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考点 14 函数的零点与方程的解（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
【知识点】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，函
数y＝f(x)在区间 ( a ， b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c也就是
方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f ( a ) f ( b )<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在
区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二
分法．
常用结论
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
【核心题型】
题型一 函数零点所在区间的判定
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否
有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【例题1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程 的两根为 ， ，则（ ）
A． ， B．
C． D．
【答案】C
【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出 ，即可判断AD，计算出
，可判断BC.
【详解】由 可得 ，
在同一直角坐标系中同时画出函数 和 的图象，如图所示：
因为 ， ，
由图象可知， ，
所以 故A，D错误；
，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，故B错误，C正确.
故选：C
【变式1】（2023·河北·模拟预测）已知函数 有一个零点 ，则 属于
下列哪个区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理计算即可.
【详解】由题知 在 上单调递增，
∵ ， ， ，
又 ，∴ ，即在 上存在 使得 .
故选：B.
【变式2】（2023·海南·模拟预测）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可.
【详解】易知函数 在 上单调递增，
又 ， ，
由函数的零点存在定理可知，函数 的零点所在的一个区间是 ．
故选：C
【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数 零点所在的一个区间.
【答案】
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】根据对数函数单调性的性质，
函数 为 上的减函数,
函数的图像在 上为一条连续不断的曲线,
又 , ,
所以函数 零点所在的一个区间为 .
故答案为:
题型二 函数零点个数的判定
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零
点个数．
【例题2】（2024·天津·二模）已知函数 ，关于 有下
面四个说法：
的图象可由函数 的图象向右平行移动 个单位长度得到；
在区间 上单调递增；
当 时， 的取值范围为 ；
在区间 上有 个零点．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【分析】首先把 用三角恒等变换公式化简，再逐一比对各个命题，判断真假即可.
【详解】因为 ，
即 .
对于 ，函数 的图象向右平行移动 个单位长度，
得到 ，所以 正确；
对于 ， ，则 ，
先减后增，所以 错误；
对于 ，当 ，则 ，
当且仅当 时，即 时， ，
当且仅当 时，即 ， ，
所以 的取值范围为 ，所以 正确；
对于 ，由 ，则 ，
则当 时， ，
所以 在 上有 个零点，所以 错误.
故选：B.
【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数 满足 ，
，当 时， ，则函数 在内的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，判断 的图象关于点 对称，利用导数判断函数 在
上的单调性，在同一坐标系中作出 与 的图象，得出交点个数，并
结合对称性及 可得解.
【详解】根据题意，函数 的周期为8，图象关于点 对称，
又 ，
所以函数 的图象也关于点 对称，
由 ， ，
， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，
在同一个坐标系中，作出函数 与 的图象，如图，
由图可得，函数 与 在 上有两个交点，
因为函数 与 图象均关于点 对称，所以函数 与 在 上有两个交点，又 ，
所以函数 在 内的零点个数为5.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查函数的性质及函数零点个数问题，依据题意，可判断函数
与 图象均关于点 对称，利用导数判断函数 在 上的单
调性，并根据单调性，极值作出 与 在 上的图象，根据图象求得结
果.
【变式2】．（2024·青海西宁·二模）记 是不小于 的最小整数,例如
,则函数 的零点个数为 .
【答案】3
【分析】先将 的零点个数转化为 和 的
交点个数，然后画图确定交点个数.
【详解】令 ,则 ,
令 ,
则 与 的交点个数即为 的零点个数,
当 时, ,
又 ,
所以 是周期为1的函数,
在 上单调递减,且 ,
所以可作出 与 的图象如图,所以 与 有3个交点，故 的零点个数为3,
故答案为：3.
【变式3】（2024·北京西城·一模）关于函数 ，给出下列三个命题：
① 是周期函数；
②曲线 关于直线 对称；
③ 在区间 上恰有3个零点．
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】选项①，根据条件得到 ，即可判断出①的正误；选项②，根据条
件得出 ，根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令 ，直
接求出 的值，即可得出③的正误，从而得出结果.
【详解】对于①，因为 ，所以
，故 ，所以选项①正确，
对于②，因为 ，
由对称轴的定义知， 为函数 的一条对称轴，所以选项②正确，
对于③，因为 ，令 ，得到
，解得 或 ，又 ，由 ，得到 或 ，
由 ，得到 ，所以选项③正确，
故选：D.
题型三 函数零点的应用
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结
合求解.
