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专题15 函数零点问题
真题呈现
1．（2021·天津·统考高考真题）设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ， ，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的
取值范围是________．
【解析】因为 ，所以 ，令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
3．（2023·天津·统考高考真题）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为
___．
【解析】（1）当 时， ，即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．
（2）当 时， ，即 ，若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
4．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若
至少有3个零点，则实数 的取值范围为______.
【解析】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【解析】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.6．（2022·北京·统考高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 _____；
__．
【解析】∵ ，∴ ，∴
，故答案为：1，
考点一 函数零点的定义
一、单选题
1．函数 的零点为（ ）
A．2，3 B．2 C． D．
【解析】由 ，得 ，即 或 ，解得 或 ，
所以函数 的零点为2，3.故选：A
2．若 是二次函数 的两个零点，则 的值是（ ）
A．3 B．15 C． D．
【解析】由题意知 是二次函数 的两个零点，
故 是 的两个根，
则 ，且 ，则 且 ，
故 ，故选：B
3．关于 的函数 的两个零点为 ，且 ，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意得 是方程 的两不等实根，所以 ，， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 .故选：A
4．若向量 ， ，则函数 的零点为（ ）
A． B． C． D． ，
【解析】由题意可得， ，令 ，可得 或 ，所以函数
的零点是 .故选：D
5．函数 有且只有一个零点，则实数m的值为（ ）
A．9 B．12 C．0或9 D．0或12
【解析】因为 ，令 ，得到 ，
当 时， ，得到 ，满足题意，
当 时，因为函数 有且只有一个零点，故 ，得到 ，综上， 或
.
故选：C.
二、填空题
6．函数 的零点为________．
【解析】依题意有 ，所以 .
7．若函数 有且仅有两个零点 ，且 ，则 _______.
【解析】函数 的定义域为 ，由 ，得 ，
即 ，令 ，则 ，，即函数 为增函数，而 ，于是 有唯一解，即有 ，
因此 的两个解为 ，此时 ， ，
即 ， ，显然 ，则有 ，解得 ，
所以 ．
三、解答题
8．求下列函数的零点．
(1) ；(2) .
【解析】（1）由 ，得 ，又 ，所以 ，
即 ，所以函数 的零点为 .
（2）由 ，得 ，
①当 ， 时，函数有唯一零点 ；
②当 ，即 时，函数有两个零点 和 .
考点二 零点存在定理判断零点所在区间
一、单选题
1．函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数，
因为 ， ，
由零点存在定理可知，函数 的零点所在区间是 .故选：B.
2．已知方程 的解在 内，则 （ ）A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】令函数 ，显然函数 在 上单调递增，
而 ， ，因此函数 的零点 ，
所以方程 的解在 内，即 .故选：C
3．已知函数 ，则 的零点所在的区间为（ ）.
A． B． C． D．
【解析】因为 ， ，
所以由零点存在性定理知， 的零点所在的区间为 .故选：B.
4．函数 在区间 上的零点必属于区间（ ）
A． B． C． D．
【解析】解法一：二分法
由已知可求得， ， ， ， ， .
对于A项，因为 ，所以A项错误；
对于B项，因为 ，所以B项错误；
对于C项，因为 ，所以C项错误；
对于D项，因为 ，所以D项正确.
解法二：因为 ，所以 ，即函数 在区
间 上的零点为2，故D正确.
故选：D.5．已知 唯一的零点同时在区间 和 内，下列说法错误的是（ ）
A．函数 在 内有零点 B．函数 在 内无零点
C．函数 在 内有零点 D．函数 在 内无零点
【解析】因为 唯一的零点同时在区间 和 内，
则该函数唯一的零点同时在区间 内，可知B，C，D正确，
对于A，函数 唯一的零点可能在 内，也可能在 内，故A错误.
故选：A
6．已知函数 ，若方程 的实根在区间 上，则k的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，当 时，解得 ；
当 时， ，其中 ， ，
当 时，解得 ，综上k的最大值是1.故选：C.
7．已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则函数 的零
点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 （ 且 ）的图象过定点 ，
则 ，可得 ，所以， ，
因为函数 、 在 上均为减函数，所以，函数 在 上为减函数，
且 ， ，
由零点存在定理可知，函数 的零点在区间 内.故选：A.
