文档内容
第 08 讲 函数与方程(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数零点所在区间的判断
高频考点二：函数零点个数的判断
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
高频考点四：比较零点大小关系
高频考点五：求零点和
高频考点六：根据零点所在区间求参数
高频考点七：二分法求零点
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 08 讲 函数与方程（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点
对于一般函数 ，我们把使 成立的实数 叫做函数 的零点．注意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 轴的交点的横坐标
即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
3、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程
的近似解就是求函数 零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交
点；
④函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交点
，其中 为常数.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东中山·高一期末）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
在 上递增，，
，所以 的零点在区间 .
故选：A
2．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一开学考试）用二分法研究函数 的零点时，第一
次经过计算得 ， ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
因为 ，
由零点存在性知：零点 ，
根据二分法，第二次应计算 ，即 ，
故选：D.
3．（2022·广西玉林·高一期末）若函数 的零点所在的区间为 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
易知函数 在 上单调递增，且函数 零点所在的区间为 ，所以 ，解得
．
故选：C
4．（2022·福建南平·高一期末）函数 的零点为 ， ，则 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
是 上的增函数，
又 ，
函数 的零点 所在区间为 ，
又 ，
.
故选：C.5．（2022·江苏淮安·高一期末）已知 ， 均为 上连续不断的曲线，根据下表能判断方程
有实数解的区间是（ ）
x -1 0 1 2 3
-0.670 3.011 5.432 5.980 7.651
-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A． B． C． D．
【答案】B
令
可得： ，
由题意得 连续，根据函数的零点判定定理可知： 在 上有零点
故 在 上有解
故选：B
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数零点所在区间的判断
1．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）方程 的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设 ，易知 在定义域 内是增函数，
又 ， ，
所以 的零点在 上，即题中方程的根属于 ．
故选：B．
2．（2022·安徽·池州市第一中学高一阶段练习）函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，
且 是单调递减函数，故函数 的零点所在的一个区间是 ，
故选：B
3．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
函数的定义域为 ，
且函数 在 上单调递减； 在 上单调递减，
所以函数 为定义在 上的连续减函数，
又当 时， ，
当 时， ，
两函数值异号，
所以函数 的零点所在区间是 ，
故选：B.
4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
,由对数函数和幂函数的性质可知，
函数在 时为单调增函数，
， ，
， ，
因为 在 内是递增，故 ，
函数是连续函数，由零点判断定理知， 的零点在区间 内，
故选：B．
高频考点二：函数零点个数的判断
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知函数 的图像是连续不断的，且 ， 有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
123.56 21.45 7.82 11.57 53.76 126.49
则函数 在区间 上的零点有（ ）
A．两个 B．3个 C．至多两个 D．至少三个
【答案】D
因为函数 的图像是连续不断的，且 ，
所以 在区间 上至少有1个零点，
因为函数 的图像是连续不断的，且 ，
所以 在区间 上至少有1个零点，
因为函数 的图像是连续不断的，且 ，
所以 在区间 上至少有1个零点，
综上，函数 在区间 上的零点至少有3个，
故选：D
2．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）已知函数 ，则函数 的零点
个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
令 ．
①当 时， ，则函数 在 上单调递增，
由于 ，由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
②当 时， ，由 ，解得 ．
作出函数 ，直线 的图象如下图所示：由图象可知，直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有两个交点；直线 与函数 的图象有且只有一个交点．综
上所述，函数 的零点个数为5．
故选：D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，则函数 的零点个数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
当 时， ，则 ；以此类推，当 时， ；…；
在平面直角坐标系中作出函数 与 的部分图象如图所示.
由图可知， 与 的图象有7个不同的交点
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，给出下列四个结论：
（1）若 ，则 有两个零点；
（2） ，使得 有一个零点；
（3） ，使得 有三个零点；
（4） ，使得 有三个零点．以上正确结论的序号是 __．
【答案】（1）（2）（4）
函数 的零点的个数可转化为函数 与直线 的交点的个数；
作函数 与直线 的图象如图，
若 ，则函数 与直线 的图象在 与 上各有一个交点，则 有两个零点，
故（1）正确；
若 ，则当函数 与直线 的图象相切时， 有一个零点，故（2）正确；
当 时，函数 与直线 的图象至多有两个交点，故（3）不正确；
当 且 足够小时，函数 与直线 的图象在 与 上分别有1个、2个交点，故
（4）正确；
故答案为：（1）（2）（4）．
5．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若函数 满足 ，且 时，
，已知函数 ，则函数 在区间 内的零点的个数为
__________.
【答案】10
解：因为 ，所以 ，
所以函数 是以2为周期的周期函数，令 ，则 ，
在同一平面直角坐标系中作出函数 的图像，如图所示，
由图可知函数 有10个交点，
所以函数 在区间 内的零点有10个.