命题点1 根据零点个数求参数
【例题3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数
（其中 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A． ，使函数 恰有1个零点
B． ，使函数 恰有3个零点
C． ，函数 都有零点
D．若函数 有2个零点，则实数 的取值范围为
【答案】AB
【分析】通过观察式子的结构得到 ，从而将问题化为函数
图象与 或 的交点问题，利用导数研究 的图象，从而数形结合
即可得解．
【详解】令 ，显然 不是 的零点，
所以 ，即 ，从而得 或 ．
设 ，则 ．
令 ，得 ，
可知当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
可知当 或 时， ，所以函数 在 上单调递减，
且 ．作出函数 的大致图象，如图．
对于A，结合图像知，当 或 ，即 或 时，函数
恰有1个零点，故A正确．
对于B，结合图像知，当 时，函数 恰有3个零点，故B正确．
对于C，结合图像知，当 ，即 时，函数 没有零点，故C错误．
对于D，结合图像知，当 或 ，即 或 时，函数 有2
个零点，故D错误．
故选：AB．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【变式1】（2024·安徽黄山·二模）若函数 有两个零点，则实数
的取值范围是 .
【答案】 ．
【分析】令 ，则有 ，将问题转化为半圆 与直线
有两个交点，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】令 ，
则 ，所以 ，
又因为 ，即为 ，表示单位圆位于 轴上及上方部分；
而 ，表示过点 且斜率为 的直线，
所以将问题转化为半圆 与直线 有两个交点，
当直线与半圆相切时； ，解得 ，
当直线过点 时，则有 ，解得 ，
综上， ．
故答案为： ．【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程 在 上有两个不同的根，
则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形得到 ， ，即 与 ， 有两个不同的交点，令
， ，求导得到单调性和极值，最值情况，进而得到 ,
【详解】 ， ，
令 ， ，
即 与 ， 有两个不同的交点，
则 ， ，
令 ，即 ，解得 ，
令 ，即 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
且当 时， ，当 时， ，
当 时， 趋向于0，
故 ,故选：A
【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数 ，其中 .
(1)求证： 是奇函数；
(2)若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证；
（2）分离参数，将原问题等价转换为 在 上有解，由此转换为求函数值
域问题.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
在 中任取一个实数 ，都有 ，并且
.
因此， 是奇函数.
（2） 等价于 即 在 上有解.
记 ，因为 在 上为严格减函数，
所以， ， ，
故 的值域为 ，因此，实数 的取值范围为 .
命题点2 根据函数零点的范围求参数
【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在区间
上单调递减，且 在区间 上只有1个零点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合余弦函数的单调性与零点列式计算即可得.
【详解】当 时， ， 则 ，
当 时， ，则 ，
即有 ，解得 .
故选：C.
【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数 在区间 内恰有一个零
点，则实数a的取值集合为（ ）
A． B． 或 .
C． D． 或 .
【答案】D
【分析】根据题意，分 和 ，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出
不等式，即可求解.
由函数 ，
【详解】由函数 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，解得 ，符合题意；
若 ，令 ，即 ，可得 ，
当 时，即 ，解得 ，此时 ，解得 ，符合题意；
当 时，即 且 ，则满足 ，
解得 且 ，若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
综上可得，实数 的取值范围为 或 .
故选：D.
【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知函数 在区间 上有且仅有一
个零点，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解
【详解】解： 由对数函数的性质，可得 为单调递增函数，且函数 在 上有且
仅有一个零点，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：
【变式3】（2023·全国·模拟预测）将函数 的图像向右平移 个单
位长度得到函数 的图像．若 在区间 内有零点，无极值，则 的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得平移之后的函数 ，再由条件，列出不等式，代入计算，即可
得到结果.【详解】 ，
依题意得 ， ，又 ， ．
， ．
函数 在区间 内有零点，无极值，
，解得 ，即 的取值范围是 ．
故答案为：
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·一模）已知函数
的零点分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断 小于1， 大于1，再由数形结合判断
即可.
【详解】令 ，可得 ，所以 ，即 ；
令 ，可得 ，即 ，所以 ，
即 ；令 ，可得 ，由此可得 ，所以 ，
即 ，
作 的图象，如图，
由图象可知， ，所以 .
故选：D
2．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数 有唯一零点，则实
数 （ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】A
【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值.
【详解】由
，
得 ，即函数 的图象关于 对称，
要使函数 有唯一的零点，
则 ，即 ，得 ．
故选：A．
3．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数 ，若存在 ，使得，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 在 内有零点 D．若 在 内有零点，则
【答案】A
【分析】根据函数的单调性结合零点存在定理逐项判断即可得结论.
【详解】因为 在 上单调递增，且 ， ，
所以 ， ，根据零点存在定理可得函数 在 内有零点，故C正
确；
又因为 ，所以 ，故B正确；
又因为 ，则 可能大于 ，故A不正确；
若函数 在 内有零点，则 ，故D正确.
故选：A.
4．（2024·北京海淀·一模）已知 ，函数 的零点个数为 ，过点
与曲线 相切的直线的条数为 ，则 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助分段函数性质计算可得 ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得 .
【详解】令 ，即 时， ，解得 ，时， ，无解，故 ，
设过点 与曲线 相切的直线的切点为 ，
当 时， ，则有 ，
有 ，整理可得 ，即 ，
即当 时，有一条切线，
当 时， ，则有 ，
有 ，整理可得 ，
令 ，
则 ，
令 ，可得 ，
故当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
由 ，
，故 在 上没有零点，
又 ，
故 在 上必有唯一零点，
即当 时，亦可有一条切线符合要求，
故 .
