ，即此时 单调递增， 时 ，此时 单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以根据零点存在性定理可知 使得 ，
又 ，
易知 ，所以 ，
由上证得 ，
即 ，故 使得 ，
所以此时 至少存在两个零点，不符题意；
③ 时， ，
由①可知 ，所以此时 无零点，不符合题意；
综上所述 时， 有且仅有1个零点.
【题型4 max、min函数的零点问题】
【例4】（2022·江苏徐州·高三期末）设 ，若函数 有
且只有三个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
又因为对于任意 ，在 总存在 ，使得 ，
在 上由于 的增长速率比 的增长速率要快得多，
所以总存在 ，使得 ，
所以 在 与 上都趋于无穷大；
令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，故 ，
.
因为函数 有且只有三个零点，
而 已经有唯一零点 ，所以 必须有两个零点，
则 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ，
即 在 处取不到零点，故 至多只有两个零点，不满足题意，
当 时， ，
则 ，所以 在 处取得零点，
结合图像又知 与 必有两个交点，
故 在 与 必有两个零点，
所以 有且只有三个零点，满足题意；
综上： ，即 ，故选：C.
【变式4-1】（2022·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数
.
（1）若过点 可作 的两条切线，求 的值.
（2）用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论 零点的个数.
【答案】（1） 或 ；（2）答案见解析【解析】（1）设切点为
则切线方程为
在直线 上，则 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，所以 或
要想让切线有两条，只需满足 或
（2）当 时， ， 单调递减，
在 取得最大值， ，所以只需考虑 在 的零点个数.
（i）若 或 ，则
当 时， 在 无零点.
当 时， 在 单调递减，
而 在 有一个零点；
（ii）若 ，则 在 单调递减，在 单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为
①若 ，即 在 无零点.
②若 ，即 ，则 在 有唯一零点；
③若 ，即 ，由于
所以当 时， 在 有两个零点；当 时， 在 有一个零
点
综上，当 有0个零点；
当 或 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点.【变式4-2】（2022·福建龙岩·高三福建省龙岩第一中学校考期中）已知函数
， ，其中 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）用 表示m，n的最大值，记 ，讨论函数 的零点个数
【答案】（1） 在R上是增函数；（2）答案见解析
【解析】（1） ，
当 时， ， ，∴ ，
当 时， ， ，∴ ，
当 时， ，
所以当 时， ，即 在R上是增函数.
（2）函数 的定义域为 ，
由（1）得，函数 在 单调递增， ，
当 时， ，又 ，
所以 时， 恒成立，即 时， 无零点，
当 时， 恒成立，所以 的零点即为函数 的零点
下面讨论函数 在 的零点个数：
，所以
①当 时，因为 ，
又函数 在区间 递减，所以
即当 时， ，
所以 单调递减，由 得：当 时 ， 递增
当 时 ， 递减，
当 时， ，
当 时 ，
又 ，
当 时，函数 有1个零点；当 时，函数 有2个零点；
当 时，函数 有3个零点；
②当 时， ，由①得：当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，所以 ， ，
所以当 时函数 有2个零点，
③当 时，
， ，即 成立，由 ，
所以当 时函数 有1个零点.
综上所述：当 或 时，函数 有1个零点；
当 或 时，函数 有2个零点；
当 时，函数 有3个零点.
【变式4-3】（2023·四川南充·统考三模）已知函数 ， 其中 为自然对数的底数.
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）用 表示 ， 中的最大值，记函数 ，当 时，讨论函数
在 上的零点个数.
【答案】（1） ， ；（2）答案见解析
【解析】（1）当 时， ， ，
由 得： 或 ；由 得：
列表：
0 1
+ 0 0 +
极大值 极小值
∴ ； ；
（2）由 知：（i）当 时 ， ，故 在 上无零点.
（ii）当 时， ， 知：
当 时， ， ， 是 的零点；
当 时， ， ， 不是 的零点；
（iii）当 时， ，故 在 的零点就是 在 的零点.
由 得： ，
设 ，则 ， 在 上单调递增，
又∵ ， ，∴当 时， 即 在 上无零点；
当 时， 即 在 上有1个零点；
当 时， 即 在 上无零点；
综上所述： 时， 有2个零点； 或 时， 有1个零点；
时， 无零点.