二、填空题
8．函数 的零点所在区间（取整数）是_________．
【解析】由题意，得 的定义域为 ，易知函数 和 在 均为增函数，
所以 在 单调递增，因为 ， ，
所以由零点存在定理可知，函数零点所在区间为 .
考点三 求函数零点个数
一、单选题
1．函数 在区间 上的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】求函数 在区间 上的零点个数，
转化为方程 在区间 上的根的个数.
由 ，得 或 ，解得： 或 或 ，
所以函数 在区间 上的零点个数为3.故选：A.
2．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7【解析】 定义域为R， ，
又 ，故 为奇函数，
当 时，由于 恒成立，故 恒成立，无零点，故 时，也不存在零点，
当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，也时最大值， ，显然 ，
，故由零点存在性定理知，在 上存在一零点，结合函数为奇函数，在
上存在一零点，综上， 一共有3个零点.故选：B
3．函数 的零点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】由题意可知：要研究函数 的零点个数，
只需研究函数 ， 的图像交点个数即可.画出函数 ， 的图像，
因为 时， ， 时， ， 时， ，
可知当 和 时，图像各有一个交点， 时，必有一个交点，
且交点为 ， 及第二象限的点C.故选：D
4．函数 的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】本题转化为函数 和函数 的交点个数,做出两个函数的图像,如图,
根据图像可得两个函数交点的个数为 个,所以函数 的零点个数为 个.故选:C.
5．已知函数 ，则函数 零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】当 时， ，所以不存在零点；
当 时， ，也不存在零点，所以函数 的零点个数为0.故选：A.
6．设函数 若 , ,则关于 的方程 的解的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由 得 ，①由 得 ，②
由①②得 ， ．所以 ，
当 时，由 得方程 ，解得 ， ；
当 时，由 得 （舍去）.故方程共有2个解．故选：B
7．方程 ， 实根的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】因为 ，则 与 ， 的图象如下所示：
由图可得 与 ， 有且仅有 个交点，
所以方程 ， 实根有 个.故选：C
8．已知函数 ， ，则 在区间 上的零点个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】
，
当2x- =kπ，k∈Z时，x= + ，k∈Z，所以当k=0时，x= ，当k=1时，x= ，
所以f(x)在区间(0,π)上有2个零点.故选：B.
9．已知定义域为 的偶函数 满足 ，且当 时， ，若将方程实数解的个数记为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 ，所以 的对称轴为 ．
因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，所以 的周期为2，所以 的图象如图所示：
当 时，方程 有2个实数解，所以 ，
当 时，方程 有4个实数解，所以 ，
可知 是一个首项为2，公差为2的等差数列，所以 ．
因为 ，
所以 ，
故 ．故选：D
二、填空题
10．函数 的零点个数是__________．
【解析】当 时，由 解得 ，当 时，由 解得 ，所以函数 的零点个数是2个
11．已知 ，方程 的实根个数为__________．
【解析】由 ，则 ，则令 ， ，
分别作出它们的图象如下图所示，
由图可知，有两个交点，所以方程 的实根个数为2．
12．定义在R上的函数 满足 ， ，当 时， ，则
函数 有__________个零点．
【解析】因为定义在R上的函数 满足 ，所以 是以4为周期的周期函数，
因为当 时， ，所以 的图象如图所示，
由 ，得 ，所以将问题转化为 的图象与 交点的个数，
因为 ， ，
， ，所以 的图象与 的图象共有7个交点，
所以 有7个零点，
故答案为：7考点四 根据函数零点求参
一、单选题
1．函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由零点存在定理可知，若函数 在区间 上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足 ，即 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选：D
2．已知函数 ，若 恰有两个零点，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，得 成立，因为函数 恰有两个零点，
所以 时， 有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求，
当 时，只需满足 ，解得： .故选：C
3．已知函数 （e为自然对数的底数，a∈R）有3个不同的零点，则实数a
的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【解析】当 时， ，且 ，∴二次函数开口向下且
在 内抛物线与 轴只有一个交点，∴ 在 内只有一个零点，
当 时， ， 不是 的零点，由已知得当 时， 有两个零点，
由 得 ，令 ，即 ，只有函数 与 有两个交点时，函数 有两个
零点，∵ ，∴ 时， ， 时， ，
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，当 时， ，
∴ 时，函数 有两个零点，综上所述，实数a的取值范围是 ，故选： .