故答案为：10.
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 恰有 个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意，函数 ，的图象如图：方程 的解为 ，方程 的解为 或 ；
①当 时，函数 恰有两个零点 ，3；
②当 时，函数有2个零点 ，5；
则实数m的取值范围是： ．
故选：A.
2．（2022·上海杨浦·高一期末）已知函数 若函数 存在零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
如图所示：指数函数 ，没有零点，
有唯一的零点 ，
所以若函数 存在零点，
须 有零点，即 ，
所以 ，
故选：B.
3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数 恰有 个零点，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 时至多有一个零点，单调函数 至多一个零点，
而函数 恰有 个零点，
所以需满足 有1个零点， 有1个零点，
所以 ，
解得 ，
故选：D
4．（2022·福建龙岩·高一期末）若函数 在 上存在零点，则实数 的取值范围
是________．
【答案】
解：令 ，则有 ，
原命题等价于函数 与 在 上有交点，
又因为 在 上单调递减，且当 时， ，
在 上单调递增，
当 时，作出两函数的图像，则两函数在 上必有交点，满足题意；
当 时，如图所示，只需 ，
解得 ，即 ，
综上所述实数 的取值范围是 .
故答案为： ．
5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数 ， 则使函数 有
零点的实数 的取值范围是____________
【答案】
令 ，现作出 的图象，如图：于是，当 时，图象有交点，即函数 有零点.
故答案为： .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）求 的解析式.
（2）若方程 有实数根，求实数a的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
解：（1）设 ，因为 ，所以 ；
且 ，所以 ，
所以 ， ；
（2）设 ， ， ，
所以当 时函数有最小值 ，而 ， ，
所以 ，所以 ，所以 .
【点睛】
本题主要考查的是换元法求函数的解析式，利用函数值域求参数范围的问题，需要注意：
（1）采用换元法求解函数解析式时，注意换元必换域，不要漏掉 的范围；
（2）求解参数范围时需要转化为求解函数的最值问题，即求函数的值域，再利用 的范围解不等式即
可，需要注意定义域的限制.
高频考点四：比较零点大小关系
1．（2022·浙江·於潜中学高二期中）已知函数 ， ， 的零点分别
为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．【答案】B
解：在同一坐标系中作出 的图象，
由图象知： ，
故选：B
2．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）若 ，则下列不等关系一定不成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由 ，得 ．
由 ，得 ， ，
作函数 ， ， 的图象，再作直线 ．
变换m的值发现： ， ， 均能够成立， D不可能成立.
故选：D．
3．（2022·山东潍坊·高三期末）已知 ， ， ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
在同一坐标系中分别画出 ， ， ， 的图象，
与 的交点的横坐标为 ， 与 的图象的交点的横坐标为 ， 与
的图象的交点的横坐标为 ，从图象可以看出．
故选：B
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程 、 、 的
根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
由 得 ， ，
由方程 得 的根为 a，由方程 得 的根为b.
在同一平面直角坐标系中画出 、 、 的图象，由图象知， ， ， .
故选：B
5．（2022·江苏苏州·高一期末）若实数 、 满足 ，则 、 的大小关系 __ （填“
”，“ ”或“ ”）.
【答案】
解： ， ，
则 为函数 与函数 图象交点的横坐标， 为函数 与函数 图象交点的横坐标，
在同一直角坐标系画出函数 、 、 的图象如下，
由图知 ，
故答案为： .
6．（2022·江苏·高一）已知函数 ， ， 的零点依次为 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系是________．
【答案】
解：令 ，则 ，
即 的零点为函数 与 交点的横坐标，令 ，则 ，
即 的零点为函数 与 交点的横坐标，
令 ，则 ，
即 的零点为函数 与 交点的横坐标，
画出函数 ， ， ， 的图象，如图所示，
观察图象可知，函数 ， ， 的零点依次是点 ， ， 的横坐
标，
由图象可知 .