【题型5 导数与三角函数的零点问题】
满分技巧
有关三角函数的零点问题处理主要手段有：
（1）分段处理；
（2）讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶函数的应用，直接能清楚判断所讨论区间的单调性；
（3）关注有关三角函数不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程：
； ；
【例5】（2024·陕西·校联考一模）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论 在区间 上的零点个数，
【答案】（1） ；（2）答案见解析
【解析】（1）当 时， ，其定义域为 ， ，， ，
函数 在 处的切点坐标为 ，切线斜率为 ，
因此，函数 在 处的切线方程为 ，即 ．
（2）令 ，
则 ．
因为 ，则 ，则 ．
当 时，则 ，故 ，从而 在 上单调递减；
而 ，故当 时， ，
故 在区间 上无零点；
当 时，令 ，则 ，
因为 ，则 ，
从而 ，即 在 上单调递减；
而 ，因此存在唯一的 ，使得 ，
并且当 时， ；当 时， ．
即当 时， ，当 时， ．
故当 时， 单调递增，当 时， 单调递减．
而 ，故 ；
取 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 在区间 上有唯一零点．
综上所述，当 时， 在 上有唯一的零点；
当 时， 在 上没有零点．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
（1）若 ，求证：当 时，
（2）若 ，求证： 在 上有且仅有三个零点 ， ， （ ），且
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）若 ，则 ．设 , ，
则 ， ，所以 在 上单调递增．所以 ．又 在 上单调递增，
所以 ．即当 时， ．
（2）若 ，则 ．
令 ，得 ,设 ， ．
则 ．所以 为奇函数．
又 ，所以0是 的一个零点．
下面证明：函数 在 上存在唯一的零点．
因为 ， ，所以 ．
所以当 时， ， 单调递增．
又 ， ，所以 在 上存在唯一的零点 ．
由（1）知当 时， ，即 ，
所以当 时， ．
设 ， ，则 ．
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ．
所以当 时， ．
所以当 时， 仅有一个零点 ．
因为 为奇函数，所以当 时， 也仅有一个零点 ．
所以 在 上有3个零点，分别为 ， ， ．
即 有3个零点 ，且 ．【变式5-2】（2023·甘肃兰州·高三兰化一中校考期末）已知函数
（1）当 时，求函数 的单调区间;
（2）当 时，试判断函数 零点的个数，并加以证明.
【答案】（1） 的单调递减区间 ，递增区间 ；（2）2，证明见解析.
【解析】（1）当 时， ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 单调递增；
综上， 的单调递减区间 ，递增区间 .
（2） ，当 时， ，所以 是 的一个零点，
，设 ，可得 ，
因为 ，所以①当 ， ，
所以 在 单调递增， ，
在 单调递增，则 ，
所以 在 上无零点；
②当 时， ，则 ，所以 在 上无零点；
③当 时， ， ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以存在唯一实数 ，使得 =0，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 在 上有唯一零点，
综上，当 时，函数 有两个零点.
【变式5-3】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；（2）设 ，求证：当 时， 恰有两个零点.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1） .
当 时， 在 上单调递减.
当 时，在 上，有 ，在 上，有 ,
故 在 上单调递减， 上单调递增.
当 时， 在 上单调递增.
当 时， 在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递减， 上单调递增.
当 时， 在 上单调递增.
当 时， 在 上单调递减.
（2） 时， .
令 ，则 .
令 .
i. 时， 恒成立， 在 上单调递增.
又 ，
存在一个零点 ，使 .
ii. ， 恒成立， 在 上单调递减.
又 ， ，存在零点 ，使 .
， .
在 上单调递增， 上单调递减.
又 ， ，
存在一个零点 ，使 .
iii. ， 恒成立.
在 单调递减， 恒成立， 在 没有零点.iv. 时，
下面来证明当 时， .
设 ， ， 在 上单调递增，
， 恒成立.
综上所述， 在 只有两个零点.
又 是由 向右平移一个单位所得， 在 只有两个零点.
【题型6 不含参函数的“隐零点”问题】
满分技巧
1、不含参函数的“隐零点”问题的解策略：
已知不含参函数
f (x)，导函数方程 f '(x)=0
的根存在，却无法求出，
设方程 f '(x)=0 的根为 x 0，则有：①关系式 f '(x 0 )=0 成立；②注意确定 x 0的合适范围.
2、“虚设零点”的具体操作方法：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 ，并结合 的单调性得
到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，
也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所
求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；
第二步：以零点为分界点，说明导函数 的正负，进而得到 的最值表达式；这里应注意，进行代
数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式
替换，这是能否继续深入的关键；
第三步：将零点方程 适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围
还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，
最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）
【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）记 为 的导函数，若对 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题知， ，当 时， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ；（2）由题意，原不等式等价于 ，
即 ，
当 时，对任意 ，不等式恒成立，
当 时，原不等式等价于 ，
设 ，则 ，
设 ，因为 ，
所以存在唯一 ，使得 ，即 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
故 ，即 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
【变式6-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1） ， ， ．
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由（1）得 ．
令函数 ，则 ，所以 是增函数．
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ．
所以当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
．
因为 ，所以 ，
所以 ．
故 ．
【变式6-2】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，不等式 恒成立，求整数 的最大值．
【答案】（1） ；（2）2
【解析】（1）当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由题意，知 对任意 恒成立，
可知 对任意 恒成立．
设函数 ，只需 ．
对函数 求导，得 ．
设函数 ，对函数 求导，得 ，
所以函数 在 上单调递增．
又 ，
所以存在 ，使 ，即 ，
所以当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，所以 ．又 ，所以 ，
所以整数 的最大值为2．
【变式6-3】（2024·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数 ， .
