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重难点 2-5 利用导数研究零点与隐零点
导数综合问题中的零点问题在高考中常以解答压轴题的形式出现。主要包含函数零点个数判断与证明。主
要考查：根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等，
在高考中难度偏大。
【题型1 判断函数零点的个数】
满分技巧
1、判断函数零点个数的常用方法
（1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图。函数零点的个数问题即是函数图象与 轴交点的个
数问题．
（2）分离出参数，转化为 ，根据导数的知识求出函数 在某区间的单调性，求出极值以及
最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线 与函数 图象交点的个数问题．只需要用a
与函数 的极值和最值进行比较即可．
2、处理函数 与 图像的交点问题的常用方法
（1）数形结合，即分别作出两函数的图像，观察交点情况；
（2）将函数交点问题转化为方程 根的个数问题，也通过构造函数 ，把交点
个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况.
【例1】（2023·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习） 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-1】（2023·四川成都·高三成都列五中学校考期末）函数 的图象与直线
的交点个数为 .【变式1-2】（2024·云南德宏·高三统考期末）已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1-3】（2023·四川攀枝花·统考一模）已知定义在 上的奇函数 恒有 ，当
时， ，已知 ，则函数 在 上的零点个数
为（ ）
A．4 B．5 C．3或4 D．4或5
【题型2 讨论证明函数零点的个数】
满分技巧
证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察。
利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极
值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
注意：单调性+零点存在=唯一零点
【例2】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ，且函数 的
零点是函数 的零点．
（1）求实数a的值；
（2）证明： 有唯一零点．
【变式2-1】（2023·全国·高三校联考开学考试）已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线；
（2）若对任意 ，当 时，证明函数 存在两个零点．
【变式2-2】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中 ．（1）若 的极小值为 ，求 单调增区间；
（2）讨论 的零点个数．
【变式2-3】（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数 ．
（1）若 是 的极值点，求 ；
（2）讨论函数 的零点个数．
【题型3 根据函数零点个数求参数】
满分技巧
1、分离参数 后，将原问题转化为 的值域（最值）问题或转化为直线 与
的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；
2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；
3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。
【例3】（2024·重庆·统考一模）（多选）已知函数 ，则 在 有两个不同
零点的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知函数 若函数 有3
个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）已知函数
（1）求曲线 在 处的切线方程
（2）若函数 在区间 上恰有两个不同的零点，求实数 的取值范围【变式3-3】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 有且仅有1个零点，求 的取值范围.
【题型4 max、min函数的零点问题】
【例4】（2022·江苏徐州·高三期末）设 ，若函数 有
且只有三个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数
.
（1）若过点 可作 的两条切线，求 的值.
（2）用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论 零点的个数.
【变式4-2】（2022·福建龙岩·高三福建省龙岩第一中学校考期中）已知函数
， ，其中 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）用 表示m，n的最大值，记 ，讨论函数 的零点个数
【变式4-3】（2023·四川南充·统考三模）已知函数 ， 其中 为自然对数的底数.
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）用 表示 ， 中的最大值，记函数 ，当 时，讨论函数在 上的零点个数.
【题型5 导数与三角函数的零点问题】
满分技巧
有关三角函数的零点问题处理主要手段有：
（1）分段处理；
（2）讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶函数的应用，直接能清楚判断所讨论区间的单调性；
（3）关注有关三角函数不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程：
； ；
【例5】（2024·陕西·校联考一模）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论 在区间 上的零点个数，
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
（1）若 ，求证：当 时，
（2）若 ，求证： 在 上有且仅有三个零点 ， ， （ ），且
．
【变式5-2】（2023·甘肃兰州·高三兰化一中校考期末）已知函数
（1）当 时，求函数 的单调区间;
（2）当 时，试判断函数 零点的个数，并加以证明.
【变式5-3】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，求证：当 时， 恰有两个零点.【题型6 不含参函数的“隐零点”问题】
满分技巧
1、不含参函数的“隐零点”问题的解策略：
已知不含参函数
f (x)，导函数方程 f '(x)=0
的根存在，却无法求出，
设方程 f '(x)=0 的根为 x 0，则有：①关系式 f '(x 0 )=0 成立；②注意确定 x 0的合适范围.
2、“虚设零点”的具体操作方法：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 ，并结合 的单调性得
到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，
也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所
求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；
第二步：以零点为分界点，说明导函数 的正负，进而得到 的最值表达式；这里应注意，进行代
数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式
替换，这是能否继续深入的关键；
第三步：将零点方程 适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围
还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，
最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）
【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）记 为 的导函数，若对 ，都有 ，求 的取值范围．
【变式6-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明： ．
【变式6-2】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，不等式 恒成立，求整数 的最大值．【变式6-3】（2024·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数 ， .
（1）若函数 只有一个零点，求实数 的取值所构成的集合；
（2）已知 ，若 ，函数 的最小值为 ，求 的值域.
【题型7 含参函数的“隐零点”问题】
满分技巧
含参函数的“隐零点”问题解题策略：
已知含参函数
f(x,a)，其中a为参数，导函数方程 f '(x,a)=0
的根存在，却无法求出，
设方程 f '(x)=0 的根为 x 0，则有①有关系式 f '(x 0 )=0 成立，该关系式给出了 x 0 ,a 的关系；②注意确
x
定 0的合适范围，往往和a的范围有关.
【例7】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知 （其中 为自
然对数的底数）.
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程，
（2）当 时，判断 是否存在极值，并说明理由；
（3） ，求实数 的取值范围.
【变式7-1】（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知函数 ，其中 ．
（1）若 ，证明 ；
（2）讨论 的极值点的个数．
【变式7-2】（2024·河南焦作·高三统考期末）（1）求函数 的极值；
（2）若 ，证明：当 时， ．
【变式7-3】（2024·全国·高三专题练习）函数（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，证明： .
（建议用时：60分钟）
1．（2022·河南·高三校联考期末）若函数 恰好有两个零点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数 恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（
）
A． B． C． D．
3．（2024·广西·模拟预测）若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东中山·高三校考阶段练习）设函数 ， ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，讨论 与 图象的交点个数．
5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数 ．
（1）若 为奇函数，求实数 的值；
（2）已知 仅有两个零点，证明：函数 仅有一个零点．6．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 上的极值；
（2）用 表示 中的最大值，记函数 ，讨论函数 在
上的零点个数．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 有一个零点，求 .
8．（2023·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围.