4．已知函数 ，若 有3个不同的解，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ，令 ，则 ，
∴当 或 时， ，当 时， ，
∴ 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，可得函数的大致图象，所以 有3个不同的解等价于 有两个解 ， 且 ， ，
整理可得 ，∴根据根的分布，得 ，
解得 ，则a的取值范围是 ．故选：A．
5．已知函数 若函数 有五个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， 则 ，
此时 ，则 或 ，
当 时， 则 ，
此时 ，则 ，
故问题转为 ， 共有四个零点，
画出函数图象如下可知：则 ，故选：D6．已知函数 ，若方程 有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ，该直线恒过点 ，方程 有四个不同的实数根
如图作出函数 的图象，
结合函数图象，则 ，所以直线 与曲线 有两个不同的公共点，
所以 在 有两个不等实根，令 ，
实数 满足 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选：D.
7．若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】①当 时， 则 只有一个零点0，不符合题意；
②当 时，作出函数 的大致图象，如图1， 在 和 上各有一个零点，符合题意；③当 时，作出函数 的大致图象，如图2， 在 上没有零点．
则 在 上有两个零点，此时必须满足 ，解得 ．
综上，得 或 ．故选：A
二、多选题
8．已知函数 ，实数 、 是函数 的两个零点，则下列结论正
确的有（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 ，所以， ，
且当 时， ，此时 ，
的零点即函数 与 的图象交点的横坐标，如下图所示，
由图象可知，当 时，函数 与 的图象有两个交点，A错B对；
由图可知， ，由 可得 ，化简可得 ，C对；
由 ，因为 ，所以等号取不到，可得 ，所以 ，D对,
故选：BCD．
9．已知函数 且方程 的6个解分别为
，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，整理得到 ，
故 或 ，画出 的图象，如下：
显然 有三个根，分别为 ，
有三个根，分别为 ， ， ， ，
A选项，数形结合得到 ，A错误；
B选项，由于 ， ，故 ，故B错误；
C选项，由 得 ，由 ，得到 ，故 ，C正确；
D选项，因为 ， ，故 ，D正确.
故选：CD
三、填空题
10．设函数 在区间[ 上有零点，则实数 的取值范围是___________.【解析】令 ，则 ，函数 在区间[ ，3]上有零点等价于直线
与曲线 在 上有交点，
则 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
， ，显然 ， ，
即当 时，函数 在 上有零点；故答案为： .
11．函数 在 上存在零点，则整数t的值为______．
【解析】 在R上单调递增，由零点存在性定理可知， ，
由于 ， ，故整数 .
12．若函数 在区间 内恰有一个零点，其中 ，则 的值为__________．
【解析】如图所示，函数 的零点，即函数 与 图象的交点，
由图象可知，两函数的图象只有一个交点，且 ，
所以 ，所以函数 在 内有一个零点，
又由 ，所以 ，所以 .
13．方程 在区间 上有解，则实数a的取值范围为__________．【解析】考查 ，因为 ，且 开口向上，
故 在区间 上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程 在区间 上有
解，
则 ，即 ，解得 .
14．函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为_________.
【解析】设 为 在 上的零点，可得 ，
所以 ，即点 在直线 ，又 表示点 到原点距离的平方，
则 有解，即 有解，
令 ，可得 ，
因为 ， ，所以 恒成立，可得 在 上为单调递增函数，
所以当 时， ，所以 ，即 的最小值为 ．
15．已知函数 ，若 在区间 上有零点，则 的最大值为__________.
【解析】设 ，则 ，此时 ，则 ，
令 ，当 时， ，
记 ，则 ，所以 在 上递增，在 上递减，
故 ,所以 ，所以 的最大值为 .16．若关于 的方程 在 上有解，则实数 的取值范围是______．
【解析】方程 在 上有解，等价于函数 与 在 有交点，
因为 ，所以 ，所以 ，解得 .
17．已知函数 ，若 有三个零点，则实数 的取值范围为________．
【解析】因为 ，解得 ，
所以 或 ， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，又因为 有3个零点，
所以 ，解得 ，所以实数b的取值范围为 .
18．已知 ，若存在三个不同实数 使得 ，则 的取值范围是
______．
【解析】作出函数 的图像如下图所示：
设 ，由图像可知 ，则 ，解得 ，
由 可得 ，即 ，可得 . .