故答案为： .
高频考点五：求零点和
1．（2022·天津市新华中学高三期末）已知函数 的定义域为 ，且 ，当 时，
若关于x的方程 在 上所有实数解的和为15，则实数k的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
∵ ，
∴ 在 上的图象，可由 在 上的图象向右平移 个单位，再将纵坐标伸长为原来的 倍得到，
同理，可画出函数 在 上的大致图象，如图，作出函数 及 在 上的大致图象，由条件可得，
①当 时， 与 图象的交点两两一组分别关于直线 ， ， ， ，
对称，则实数解的和为 ；
②当 时， 与 图象的交点两两一组分别关于直线 ， ， ， 对称，则
实数解的和为 ；
③当 时， 与 图象的交点两两一组分别关于直线 ， ， 对称，则实数解的
和为 ；
④当 时， 与 图象的交点两两一组分别关于直线 ， 对称，则实数解的和为
；
⑤当 时， 与 图象的两个交点关于直线 对称，则实数解的和为 ；
经验证，当 ， ， ， ， ， 及 或 时，均不符合题意．
综上所述， .
故选：D．
2．（2022·安徽蚌埠·高三期末（文））已知函数 有四个不同的零点 ， ，
， ，若 ， ， ，则 的值为（ ）
A．0 B．2 C．－1 D．－2
【答案】D
函数 有四个不同的零点，即方程 有四个不同的解，令 ， ，即函数 的图象与 有四个不同的交点，
两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示：
所以 ，
不妨设 ，
则 ，
所以 .
故选：D
3．（2022·浙江·高三专题练习）设函数 ，若互不相等的实数 、 、 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为 ，即 ，
设 ， ，作出函数 的图象如下图所示：由图象可知，点 、 关于直线 对称，则 ，
由图可知， ，因此， .
故选：B.
4．（2022·江苏·高一期末）已知函数 ，若存在 ，使得
，则 的取值范围是___________.
【答案】
作出函数 的图象，
由图知当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，
若存在 ，使得 ，由图可得 ，
由 即 ，所以 ，
因为函数 的对称轴为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则
函数 的所有零点的和为_________
【答案】3
∵ 是定义在R上的奇函数，且当 时，
∴当 时，
则
即 .
则
作出 的图象如图所示：∵ 的图象与 的图象关于 对称
∴作出 的图象，由图象知 与 的图象有三个交点
即 有三个根，其中一个根为1，另外两个根 关于 对称
即
则所有解的和为 .
故答案为：3
高频考点六：根据零点所在区间求参数
1．（2022·海南·高一期末）若函数 在区间 内存在零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
函数 在区间 内存在零点，且函数在定义域内单调递增，
由零点存在性定理知 ，即 ，解得
所以实数 的取值范围是
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
∵ 和 在 上是增函数，
∴ 在 上是增函数，
∴只需 即可，即 ，解得 .
故选：D.
3．（多选）（2022·江苏省太湖高级中学高二阶段练习）函数 的一个零点在区间 内，
则实数a的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
因为函数 在定义域 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
由函数 的一个零点在区间 内，
得 ，
解得 ,
故选：BC
4．（2022·上海市建平中学高一期末）若函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范
围是________.
【答案】
因为函数 在区间 上有零点,则 = ,解得 .即实数 的取值范围是
.故答案为 .
5．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）已知函数 ，
(1)若函数 在区间 上存在零点，求实数a的取值范围；
【答案】(1)
(1)
的图象开口向上，对称轴为 ，所以函数 在 上单调递减.因为函数 在区间
上存在零点，所以 ，解得 ，即实数a的取值范围为 .
高频考点七：二分法求零点
1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法
计算，其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确度 ）可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所以
不满足精确度 ；因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所
以不满足精确度 ；
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，
所以不满足精确度 ；
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为
，所以不满足精确度 ；
因为 ， ，所以函数在 内有零点，
因为 ，所以满足精确度 ，
所以方程 的一个近似根（精确度 ）是区间 内的任意一个值（包括端
点值），根据四个选项可知选C.
故选：C
2．（多选）（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某同学用二分法求函数 的零点时，
计算出如下结果： ， ， ， ，
， ，下列说法正确的有（ ）
A．精确到 的近似值为 B．精确到 的近似值为
C．精确到 的近似值为 D．精确到 的近似值为
【答案】AC
， ，
零点在 内，又 ，则AC正确，D错误；
， ， ，则B错误.