故选：B.5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图像关于点
中心对称，将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的图像，则下列说法
正确的是（ ）
A． 在区间 上的值域是
B．
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在区间 内有3个零点
【答案】C
【分析】先通过 求出 ，则求出了函数 解析式，对于A：通过 ，
求出 的范围，进而可得函数值域；对于B：直接平移可得答案；对于C：通过
求出函数 的单调递增区间；对于D：通过 求
出 取值即可.
【详解】 函数 的图像关于点 中心对称， ，
，即 ，又 ，
，则 ．
当 时， ， ，，故A错误；
将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的图像，故B错误；
令 ，得 ，
当 时， ， 函数 在 上单调递增，故C正确；
令 ，得 ， ，
函数 在区间 内的零点有 ， ，共4个，故D错误．
故选：C.
二、多选题
6．（2024·甘肃定西·一模）已知函数 ，则（ ）
A．当 有2个零点时， 只有1个零点
B．当 有3个零点时， 只有1个零点
C．当 有2个零点时， 有2个零点
D．当 有2个零点时， 有4个零点
【答案】BD
【分析】将问题转化为 与 的图象交点问题，结合图象，逐
一分析各选项中 的取值范围，从而得解.
【详解】令 ，得 ，
利用指数函数与二次函数的性质作出 的大致图象，如图所示，由图可知，当 有2个零点时， 或 ，
此时 无零点或只有1个零点，故A错误；
当 有3个零点时， ，此时 只有1个零点，故B正确；
当 有2个零点时， ，此时 有4个零点．故C错误，D正确.
故选：BD.
7．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数 的零点为 ，下列判断正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】求导，利用导数判断 的单调性，结合零点存在性定理可得 ，进而逐
项分析判断.
【详解】由题意可得： 的定义域为 ，且 ，
因为 ，所以函数 在 上单调递增，
对于A：因为 ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，
所以 ，故B正确；对于C：因为 ，则 ， ，所以 ，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，故D正确．
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来
求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（2）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
三、填空题
8．（2024·重庆·模拟预测）若 ，则关于 的方程 的解的个数是 ．
【答案】3
【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出 和 的图象，找出两函数
图象交点个数即可.
【详解】由 ，知 ， ，
因为 ，所以 ，
在同一坐标系下分别画出 和 的图象，由图象可得 和 共有3
个交点，
即方程 有3个根.
故答案为：3.
9．（2023·河北·模拟预测）已知 ， 是该函数的极值点，定义 表示
超过实数 的最小整数，则 的值为 .【答案】
【分析】求出函数导数，转化为求增函数 的零点 ，利用零点存在性定理确定
，根据新定义求解即可.
【详解】∵ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ 在 上为增函数，
又 ，∴存在唯一 ，使得 ，
即 唯一的极值点 ，
∴ ，∴ ，
故答案为： .
四、解答题
10．（2023·四川成都·一模）已知函数 .
(1)若 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 时，求函数 的零点个数；
(3)若对于任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)两个(3)
【分析】（1）当 ， ，然后即可求解；
（2）求出导数 ，然后根据 的单调性并结合零点存在定理，
即可求解.
（3）利用（2）中结论，即证 恒成立，从而可求解.
【详解】（1）当 时，函数 ，因为 ，所以切点为
，
由 ，得 ，
所以曲线在点 处的切线斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）由（1）可知 ，
因为 ，所以 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
又因为 ， ，
所以，由零点存在定理可知，存在唯一的 使得 ，存在唯一的
使得 .故函数 有且仅有两个零点.
（3）因为 ，当 时，由 得 ，
下面证明：当 时，对于任意 ， 恒成立，
即证 ，即证 ；
而当 时， ，
由（2）知， ；所以 时， 恒成立；
综上所述， .
11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ， 是 的
零点．
(1)求 的值；
(2)求函数 的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的零点性质并结合范围求解 .
（2）利用余弦二倍角公式以及二次函数的性质求值域.
【详解】（1）由已知可得 ，
解得 ，
即 ，
又 ，可得 ．（2）由 ，可得
，
其中 ，
则当 时，函数 取得最小值 ，
当 时，函数 取得最大值2，
故函数 的值域为 ．
12．（2023·四川绵阳·模拟预测）函数 ．
(1)若 为奇函数，求实数 的值；
(2)已知 仅有两个零点，证明：函数 仅有一个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用奇函数的定义计算 的值即可；
（2）利用 仅有两个零点确定 的值，之后研究函数 的单调性，进而研究
函数零点个数.
【详解】（1）解：因为 为奇函数，
所以可知 的定义域为 ，且 ，即 ，
即 ，
所以 ，解得 .
（2）证明：①当 时， ，
所以函数 不可能有两个零点，此时不合题意；
②当 时，令 ，解得： 或 ，
又因 ，
则要使得f（x）仅有两个零点，则 ，
即 ，此方程无解，此时不合题意；
③当 时，即 ，
令 ，解得 或 ，符合题意，所以 .
