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热点 2-5 导数的应用-单调性与极值
导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层
次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的
根（或函数的零点），三角函数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，
重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。本题考试难度大，除了方法与技
巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。
【题型1 求函数的单调区间或单调性】
满分技巧
1、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）求 （通分合并、因式分解）；
（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2、含参函数单调性讨论依据：
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
【例1】（2023·广西·模拟预测）函数 的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
，
由 得 或 （因为 ，故舍去），所以 在区间 上单调递增．
【变式1-1】（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数 在 上的
单调递减区间为 .
【答案】
【解析】由题意知， .
即 ， ，因为 ，所以 ，
所以在 中， ，
所以 在 上的单调递减区间为 .
【变式1-2】（2023·山东淄博·高三统考期中）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调增区间．
【答案】（1） ；（2） 和
【解析】（1） ，定义域为 ，
，
， ，
故切线方程为 ，即 ；
（2）函数 定义域为 ， ，
设 ， ， ，
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递减；
故 ， 恒成立，
即 在 上恒成立，
函数 在 和 上单调递增.
则函数 单调增区间为 和 .【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时，求函数
的单调区间.
【答案】增区间为 和 ，减区间为
【解析】当 时， ，该函数的定义域为 ，
，
由 可得 ，
由 可得 或 ，
故当 时，函数 的增区间为 和 ，减区间为 .
【变式1-4】（2023·山西大同·高三统考期末）已知函数 ， .
（1）求曲线 的平行于直线 的切线方程；
（2）讨论 的单调性.
【答案】（1）
（2） 在 上单调递增，在 上单调递减
【解析】（1）由已知得 ，
直线 的斜率为1，令 ，得 ，
设 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
而 ，所以方程 有唯一解 ，此时 ，
故曲线 的平行于直线 的切线只有一条，即在点 处的切线 ；
（2） ，
而 ，因此 的正负与 的正负一致，
由 知，当 时， ，所以 单调递增，
所以 等价于 ，
等价于 ，
由函数 和 知，当 时， ，即，
当 时， ，即 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
【题型2 根据函数的单调性求参数】
满分技巧
已知函数的单调性求参数
（1）函数 在区间D上单调增（单减） 在区间D上恒成立；
（2）函数 在区间D上存在单调增（单减）区间 在区间D上能成立；
（3）已知函数 在区间D内单调 不存在变号零点
（4）已知函数 在区间D内不单调 存在变号零点
【例2】（2024·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知函数 在 上为减函
数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 在 上为减函数，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，令 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
故 ，所以 的取值范围是 ，故选：D.
【变式2-1】（2023·福建泉州·高三泉州第一中学校考阶段练习）若函数 在 上存
在单调递增区间，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 在 上存在单调递增区间，
所以存在 ，使 成立，即存在 ，使 成立，
令 ， ，变形得 ，因为 ，所以 ，所以当 ，即 时， ，所以 ，故选：D．
【变式2-2】（2023·广东汕头·高三统考期中）设 ，若函数 在 递增，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 递增，
所以 在 上恒成立，
则 ，即 在 上恒成立，
由函数 单调递增得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，故选：B
【变式2-3】（2023·福建三明·高三校联考期中）已知函数 ，则 在 上不单
调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
令 ，因为 在 上不单调，
在 上有变号零点，即 在 上有变号零点，
当 时， ，不成立；
当 时，只需 ，即 ，解得 或 ，
所以 在 上不单调的充要条件是 或 ，
所以 在 上不单调的一个充分不必要条件是 ，故选：B【变式2-4】（2023·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）若函数 在其定义域
内的一个子区间 内不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
所以 时 递减，
时， 递增， 是极值点，
因为函数 在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，
所以 ，即 ，故选：B.