故选：AC.
3．（多选）（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若函数 的图象是连续的，且函数 的唯一零点
同在区间 ， ， ， 内，则与 符号不同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
由二分法的步骤可知，
①零点在 内，则有 ，不妨设 ， ，取中点2；
②零点在 内，则有 ，则 ， ，取中点1；
③零点在 内，则有 ，则 ， ，取中点 ；④零点在 内，则有 ，则 ， ，则取中点 ；
⑤零点在 内，则有 ，则 ， ，
所以与 符号不同的是 ， ， ，
故选：ABD.
4．（多选）（2022·全国·高一）若函数 在区间 上的图象不间断，则下列结论中错误的是
（ ）
A．若 ，则 在 上不存在零点 B．若 ，则 在 上
至少有一个零点 C．若 在 内有且只有一个零点，则 D．若 在 上存
在零点，则可用二分法求此零点的近似值
【答案】ACD
A：令 ， ， ，
则 ， ， ，令 ， ，
，则 在 上存在零点0，故A错误；
B：函数 在区间 上的图象不间断，若 ，
则 在 上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故B正确；
C：如图， 在 内有且只有一个零点，但 ，故C错误；
D：如图， 在 上存在零点，但不可用二分法求此零点的近似值，故D错误.故选：ACD
5．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总
人数是 （ ）将 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可
确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组 人
的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而
将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过
检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染
者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为 ，且假设其中有不超过2名感染者，采
用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______.
【答案】 2
若待检测的总人数为8，则第一轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，
则共需检测7次，此时感染者人数最多为2人；
若待检测的总人数为 ，且假设其中有不超过2名感染者，
若没有感染者，则只需1次检测即可；
若只有1个感染者，则只需 次检测；
若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，
此时相当两个待检测均为 的组，
每组1个感染者，此时每组需要 次检测，
所以此时两组共需 次检测，
故有2个感染者，且检测次数最多，共需 次检测，
所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为 .
故答案为：2，
6．（2022·河南信阳·高一期末）下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是
___________.（写出所有符合条件的序号）【答案】（1）（3）
用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：（1）（3）
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·天津·高考真题）设 ，函数 ，若 在区间 内恰
有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，
由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点；所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足
或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .
2．（2020·全国·高考真题（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误.
故选：B.
3．（2020·天津·高考真题）已知函数 若函数 恰有4个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
4．（2021·江苏·高考真题）已知函数 ，若其图像上存在互异的三个点 ，
， ，使得 ，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
解：画出函数 的图象如下图，由题意得函数图象上存在互异的三个点，且 ，
则可看做函数 与函数 的图象有三个不同的交点，
由图知，当 或 时，有且仅有两个交点，
要使两个图象有三个不同的交点，则 的取值范围为 ．
故答案为： ．
5．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有个1零点；
③存在负数 ，使得 恰有个3零点；
④存在正数 ，使得 恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
第五部分：第 08 讲 函数与方程（精练）
一、单选题
1．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一期末）已知函数 ，则零点所在的区间可以
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
显然函数 在R上单调递增， ，而 ，
所以零点所在的区间可以为 .
故选：B
2．（2020·江西省兴国县第三中学高三阶段练习（理））二次函数 的部分对应值
如下表：
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
6 -4 -6 -6 -4 6
可以判断方程 的两根所在的区间是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和【答案】A
由表格可知： ，
所以 ，
结合零点存在性定理可知：二次函数 的零点所在区间为 和 ，所以方
程 的两根所在的区间是 和 ，
故选：A.
3．（2020·全国·高一课时练习）设函数 与 的图象交点为 ，则 所在区间是（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【答案】B
令 ，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，
∴f (x)的零点在区间(1，2)内，
即函数 与 的图象交点的横坐标 ．
故选：B
4．（2020·四川·广安二中高一期中）函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据
如下：
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
【答案】C
由所给数据可知，函数 在区间 内有一个根，
因为 ， ，
所以根在 内，
因为 ，所以不满足精确度，
继续取区间中点 ，
因为 ， ，
所以根在区间 ，
因为 ，所以不满足精确度，
继续取区间中点 ，因为 ， ，
所以根在区间 内，
因为 满足精确度，
因为 ，所以根在 内，
所以方程的一个近似解为 ，
故选：C
5．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 ，若方程 有四个不同的解
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
.