令 ，则 ，
令 ，解得： 或 ，令 解得： ，
故 在 ， 上递增，在 上递减，
又 ，
故函数 仅有一个零点．综合提升练
一、单选题
1．（2023·吉林长春·一模）方程 的根所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为 零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求
解即可.
【详解】设 ，则方程 根所在区间即为 零点所在区间，
与 在 上均为增函数， 在 上单调递增；
对于A， ， 当 时， ，A错误；
对于B， ， ，即 ，
，使得 ，B正确；
对于CD，当 时， ， 在区间 和 上无零点，C错误，D
错误.
故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学
王子”的称号，设 ，用 表示不超过 的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如 ， ， ，设 为函数 的零点，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断 所在区间，最后根据高斯
函数的定义计算可得.
【详解】解：因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 在 上存在唯一零点 ，即 ，所以 .
故选：A
3．（2023·宁夏银川·三模）函数 在区间 上存在零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数 在区间 上存在零点，
由函数 在 的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足 ，
即 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 .故选：D.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 的最小正周
期为 ，在区间 上单调递减，且在区间 上存在零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定周期求得 ，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间
列出不等式组，然后结合已知求出范围.
【详解】由函数 的最小正周期为 ，得 ，而 ，解得 ，
则 ，由 ，
得 ，又 在 上单调递减，
因此 ，且 ，解得 ①，
由余弦函数的零点，得 ，即 ，
而 在 上存在零点，则 ，
于是 ②，又 ，联立①②解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
5．（2023·内蒙古赤峰·二模）记函数 的最小正周期为.若 ， 为 的零点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】先求出函数的周期 ，再由 可求出 ，然后由 为 的零
点，可求得结果.
【详解】因为 的最小正周期为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 为 的零点，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为4，
故选：C
6．（2024·安徽芜湖·二模）在数列 中， 为其前n项和，首项 ，且函数
的导函数有唯一零点，则 =（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
【答案】C
【分析】计算 ，分析 的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得 的递推关
系，求出前5项，计算求和即可.【详解】因为 ，
所以 ，由题意可知： 有唯一零点.
令 ，可知 为偶函数且有唯一零点，
则此零点只能为0，即 ，代入化简可得： ，
又 ，所以 ， ， ， ，所以 .
故选：C
7．（2023·四川南充·模拟预测）函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 与 互为反函数，可得 ，运用等量代换及基本不等式可
分别判定各个选项.
【详解】由题意知， ，
，
令 ，则 ，
又因为 与 互为反函数，所以 、 分别与 的的交点关于 对称，
所以 ，即： ，
又因为 ， ，
所以由零点存在性定理可知， ，
又因为 ，即 ，
所以 ，
对于A项，因为 ， ，
所以 ，故A项错误；
对于B项，因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，故B项正确；
对于C项，因为 ， ，所以 ，故C项错
误；
对于D项，因为 ， ， ，
所以 ，故D项错误.
故选：B.8．（2024·山西吕梁·模拟预测）用[ ]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设
分别是方程 及 的根，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】用零点存在性定理确定两个根的取值范围即可.
【详解】因为 分别是方程 ， 的根，
则 分别是函数 及 的零点，
而函数 是单调递增函数，又 ， ，则 ，
函数 在 上单调递增， ， ，则 ，
因此 ，所以 .
故选：C
【点睛】方法点睛：利用零点存在性定理不仅要函数 在区间 上是连续不断的曲线，
且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
个零点.
二、多选题
9．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数 有3个不同的零点 ,且
，则（ ）
A． B． 的解集为
C． 是曲线 的切线 D．点 是曲线 的对称中心
【答案】AC
【分析】利用三次函数的零点式，结合条件可求得 ，从而可判断AB，利用导数的几何意义可判断C，举反例排除D.
【详解】对于A，因为 有3个不同的零点 ,
所以不妨设 ，
易知 展开式中的常数项为 ，故 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，解得 ，故A正确；
对于B，因为 ，
令 ，即 ，
利用数轴穿根法，解得 或 ，故B错误；
对于C，易得 ，
当切线斜率为 时，令 ，解得 或 ，
当 时， ，
此时切线为 ，即 ，故C正确；
对于D，因为 ，又 ，
所以 ，所以点 是曲线 的对称中心，故D错误.
故选：AC.
10．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数 的最小正周期 ，
，且 在 处取得最大值.下列结论正确的有（ ）A．
B． 的最小值为
C．若函数 在 上存在零点，则 的最小值为
D．函数 在 上一定存在零点
【答案】ACD
【分析】A选项，由 图象关于 对称结合 可判断选项；B选项，由最小
正周期 ， ，且 在 处取得最大值可得 表达式；C选项，结合AB
选项分析确定 表达式，验证即可；D选项，分 ， 两种情况分析零
点即可.
