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专练 13 函数与方程
授课提示：对应学生用书25页
[基础强化]
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C．和 D．－和－
答案：B
解析：由题意得x2－ax＋b＝0有两根2，3.
∴得
由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，
得x＝－或x＝1.
2．方程log x＋x＝7的根所在区间是( )
4
A．(1，2) B．(3，4)
C．(5，6) D．(6，7)
答案：C
解析：令f(x)＝log x＋x－7，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上
4
连续．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)<0，所以函数f(x)＝log x＋x－7的零点所在的区间
4
为(5，6)，即方程log x＋x＝7的根所在区间是(5，6).故选C.
4
3．函数f(x)＝的所有零点之和为( )
A．7 B．5 C．4 D．3
答案：A
解析：由得x＝－3，由得x＝10，∴函数f(x)的所有零点之和为10－3＝7.
1 2
4．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A.在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案：D
解析：∵f＝＋1>0，
f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，
∴f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．5.若幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，则函数g(x)＝f(x)－3的零点是( )
A． B．9
C．(，0) D．(9，0)
答案：B
解析：∵幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，∴f(2)＝2α＝，解得α＝，∴f(x)＝x，∴函数
g(x)＝f(x)－3＝x－3.令g(x)＝x－3＝0，得x＝9，∴g(x)＝f(x)－3的零点是9.故选B.
6．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，
2
b，c的大小关系为( )
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．c＞b＞a
答案：A
解析：在同一坐标系中画出y＝2x和y＝－x的图象，可得a＜0，用同样的方法可得b
＞0，c＝0，所以b＞c＞a，故选A.
7．函数f(x)＝x－的零点的个数为( )
A.0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：∵函数f(x)＝x－为单调增函数，且f(0)＝－1<0，f(1)＝>0, ∴f(x)在(0，1)内有一
个零点．
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋
3的零点的集合为( )
A．{1，3}
B．{－3, －1，1，3}
C．{2－，1，3}
D．{－2－，1，3}
答案：D
解析：当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，
∴g(x)＝
由
得x＝1或x＝3；
由得x＝－2－，故选D.
9．已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k满足( )
A.k≤2 B．－1<k<0
C．－2≤k<－1 D．k≤－2
答案：D
解析：
由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数图象只有一个公共点，
所以k<0，f(x)＝kx＋2恒过点(0，2)，要使y＝|f(x)|与y＝－k的图象有三个公共点(如图所
示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．故选D.
二、填空题
10．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是
________.
答案：
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1，1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调
函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得
<a<1，所以实数a的取值范围是.
11．设函数f(x)＝若f(x)＝1，则x＝________.
0 0
答案：±1解析：由题意得或
得x＝±1.
0
12.已知偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1，3]
内，函数g(x)＝f(x)－log (x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
a
答案：(3，5)
解析：∵偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，
∴函数f(x)的周期为2.在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－log (x＋2)有3个零点等价于
a
f(x)的图象与y＝log (x＋2)的图象在区间[－1，3]内有3个交点．当0<a<1时，不成立，所
a
以a>1且log (1＋2)<1，log (3＋2)>1，解得a∈(3，5).
a a
[能力提升]
13．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|
≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋
3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[2，4] B．
C． D．[2，3]
答案：D
解析：易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1，设函数g(x)＝x2－ax－a＋3
的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，根据定义，得|1－β|≤1，解得
0≤β≤2.作出函数g(x)＝x2－ax－a＋3的图象(图略)，因为g(－1)＝4，要使函数g(x)在区间
[0，2]内存在零点，则即解得2≤a≤3.故选D.
14．(多选)[2024·广东适应性测试]设三个函数y＝2x＋x－2，y＝log x＋x－2和y＝x3－
2
3x2＋3x－1的零点分别为x，x，x，则有( )
1 2 3
A．xx＜x B．xx＞x
1 2 3 1 2 3
C．x＋x＝2x D．x＋x≥2x
1 2 3 1 2 3
答案：AC
解析：因为y＝x3－3x2＋3x－1，所以y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，所以y＝x3－3x2＋
3x－1在R上是增函数，又当x＝1时y＝13－3×12＋3×1－1＝0，所以x ＝1.作出y＝2x，y
3
＝log x，y＝2－x三个函数的图象如图所示，
2
其中A(x，y)，B(x，y)分别是函数y＝2x，y＝log x的图象与直线y＝2－x的交点．因
1 1 2 2 2
为指数函数y＝ax与y＝log x的图象关于直线y＝x对称，且y＝2－x也关于y＝x对称，所
a
以交点A，B关于直线y＝x对称，所以＝，即2－x＋2－x＝x＋x，所以x＋x＝2＝2x，
1 2 1 2 1 2 3
再由基本不等式及x≠x 得xx＜＝1＝x(0＜x＜x).故选AC.
1 2 1 2 3 1 2
15．已知函数 f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是
________．
答案：(0，1)
解析：函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，等价于y＝f(x)与y＝m有三个交点，画出y＝
f(x)的图象，其中抛物线的顶点为(－1，1)，由图可知，当0<m<1时，y＝m与y＝f(x)的图
象有三个交点．16．已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)
恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
解析：当λ＝2时，不等式f(x)<0等价于
或
即2≤x<4或1<x<2，
故不等式f(x)<0的解集为(1，4).
易知函数y＝x－4(x∈R)有一个零点x＝4，
1
函数y＝x2－4x＋3(x∈R)有两个零点x＝1，x＝3.
2 3
在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略)，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有
以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ>4.②两个零点为1，4，由图可知，
此时1<λ≤3.
综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞).