【题型3 导函数与函数的图象关系】
满分技巧
（1）对于原函数，要注意图象在哪个区间内单调递增，在哪个内单调递减；
（2）对于导函数，则要注意函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，同时还要注意这些区间
与原函数的单调性的一致。
【例3】（2023·广东湛江·高三校考阶段练习） 的图象如图所示，则 的图象最有可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知，当 或 时， ；当 时， .
所以，函数 的增区间为 和 ，减区间为 ，
所以，函数 的图象为C选项中的图象，故选：C.
【变式3-1】（2024上·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）（多选）已知函数 的定义域为R且导函数为 ，如图是函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的减区间是 ， B．函数 的减区间是 ，
C． 是函数 的极小值点 D． 是函数 的极小值点
【答案】BC
【解析】观察图象，由 ，得 或 ，
显然当 时， ，当 ， ，
由 ，得 或 ，显然当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，A错误，B正确；
函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值，C正确，D错误.故选：BC
【变式3-2】（2023·新疆喀什·高三统考期中）（多选）已知函数 ，其导函数 的图象如
图所示，则 （ ）
A．在 上为减函数 B．在 处取极大值
C．在 上为减函数 D．在 处取极小值
【答案】BCD
【解析】由图像得：当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
当 时取得极大值，当 时取得极小值.故选：BCD
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：因为在 和 上 ，在 和 上 ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
观察各选项知，只有D符合题意.
解法二：由题图知， 在 的左侧大于 、右侧小于 ，
所以函数 在 处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意.故选：D.
【变式3-4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数 的图象如图所示（其中 是函数
的导函数），下面四个图象中可能是 图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 的图象知，当 时， ，故 ， 单调递增；
当 时， ，故 ，当 ， ，故 ，
等号仅有可能在x＝0处取得，所以 时， 单调递减；当 时， ，故 ， 单调递增，结合选项只有C符合.故选：C.
【题型4 求函数的极值或极值点】
满分技巧
利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）观察在每个根x 附近，从左到右导函数 的符号如何变化．
0
①如果 的符号由正变负，则 是极大值；
②如果由负变正，则 是极小值．
③如果在 的根x＝x 的左右侧 的符号不变，则不是极值点．
0
【例4】（2023·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数 （ 为自然对数
的底数），则函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以 .
当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值， ，故选：D.
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）函数 在区间 的极大值、极小值分别为（
）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由题意，得 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ．所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
当 时， 取得极小值，为 ；
当 时， 取得极大值，为 ．故选：D．
【变式4-2】（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）函数 的极大值
是 ．
【答案】
【解析】由 ，则 ，
令 ，解得 或 ，
则当 ， 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递减；
则当 时，函数 取得极大值 ，
.
【变式4-3】（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数 ，则函数
的极小值为 .
【答案】
【解析】 ，
设 ，因为 ，所以 .
令 ，所以 .令 ，则 或 .
因为在 上 ，在 上 ，
在 上 ，所以 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的极小值为 ，
即 的极小值为 .
【变式4-4】（2024·河南·统考模拟预测）已知函数 在点 处的切线与直线
垂直．
（1）求 ；
（2）求 的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ，极大值 ，极小值
【解析】（1） ，则 ，
由题意可得 ，解得 ；
（2）由 ，故 ，
则 ， ，
故当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 的单调递增区间为 、 ， 的单调递减区间为 ，
故 有极大值 ，
有极小值 .
【题型5 根据函数的极值求参数范围】
满分技巧
（1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程；
（2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍。
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数 的极小值点为 ，极大值点为 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得 ，关于x的一元二次方程 的两根为b，2b，
又极小值点为 ，极大值点为 ，所以 ，即 ，由韦达定理得到 ，所以 ， ，得到 ．故选：A．
【变式5-1】（2024上·广东潮州·高三统考期末）若函数 在 上有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的定义域为 ， ，
要函数 在 上有极值，
则 在 上有零点，即 在 上有实数根.
令 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，所以 .
当 时， ，函数 单调递增，
则函数 在 上没有极值，故 .故选:D.