【详解】A选项，因 在 处取得最大值，则 图象关于 对称，则
，故A正确；
B选项，最小正周期 ，则 ， ，
则 或 ，又 在 处取得最大值，
则 ，则 或 ，
其中 ，则 的最小值为 ，故B错误；C选项，由AB选项分析结合 ，可知 时，
可取 ，令 ，
则 ，其中 .
当 时，不存在相应的 ，当 时， ，则存在 满足题意；
由AB选项分析结合 ，可知 时，
可取 ，令 ，
则 ，
当 时，不存在相应的 ，当 时， ，则存在 满足题意，
综上可知 的最小值为 ，故C正确；
D选项，由C分析可知， 时，可取 ，
此时 ， ，存在零点；
时，可取 ，
此时 ， ，存在零点；
当 时， ，注意到 ，
则此时函数 在 上一定存在零点，综上 在 上一定存在零点，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：三角函数常利用整体代换法确定参数值，本题还用到了对称性.对于三
角函数的零点问题，常利用代值验证结合周期分析可解决问题.
11．（2023·江西·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的 ，存在偶函数 ，使得 为奇函数
B．若 只有一个零点，则
C．当 时，关于 的方程 有3个不同的实数根的充要条件为
D．对于任意的 ， 一定存在极值
【答案】ACD
【分析】取 可判断A；由 得 ，分 与 讨论求解
可判断B；利用导数研究 的性质，作出图象，转化为图象交点问题，数形结合可判断
C；分 与 讨论，结合极值的定义可判断D.
【详解】若 为奇函数，显然可取 ，故选
项A正确；
由 ，得 ．
当 时，解得 ；当 时， ，解得 ，
所以若 只有一个零点，则 或 ，故选项B错误；
当 时， ，则 ．由 ，解得 或 ．
当 时 ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减，
所以 的极小值为 ，极大值为 ．又当 时， ；当 时， ，
当 时， ；当 时 ，
的大致图象如图，
由图可知，当 的图象与直线 有3个交点时，有 ，
所以关于 的方程 有3个不同的实数根的充要条件为 ，故选项C正确；
，
若 ，则 只有一个变号零点 ，此时函数 存在极值；
若 ，因为 的判别式 ，
所以 有两个变号零点，此时函数 既存在极大值又存在极小值，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题
12．（2023·广东深圳·一模）定义开区间 的长度为 ．经过估算，函数
的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过
的开区间）．
【答案】 （不唯一）
【分析】利用函数的零点存在定理求解.
【详解】解：因为 都是减函数，所以 是减函数，
又 ，
即 ，
所以函数 在 上有零点，且 ，
故答案为 （不唯一）
13．（2024·河南南阳·一模）已知函数 在区间 上有最小
值，则整数 的一个取值可以是 ．
【答案】 （答案不唯一， 中的任意整数均可）
【分析】将问题“ 在 上有最小值”转化为 在 上有变号零点且在零点两
侧的函数值左负右正，结合二次函数零点分布求解即可.
【详解】由 可知， ，
又 在 上有最小值，
所以 在 上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令 ，则 在 上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 .
故答案为： （答案不唯一， 中的任意整数均可）.14．（2023·山西阳泉·模拟预测）已知函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，给出以下三个结论：① ；② ；③
.其中所有正确结论的序号为 .
【答案】①③
【分析】根据函数零点的定义结合函数的单调性推出 ，可得 .利用
基本不等式可判断①；结合二次函数单调性可判断②；判断出 ，即可推
出 ，从而推出 ，即可判断③.
【详解】由题意得 ，则 ，
即 和 为 的零点；
而 在R上单调递增，且 ，
在R上有且仅有一个零点， ，
又 ，①正确；
又 ，
而 在 上单调递增，
，②错误；
， ，
则 ，而 ，故 ，即 ，③正确.
综上，所有正确结论的序号为①③，
故答案为：①③
【点睛】关键点睛：本题综合性较强，涉及到函数零点以及单调性以及不等式证明相关知
识，解答的关键在于根据 ，变式为 ，从而推出 和 为
的零点，再结合函数的单调性，说明 ，以下问题则可顺利解
决.
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)若不等式 恒成立，求实数m的最大值；
(2)若函数 有零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)m最大值为1
(2)
【分析】（1）利用绝对值三角不等式将原不等式进行转化从而求解；
（2）通过分类讨论求解不等式.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，则原不等式恒成立等价于：
恒成立，由绝对值不等式 可得：
，
∴ ，∴ ，
∴实数m的最大值为1；
（2）由题意可得 ，
当 时， 恒成立，故没有零点，不符合题意；当 时， ，解得： ，即原函数有零点，
综上所述，实数 的取值范围为
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，方程 有两个解，求参数 的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）求出函数定义域并求导，研究单调性即可.
（2）研究函数当 时的单调性及最值并结合图像求出 的取值范围.
【详解】（1）由题意知函数 的定义域为 ， .