（1）若函数 只有一个零点，求实数 的取值所构成的集合；
（2）已知 ，若 ，函数 的最小值为 ，求 的值域.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）函数 ，定义域为 ，
当 时，显然不满足题意，
当 时，若函数 只有一个零点，即 只有一个根，
因为1不是方程的根，所以可转化为 只有一个根，
即直线 与函数 （ 且 ）的图象只有一个交点.
，令 ，得 ，
在 和 上， ，在 上， ，
所以 在和 上单调递减，在 上单调递增.
在 时有极小值 ， 图象如图所示：
由图可知：若要使直线 与函数 的图象只有一个交点，则 或 ，
综上 的取值所构成的集合为 .
（2）由题意知 ，
令 ，得 ，所以 在 上单调递增.
又 ，
由零点的存在性定理知存在 使得 ，所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
故
又 ，所以 ，又 ，所以 .
令 ，则 ， 在 恒成立， 在 单调递减，
，由 得 .
将 代入 ，得 .
令 ，得 ，
所以 在 单调递减，
又 ，所以 的值域为 .
【题型7 含参函数的“隐零点”问题】
满分技巧
含参函数的“隐零点”问题解题策略：
已知含参函数
f(x,a)，其中a为参数，导函数方程 f '(x,a)=0
的根存在，却无法求出，
设方程 f '(x)=0 的根为 x 0，则有①有关系式 f '(x 0 )=0 成立，该关系式给出了 x 0 ,a 的关系；②注意确
x
定 0的合适范围，往往和a的范围有关.
【例7】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知 （其中 为自
然对数的底数）.
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程，
（2）当 时，判断 是否存在极值，并说明理由；
（3） ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）有一个极大值，一个极小值，理由见解析；（3）
【解析】（1）当 时， ，可得 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .（2）当 时， ，定义域为 ，
可得 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 递减，在 上递增，
所以 ，
又由 ，
存在 使得 ，存在 使得 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
所以 时， 有一个极大值，一个极小值.
（3）由 ，可得 ，
由 ，因为 ，可得 ，
令 ，则 在 上递减，
当 时，可得 ，则 ，所以 ，
则 ，
又因为 ， 使得 ，即
且当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以 在 递增，在 递减，所以 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，即 ，
由 ，可得 ，所以 ，
因为 ，设 ，则 ，
可知 在 上递增， 且 ，所以实数 的取值范围是 .
【变式7-1】（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知函数 ，其中 ．
（1）若 ，证明 ；
（2）讨论 的极值点的个数．
【答案】（1）证明见解析；（2）有且仅有一个极值点.
【解析】（1）证明：当 时， ， ， ， ，
又易知 在 上为增函数，所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，从而 .
（2）由题意知，函数 的定义域为 ，
，
设 ， ，显然函数 在 上单调递增， 与 同号，
①当 时， ， ，
所以函数 在 内有一个零点 ，且 ， ， ， ，
故 在 单调递减，在 单调递增；
所以函数 在 上有且仅有一个极值点；
②当 时，由（1）知，函数 在 上有且仅有一个极值点；
③当 时， ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以函数 在 内有一个零点 ，
且 ， ， ， ，
故 在 单调递减，在 单调递增；
所以函数 在 上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数 在 上有且仅有一个极值点．
【变式7-2】（2024·河南焦作·高三统考期末）（1）求函数 的极值；
（2）若 ，证明：当 时， ．
【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）证明见解析
【解析】（1）依题意， ，令 ，解得 ，所以当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，故 的极小值为0，无极大值．
（2）由（1）可知，当 时， ，则 ．
令 ，
则 ，易知 在 上单调递增．
因为 ，所以 ， ，
故 ，使得 ，即 ①．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ②．
由①可得 ，
代入②，得 ，
而 ，故 ，故 ，即原命题得证．
【变式7-3】（2024·全国·高三专题练习）函数
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，证明： .
【答案】（1） 在 上单调递增，在 上单调递减；（2）证明见解析.
【解析】（1）依题意，函数 的定义域为 ，
当 时， ，求导得 ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递减，而 ，
当 时， ， ，当 时， ， ，所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）当 时， ， ，
令 ，则 ，
在 上单调递减，而 ， ，
则 有 ，即 ，有 ，
当 时， ， ， 在 上单调递增，
时， ， ， 在 上单调递减，
因此函数 在 时取最大值，即 ，
令函数 ，
则 在 上单调递减，即有 ，
要证 ，即证 ，只需证 ，
令 ， ，则 在 上单调递减，
因此， ，
即 成立，则有 成立，
所以当 时，不等式 成立.