【变式5-2】（2024上·河南南阳·高三统考期末）若函数 有两个不同的极值点，则实数
a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 有两个变号零点，
令 ，定义域为R，则 ，
当 时， 恒成立， 在R上单调递增，不会有两个零点，舍去，
当 时，令 得， ，令 得， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
则 ，即 ，
令 ， ，则 ，令 得 ，令 得 ，
在 上单调递增，在 单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
又 ，故 的解集为 ，
此时当 趋向于负无穷时， 趋向于正无穷，
当 趋向于正无穷时， 趋向于正无穷，
满足 有2个变号零点.，故选：C
【变式5-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）若函数 在区间 上存在极小值
点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
的开口向上，对称轴为 ，与 轴的交点为 ，
当 时，在区间 上， ， 单调递增，
没有极值点，所以 ，
要使 在区间 上存在极小值点，则 在 有两个不等的正根，
则需 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，故选：A
【变式5-4】（2023·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）若函数
既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，因为函数 既有极大值也有极小值，
所以函数 在 上有两个变号零点，而 ，
所以方程 有两个不等的正根 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
故BCD正确，A错误．故选：A．
【题型6 利用导数求函数的最值】
满分技巧
函数 在区间 上连续，在 内可导，则求函数 最值的步骤为：
（1）求函数 在区间 上的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
【例6】（2023·四川南充·高三南部中学校考阶段练习）已知函数 在区间
上的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，
则 ．
令 ， 解得 (舍去)， 或 ．
所以
故 在 单调递增，在 单调递减，
，
又 ，
所以 ．【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，求 的最小值.
【答案】0
【解析】由已知可得， 定义域为 ，
且 .
当 时，有 ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，所以函数 在 上单调递减.
所以， 在 处取得唯一极小值，也是最小值 .
【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．讨论函数 的最
值；
【答案】答案见解析
【解析】由函数 ，可得其定义域为 ，且 ，
当 时，可得 ， 在 上单调递增，无最值；
当 时，令 ，可得 ，所以 在 上单调递减；
令 ，可得 ，所以 在 单调递增，
所以 的最小值为 ，无最大值．
综上可得：
当 时， 无最值；当 时， 的最小值为 ，无最大值．
【变式6-3】（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数 ，求 在区间 上的最大值．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）设 的最小正周期为 ，显然 ，
令 ，解得 .
（2）由已知得 ， ，当 时，令 ， ，令 ， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 最大值是 .
【变式6-4】（2023·山东青岛·高三统考期中）已知函数 ．
（1）若 是函数 的极值点，求 在 处的切线方程．
（2）若 ，求 在区间 上最大值．
【答案】（1） ；（2）答案见解析
【解析】（1） ，
又 是函数 的极值点，
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
在 处的切线方程为 ，即 ，
所以 在 处的切线方程是
（2） ，令 ，得 ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增
而 ，
①当 ，即 时，
②当 ，即 时，
综上，当 时， ；
当 时，
【题型7 根据函数的最值求参数范围】
【例7】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数 在 处取最大值，则实数
（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C【解析】由题意得 ， ，
当 时， 在 上恒成立，此时 单调递增，不符合题意，
当 时，当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
故当 时，函数 取极大值也是最大值，
故 ，故选：C．
【变式7-1】（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数 在区间 上的最小值
为 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， 单调递减，
故 在 处取得最小值，最小值为 ，满足要求，
当 或 时， ，
令 得 或 ，
当 时， 恒成立，
故表格如下：
0 + 0
极小值 极大值
故 在 上取得极小值，
且 ， ，
要想 在区间 上的最小值为 ，
则要 ，变形得到 ，
令 ， ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
且 ， ，
故 的解集为 ，
时，令 可得 ，
当 时， ，
令 得 ，
故 在 上单调递减，
故 在 处取得最小值，最小值为 ，满足要求，
当 时， 恒成立，
故表格如下：
+ 0 0 +
极大值 极小值
故 在 上取得极小值，
且 ， ，
要想 在区间 上的最小值为 ，
则要 ，变形得到 ，
令 ， ，
时， ， 单调递增，
又 ，故 上， 无解，
综上：实数a的取值范围是 .故选：C
【变式7-2】（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数 在区间 上存
在最大值，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，令 ，得 ，
令 ，是 ，或 ，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
故 .