令 ，得 .
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（2）当 时， ，则 ，函数 的定义域为 ，
令 ，得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以当 时， 取得最小值，为 .
又当 时， ，画出 的大致图象，如图：
因为方程 有两个解，
所以 ，即 .
17．（2023·江苏·三模）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再将所得函图
象上所有点的横坐标变为原来的 （ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．
(1)若 ，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若函数 在区间 上没有零点，求ω的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）由函数图象变换知识可得 ，后由 单调性可得最
值情况；（2）由（1）结合题意可知 ， .后由
可进一步确认 大致范围，后可得答案.【详解】（1）函数 的图象先向右平移 个单位长度，则解析式变为：
，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的 （ω＞0）倍（纵坐标不变），
则解析式变为 .则 .
当 时， ，
因函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
， .
∴ ，∴ 在区间 上的最大值为 ．
（2） ，当 时， ，
要使 在 上无零点，则 ， .
， ， ， ，
当 时， ；当 时， ，
当 时， 舍去．
综上： 的取值范围为 ．
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．(2)设函数 ，若 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将 的值代入函数，对函数求导，求出切线斜率，再求出点的坐标，
进而求出切线方程.
（2）由 有两个零点，得出 有两个不相等的实数根，构造函数
，将问题转化为 与直线 的图像有两个不同的交点，进而得出
的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，且 ，
所以 ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）函数 ，
因为 有两个零点，
所以 ，即 有两个不相等的实数根，
设函数 ，则 ，
因为 ，所以 恒成立，所以当 时， 单调递增，且 ；
当 时， 单调递减，且 ，
因为函数 的图像与直线 有两个不同的交点，
所以 ，即 ．所以实数 的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基
本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，
体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与
函数 的图象的交点问题.
19．（2023·福建福州·模拟预测）设 ，函数 ．
(1)判断 的零点个数，并证明你的结论；
(2)若 ，记 的一个零点为 ，若 ，求证： ．
【答案】(1)零点个数=1，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据a的取值范围确定函数 的单调性，从而判断零点的个数；
（2）将不等式 理解为当两函数值相等时对应的自变量的大小关系即可.
【详解】（1） ，令 ，则 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， ，在 处 取得极小值也是最小值， ， ，即 单
调递增，
当x趋于0时， 趋于 ， ，
在 内存在唯一的零点，即 的零点个数为1；
（2）令 是减函数， ，
即当 时， ，当 时， ，
由 知： ；
由（1）的讨论知 存在唯一的零点 ，
当 时， ， ，
，
又 ， …①，其中 ，
令 ， ，则 ；
式即为 ，不等式 等价于 ，
其意义为：当函数 与函数 的函数
值相等时，比较对应的自变量之间的大小关系；
设 ，
，当 时， ，当 时，
， 是减函数，又 ， 时， ，即 ，
时 ，当且仅当 时等号成立；
即
【点睛】本题第二问的难点在于对不等式 的几何解释，即当 与 的函
数值相等时，对应的自变量的大小关系，如此构造函数 并判断单调性就
顺理成章了，其中对于导函数中有三角函数时，往往采用分区间 讨论符号
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·山西晋城·二模）将函数 的图象向右平移 （ ）个单位
长度，得到函数 的图象，若函数 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得 ，由 在 上有2个
零点得 ，解之即可求解.
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得 的图象， 由 ，得 ，
又 在 上有2个零点，所以 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .
故选：C2．（2024·全国·模拟预测）设函数 在区间 上恰有3个零点、2个
极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题意确定 ，再代入求整体角的取值范围，得到3个零点、2个极值
点的位置，解不等式求得结果.
【详解】当 时，无法满足函数 在区间 上的零点比极值点多，所以 ，
选项表示的区间也全部在正半轴．
函数 在区间 上恰有3个零点、2个极值点，
令 ，则相当于函数 在区间 上恰有3个零点、2
个极值点．
如图，要使函数 恰有3个零点 、2个极值点 ，
则 ，
所以 ．
故选：B．
3．（2023·北京·模拟预测）已知函数 ，下列命题正确的是（ ）
① 是奇函数；②方程 有且仅有1个实数根；
③ 在 上是增函数；
④如果对任意 ，都有 ，那么 的最大值为2.
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【分析】对于①，根据奇函数的定义判断，对于②，令 ，可得
，再结合零点存在性定理分析判断，对于③,对函数求导后利用导数判断，对于④,
问题转化为 恒成立，构造函数 ，求导后分析判断.
【详解】对于①，因为 的定义域为 ，
且 ，所以 是奇函数，所以①正确，
对于②，令 ，
因为 ，所以方程所以 有一个根为0，
因为 ， ，
所以方程 在 至少有一个根，所以②错误，
对于③，由 ，得 ，
所以 在 上是增函数，所以③正确，
对于④，若对任意 ，都有 ，即 恒成立，
令 ，则 ，
，当且仅当 ，即 时取等号，因为 ，所以取不到等号，所以 ，
若 ，则 恒成立，所以 在 上递增，
所以 ，即 恒成立，
若 ，则存在 使 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 在 上，有 不合题意，
综上， ，所以 的最大值为2，所以④正确，
故选：B
【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，第④个解的关键
是将问题转化为 恒成立，然后构造函数 ，利用导数结合基
本不等式讨论，考查分类思想和计算能力，属较难题.