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1．（2022·河南·高三校联考期末）若函数 恰好有两个零点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 不是 的零点，当 时，令 ，得 ，
令 ，
由对勾函数性质可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，且当 时， ，如图所示，
所以当 时， 与 的图象有且仅有两个交点，
此时函数 恰好有两个零点，故选：A.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数 恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知方程 恰有2个不同的实数根．
设 ，则直线 与函数 的图象恰有2个不同的交点，
因为 ，当 时， ，当 时， ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，∴可以作出 的大致图象，如图所示，
易知直线 过定点 ，当直线 与函数 的图象相切时，
设切点为 ，则 ，解得 或 ，
当直线 与函数 的图象相切时， 或 ，
数形结合可知，实数a的取值范围为 .故选：D．
3．（2024·广西·模拟预测）若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，令 ，即 ，则 ，
所以函数 在 上有两个不同的零点
等价于曲线 和 在 上有两个不同的交点，
设 ， ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，当 时， ，且 时， ，
其图像如图所示，故 的取值范围为 ，故选：C.
4．（2023·广东中山·高三校考阶段练习）设函数 ， ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，讨论 与 图象的交点个数．
【答案】（1）单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
（2）函数 与 的图象总有一个交点
【解析】（1）函数 的定义域为 ， .
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增．
综上，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
（2）令 ， ，
题中问题等价于求函数 的零点个数．
，
当 时， ，函数 为减函数，
因为 ， ，所以 有唯一零点；
当 时， 或 时， ； 时， ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ，
所以 有唯一零点．
综上，函数 有唯一零点，即函数 与 的图象总有一个交点．
5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数 ．
（1）若 为奇函数，求实数 的值；
（2）已知 仅有两个零点，证明：函数 仅有一个零点．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）因为 为奇函数，
所以可知 的定义域为 ，且 ，即 ，
即 ，
所以 ，解得 .
（2）证明：①当 时， ，
所以函数 不可能有两个零点，此时不合题意；
②当 时，令 ，解得： 或 ，
又因 ，
则要使得f（x）仅有两个零点，则 ，
即 ，此方程无解，此时不合题意；
③当 时，即 ，
令 ，解得 或 ，符合题意，所以 .
令 ，则 ，
令 ，解得： 或 ，令 解得： ，
故 在 ， 上递增，在 上递减，
又 ，
故函数 仅有一个零点．
6．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 上的极值；
（2）用 表示 中的最大值，记函数 ，讨论函数 在
上的零点个数．
【答案】（1）极大值为 ，极小值 ；（2）答案见解析
【解析】（1）当 时， ，
由 ，得 或 ，则 和 随 的变化如下表所示：
0
+ 0 - 0 + 0 -极大 极小 极大
∴ 在 上有2个极大值： ,
在 上有1个极小值 ．
（2）由 ，知 ．
（ⅰ）当 时， ，∴ ，故 在 上无零点．
（ⅱ）当 时， ．
故当 时，即 时， 是 的零点；
当 时，即 时， 不是 的零点．
（ⅲ）当 时， ．
故 在 的零点就是 在 的零点，
．
①当 时， ，故 时， 在 是减函数，
结合 ， 可知， 在 有一个零点，
故 在 上有1个零点．
②当 时， ，故 时， 在 是增函数，
结合 可知， 在 无零点，故 在 上无零点．
③当 时， ，使得 时， 在 是增函数；
时， 在 是减函数；
由 知， ．
当 ，即 时， 在 上无零点，
故 在 上无零点．
当 ，即 时， 在 上有1个零点，
故 在 上有1个零点．
综上所述， 时， 有2个零点；
时， 有1个零点； 时， 无零点7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 有一个零点，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）当 时， ， ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 .
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以，当 ， 有最小值为 ，
即 ，即 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，命题得证.
（2）若 在 有一个零点，则方程 在 上有一个解，
即 在 上有一个解，
令 ， ，则 ，
由 得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 时， ，
所以 .
8．（2023·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
时 ，
又 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）当 时， 在 上单调递减，
所以 在 上至多有一个零点.
当 时， ，
因为 ，所以 ，
令 ，易知 在 上单调递增，
因为 ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
由 得 ，则 ，
所以 ，
当 ，即 时， ，所以 在 上没有零点.
当 ，即 时， ，所以 在 上有一个零点.
当 ，即 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
所以 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，且 在 上单调递减，
所以 在 上只有一个零点，
令 ，易知 在 上单调递增，
又 ，
所以存在 ，使得 ，
则 ，
由 可知 ，则 ，
又 在 上单调递增，所以 在 上只有一个零点，
综上可知， 时，函数 有两个不同的零点，故实数 的取值范围为 .