令 ，得 ，解得 ， ，
所以 ，所以要使 在 上存在最大值，
则有 ,解得 .故选：B.
【变式7-3】（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若 在
内存在最小值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
令 ，解得 或 ，
所以 在 ， 内单调递增，在 内单调递减，
所以极小值为 ．
令 ，则 ，所以 ，
由题意得 ，所以a的取值范围为 .故选:C．
【变式7-4】（2023·上海·高三上海中学校考期中）已知 ，函数 ， ．
（1）当 时，若斜率为0的直线l是 的一条切线，求切点的坐标；
（2）若 与 有相同的最小值，求实数a．【答案】（1） ；（2）1
【解析】（1）由题意 ， ，
由 得 ，此时 ，
所以切点为 ；
（2） ， 时， ， 在 上是增函数，无最小值，所以 ，
，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 有唯一的极小值也是最小值 ，
， ，
， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 有唯一的极小值也是最小值为 ，
由题意 ， ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以 ，所以 ，即 ， 是减函数，
又 ，因此 是 的唯一零点，
所以由 得 ．
【题型8 函数的单调性、极值、最值综合】
【例8】（2024·河南·模拟预测）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， .
【答案】（1）答案见解析；；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时，由 ，得 ，函数 在 上单调递减，由 ，得 ，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）证明：由（1）知，函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，
则 ，
令函数 ，求导得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，则 ，
于是 ，有 ，当 时，则 ，
因此 ，
所以 .
【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
（1）若 ，求 在 上的最大值和最小值；
（2）讨论函数 的零点个数．
【答案】（1）最小值为 ，最大值为 ；（2）答案见解析.
【解析】（1）当 时， ， ，
则 ，
设 ，则 ，
易知 在 上单调递增， ，
故 即 在 上单调递增， ，
故 在 上单调递增，
在 上的最小值为 ，最大值为 ．
（2）由 可得 ．
①当 时， ，又 ， ， 恰有1个零点；
②当 时，由 得 ，由 得 ，在 上单调递减，在 上单调递增，
的最小值 ，
又 ，当 时， ，故 有2个零点；
③当 时，由 得 或 ，由 得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
的极小值 ，极大值 ，
又当 时， ， 有1个零点；
④当 时，由 可得 或 ，由 可得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值 ，极小值 ，
又当 时， ， 有1个零点；
⑤当 时， ， ，
单调递增， ， 有1个零点．
综上可知，当 时， 有2个零点；当 时， 有1个零点．
【变式8-2】（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知函数 ．
（1）若 时，恒有 ，求a的取值范围；
（2）证明：当 时， ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）由若 时，恒有 ，
所以当 时， 恒成立，
设 ，
则令 ，
则 ，显然 在 单调递增，
故当 时， ，
当 时， ，则 对 恒成立，
则 在 单调递增，
从而当 时， ，即 在 单调递增，所以当 时， ，符合题意；
当 时， ，又因为 ，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减， ，
则 单调递减，此时 ，不符合题意.
综上所述，a的取值范围为
（2）要证当 时， ，即证 ，
设 ，
则 ，
令 ，
则 单调递增，
所以当 时， ，则 单调递增，
所以当 时， ，
则当 时， ，即 单调递增，
所以当 时， ，原式得证
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，且 ．
（1）求 的取值范围；
（2）求关于 的不等式 的解集．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意知 ．
因为函数 有两个极值点 ，
所以 在 上有两个变号零点．
设 ， ，则 .