4．（2023·四川南充·一模）已知函数 （ ）有两个不同的零
点 ， （ ），下列关于 ， 的说法正确的有（ ）个
① ② ③
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】令 ，判断 的单调性结合 得到 ， ，进
而有 ， ，两式作差可判断①；根据 得到
可判断②；将得到的两式相加，再利用换元法可判断③.【详解】 （ ）有两个不同的零点 ， ，且 ，
即 ， 是方程 的两个不同的根，
令 ， ，易知 ，
， 在 单调递增，
时， ，
时， ，
， ， ， ，
对于①，两式作差得， ，
整理得，
， ，即 ，故①正确；
对于②， ，且 ， ，
，即 ， ，故②正确；
对于③， ， ，
两式相加得， ，
整理得， ，即 ，，
即 ，
令 ，则 ，
整理得 ，即 ，
时， ，
时， ，
，即 ，故③正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查函数零点的问题，解答的关键在于构造函数，根据函数的单
调性确定零点的范围.
5．（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程 的两根为 ， ，则
（ ）
A． ， B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先结合函数的图象和零点存在性定理确定 的范围，判断AD；再去绝对值
后，即可判断BC.
【详解】由题意得， ，由 得 ，
如图画出函数 和 的图象，两个函数有2个交点，令 ，则 ， ， ，
由 ， 得 ， ，故A错；
由 ，得 ，
由 ， ，得 ，
即 ，所以 ，故C对，B错，
由 ， ，所以 ，D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的根的问题，转化为函数图象的交点问题，并
结合零点存在性定理，判断根的范围，这是这个题的关键.
二、多选题
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数 ，则下列结
论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．若 且 ，则C．若 在 上有且仅有2个不同的解，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】ACD
【分析】由 ，选项A：利用正弦函数的单调性判断； 选项B：利用正
弦函数的最值、周期判断；选项C：利用正弦函数的图象判断； 选项D：利用三角函数的
图象变换判断.
【详解】 ，
，当 时， ，
由复合函数、正弦函数单调性可知 在 上单调递增，故A正确；
对于B，若 且 ，则 ，故B不正确；
对于C，若 ，则 ，
若 在 上有且仅有2个不同的解，如图所示：
可得 ，解得 ，也就是 的取值范围为 ，故C正确；对于D， ，可知当 时， 是
奇函数，故D正确.
故选：ACD.
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象与直线 的交点
的横坐标分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为
【答案】ACD
【分析】先根据函数关系式正确作出函数图象，平移直线 ，即可确定实数 的取值范
围，挖掘 与 与 之间的等量关系，由此即可逐一判断每个选项.
【详解】当 时， 在 单调递减，在 单调递增，且 ．
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，且 ．
作出函数 的图象，如图．
对于A，当 时，函数 的图像与直线 有4个交点，A正确．
对于B，易知 ，由 ，可得 ，即 ，所以 ，B错误．
对于C，易知 是方程 的两个根，
即关于 的方程 的两个根，由根与系数的关系，得 ，C正确．
对于D，由根与系数的关系，得 ．
所以 ．
设 ，则 ．
令 ，则 ．
整理，得 ，解得 （负值已舍去），
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：D选项的判断是本题的关键点，注意利用等量关系消元，再借助导
数求其最小值，体现了导数的工具作用．
8．（2023·河南焦作·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．函数 在 上单调递增B．函数 在 上单调递减
C．若方程 有两个实数根 ， ，则
D．当方程 的实数根最多时， 的最小值为
【答案】ABD
【分析】先利用导数分析函数在 上的单调性，再结合函数的已知性质，分析函数在
， 的单调性，可判断AB的真假；对C：分 和 两种情况讨论，
可判断C的真假；借助函数单调性的结论，分析方程 解的个数，判断D
的真假.
【详解】当 时， ，
即 ，故 ，
又当 时， ，
由 得 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
故 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
同理得 在 上单调递增，在 上单调递减，故
A，B正确；
若方程 有两个实数根 ， ，由图象可知：则当 时 ，当 时， ，
不妨设 ，则 ，
又 ，当 时， 恒成立.
所以函数 在 上单调递增，则 ， ，
若 ，则 ，故C错误；
由 知 时有1个根，
由函数的单调性，做函数在 上的草图如下：
若直线 与 的图象有两个交点，
则 ，即 ，又 ，
则当 时，直线 过点 和点 ，
此时直线 与 有4个交点，即方程 有4个根，根的个数最多.所以方程 在 的根就有5个.
要是再小一点，方程 在 的根就只有3个.