先作 图象，由图象可得
因此 为 ，
，
从而 .
故选：A
6．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
函数 ， ， 的零点，即为 与 ，
， 的交点，
作出 与 ， ， 的图象，
如图所示，可知
故选：C
7．（2020·四川·广安二中高一期中）已知函数 ，其中 ，若存在实
数 ，使得关于 的方程 恰有三个互异的实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为 ，
所以 的大致图象，如图所示：当 时， ，
因为存在实数 ，使得关于 的方程 恰有三个互异的实数解，
所以 ，又 ，
解得 ，
故选：D
8．（2020·天津滨海新·高三阶段练习）已知函数 ，若方程 有2个不同的
实根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：当 时，
当直线 与曲线 相切时，设切点
因为 ，则切线的 ，得 ，切点为
将切点代入直线 ，得
当 时，
令 ，即
①当 时， 有一个实根，此时 有一个实根，满足条件；
②当 时， 有两个实根，此时 有一个实根，不满足条件；
③当 时， 无实根，此时要使 有两个实根，则 且
，即 且 .
综上所述，实数 的取值范围是
故选：B.
二、填空题
9．（2020·天津市红桥区教师发展中心高二学业考试）函数 的零点所在的区间为(k，
k+1)，则k =________．
【答案】2
因为 和 在R上单调递增，所以 在R上单调递增.
因为 ， ，所以 的零点所在的区间为 .
因为函数 的零点所在的区间为(k，k+1)，
所以k=2.
故答案为：2
10．（2020·海南·琼山中学高一阶段练习）设函数 ，则函数
与 的图象的交点个数是____________.
【答案】4
当 时， ，解得 或 ，
当 时， ，解得 或 ，
综上所述函数 与 的图象的交点的个数是4.
故答案为：4.
11．（2020·天津市红桥区教师发展中心高二期末）已知函数 ，若函数
有三个零点，则实数 的取值范围是________________．
【答案】
若函数 有三个零点，
得 ，即 有三个根
即函数 与 的图象有三个不同的交点，
作出函数 的图象如图：
当 时， ，
当 时，则要使函数 与 有三个不同的交点，
则 ，
即实数 的取值范围是 ，
故答案为：
12．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数 ，若方程
有8个相异的实数根，则实数 的取值范围是_________________________ ．
【答案】
解：根据题意，作出函数 的图像，如图：
令 ，因为方程 有8个相异的实数根，
所以方程 在区间 上有两个不相等的实数根 ，
故令 ，则函数 在区间 上有两个不相等的零点.
所以 ，即 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
三、解答题
13．（2020·陕西师大附中高一期中）已知二次函数 满足 .且 ， .
（1）求 的解析式；（2）是否存在实数 ，使得函数 在 上有零点？若存在，求出 的取值范围；若不存
在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
（1）由题设，二次函数 关于 对称，又 ，
∴可设 ，又 ，即 .
∴ .
（2）要使 在 上有零点，即 与 在 上有交点，
由（1）知： 在 上单调递减，且 ，而 在 上递增，且 ，
∴只需 使 在 上有零点，可得 .
14．（2020·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)画出函数 的图象，并写出其单调递增区间；
(2)若方程 有四个解，试求实数 的取值范围.
【答案】(1)图见解析， 和
(2)
(1)
由题意得： ，令 ，解得： 或 ，可得函数 图象,
如下图所示
由图象可知， 单调递增区间为 和 ，
(2)由题意可知，方程 有四个解转化为函数 与 有四个不同的交点，分别作出函数
与 的图象，如图所示
由图象可知， .
所以实数 的取值范围为 .
15．（2020·浙江金华·高一期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若存在 使关于 的方程 有四个不同的实根，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
(1)
方程 的两根分别为 和 ，
当 且 即 时， 的解集为 或 ，
当 即 时， 的解集为 ，
当 且 即 时， 的解集为 或 ，
综上所述：当 时， 的解集为 或 ，
当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 或 .
(2)令 ，则关于 的方程 有四个不同的实根，
即 有四个不同的实根，
等价于 有两个不同的正实根，
则 ，
由 可得 解得： 或 ，
因为 ，则 ，由 可得 ，
所以 ，
所以存在 使得不等式 成立，
即存在 使得不等式 成立，
设 ，则 在 上单调递减，
所以 ，
解得： 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