故 的最小值为 ，故D正确.
故选：ABD
【点睛】难点点睛：该题当 时，函数的解析式是知道的，所以函数的单调性也好
分析，但当 时，函数解析式不明确，分析函数的单调性就有点困难.此时可
利用 ，所以函数在 和在 的单调性有
一致性，从而分析函数在 的单调性.
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）已知 相邻的两个零点分别为
，则 .
【答案】 /
【分析】解法一：利用三角恒等变形，化归到一般形式 ，易知
即有可能是锐角，也有可能是钝角，再利用函数零点转化为已知角的特值问题，即
，再去求 ， ，然后
利用两角差公式求 ，再利用降倍升次的二倍角公式求得
，最后即可求出结果.解法二：根据正弦型函数性质知这两个零点一定关于直线 对称，也就是有一个相
等关系 ，这样可以利用这个关系消去其中一个变量 ，就可以化简
，再利用诱导公式即可转化到已知零点的函数值，即求出结果.
【详解】解法一：因为
，
由 相邻的两个零点分别为 ，不妨设 ，
由于正弦值为 的相邻两个角一定是第一象限角和第二象限角，
所以 ， ，
则
.
所以 ,
又因为 的周期为 ，所以两个零点 有可能落在半个周期之内，也有可能落在半个
周期之外且一个周期之内，即 ，
又不妨设 ，则 .
解法二：由解法一知 ，则 ,根据函数 可知， 关于 ， 对称，
即 ，则 ，又不妨假设 ，
所以 ，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
综上可知 .
故答案为：
10．（2024·四川成都·三模）若函数 大于 的零点有且只有一个，则实数
的值为 ．
【答案】 /
【分析】首先判断 ，令 ， ，参变分离可得 ，依题意可得
与 在 上有且只有一个交点，令 ， ，利用导数求出
函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出 的值.
【详解】若 时 恒成立，所以 没有零点，
所以 ，
令 ， ，即 ，所以 ，
依题意 与 在 上有且只有一个交点，令 ， ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值是 ，
而当 时， ，当 时， ，所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为 与 在 上有且只
有一个交点.
四、解答题
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)讨论函数 和 的图象在 上的交点个数．
【答案】(1)1；
(2)答案见解析.
【分析】（1）构造函数 ，利用导数求出函数 的最小值即得.
（2）由交点的意义得 ，进而变形为 ，把问题转化为直线 与函数
的图象公共点的个数求解，构造函数 ，利用导数探讨此函数性质
即可得解.
【详解】（1）当 时， ， ．
令 ，则 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，则当 时， 取得最小值， ，所以当 时， 取得最小值1.
（2）由 ，得 ，两边同时取自然对数得 ，显然 ，则 ，
于是函数 和 的图象在 上的交点个数，即方程 的解的个数，
令 ，求导得 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
因此 是 的极大值点， ，
当 时， 单调递增，函数 的取值集合为 ，
当 时，直线 与函数 的图象仅只一个公共点，方程 有一个解，
当 时， 恒成立， 在 上递增，函数值集合为 ，在 上递减，
函数值集合为 ，
因此当 ，即 时，直线 与函数 的图象有两个公共点，方程
有两个解，
当 ，即 时，直线 与函数 的图象仅只一个公共点，方程 有
一个解，
当 ，即 时，直线 与函数 的图象无公共点，方程 没有实
数解，
综上，当 或 时，函数 和 的图象在 上的交点个数是1；
当 时，函数 和 的图象在 上的交点个数是0；
当 时，函数 和 的图象在 上的交点个数是2.12．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
(1)若过点 的直线与曲线 切于点 ，求 的值；
(2)若 有唯一零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）先求 ，得到切点，再求导，求出 得到切线斜率，利用点斜式写出
切线方程，再由切线过点 ，可求 的值.
（2）根据参数 的不同取值范围，讨论函数的单调性，求出函数的极值，结合当 趋近于
0时，函数值的符号，又函数只有一个零点，就可以确定 的取值范围.
【详解】（1）由题可得 ， ， ．
有 ，解得 ．
（2）因为 ，
令 ， ， ，
， ，
由 ，所以 在 上递减，在 上递增..
所以 ，当 时 ，
（ⅰ）当 时， ， ，
由 .所以 在 上递减，在 上递增，当 时， ， ，
当 时， ，所以 有1个零点．
（ⅱ）当 时，由 ，所以 在 上递减，在 上
递增， ，
①若 ， 有唯一零点.
②若 ， ，当 时， ，
当 时， ，所以 有2个零点，不合题意；
③若 ， ， 无零点，
（ⅲ）当 时，设 满足 ，
①若 ， 在 上大于等于0，故有 单调递增，
，故有 唯一零点；
②若 ， 在 递增，在 递减，在 递增，
， 有唯一零点；
③若 ， 在 递增，在 递减，在 递增， ，
有唯一零点；
综上，若 有唯一零点，a的取值范围是 或 .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形
结合求解