①当 时， ，则 在 上单调递增，至多一个零点，不符合题意；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
因为 在 上有两个变号零点，即 在 上有两个变号零点，
所以 ，解得 ，此时 .
因为 ， ，所以 在 上存在一个零点．
因为 ，
由 ，则 .
设 ，
则 ，所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ．所以 ，
且 ，则 ，
又 ，所以 在 上存在一个零点．
由两个极值点 ，满足 ，则 .
故当 时， 在 上有两个变号零点 .
综上所述，a的取值范围为 ；
（2）由（1）可知，当 时， ，
在 单调递减，在 单调递增．
又 ，所以 ，
且当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
由 ，得 ，所以 ．
所以 ．
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，其中 ，①当 时， ，即 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，故不等式 无解；
②当 时， ，即 ，所以 ，
所以 ，符合题意；
③当 时， ，即 ，所以 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，
故此时不等式 也无解．
综上所述，不等式 的解集为 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2024·北京昌平·高三统考期末）下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项， 在 上单调递增，不合要求，错误；
B选项， 在 上单调递增，在 上单调递减，故B错误；
C选项， 在 上恒成立，故 在 上单调递增，C错误；
D选项，令 得， ，
在 上单调递增，
而 在 上单调递减，
由复合函数单调性可知， 在 上单调递减，D正确.故选：D
2．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）设函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增 B． 在 上存在最大值
C． 在定义域内存在最值 D． 在 上存在最小值
【答案】D
【解析】 ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，且 ，
所以存在 使得 ，
则 时 单调递减；
当 时 单调递增，故A错误
当 时， 在 上不存在最大值，故B错误；
，所以 的周期为 ，
定义域关于原点对称， ，所以 为奇函
数，
当 时 单调递减， 时 单调递增，
即当 时， ，有最小值，无最大值；
由奇偶性得 时， ，故 在定义域内不存在最值，故C错误
对D：结果前面分析知存在 使得 ，且
所以 ，
所以 ，故D正确.故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 为 的导函数， ，则（
）
A． 的极大值为 ，无极小值 B． 的极小值为 ，无极大值
C． 的极大值为 ，无极小值 D． 的极小值为 ，无极大值
【答案】C【解析】 的定义域为 ， ，
所以 ，
求导得 ，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时， 取得极大值 ，无极小值．故选：C．
4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）等差数列 中的 ， 是函数 的极值
点，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由 求导得： ，
有 ，即 有两个不等实根 ，
显然 是 的变号零点，即函数 的两个极值点，
依题意， ，在等差数列 中， ，
所以 ，故选：A
5．（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，函数 在 上单调递减，不符合题意，所以 ，
由题可知 恒成立，即 .令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，由 ，
可得 ，即 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，不符合题意，故 的取值范围是 .故选：B
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若 为函数 的极值点，则函数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，则 ，
所以 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．故选：C
7．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下
列说法正确的是（ ）
A．函数 有最小值 B．函数 有最大值
C．函数 有且仅有三个零点 D．函数 有且仅有两个极值点
【答案】A
【解析】由函数图象可知 、 的变化情况如下表所示：
由上表可知 在 和 上分别单调递减，在 和 上分别单调递增，
函数 的极小值分别为 、 ，其极大值为 .
对于A选项：由以上分析可知 ，即函数 有最小值，故A选项
正确；
对于B选项：由图可知当 ，有 ，即 增加得越来越快，
因此当 ，有 ，所以函数 没有最大值，故B选项错误；
对于C选项：若有 ，则由零点存在定理可知函数 有四个零点，故C选项
错误；
对于D选项：由上表及以上分析可知函数 共有3个极值点，故D选项错误.
故选：A.
8．（2023·天津西青·高三校考开学考试）已知函数 的图象是下列四个图象之一，且其导函数
的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 的图像经过 与 两点，即 ， ，
由导数的几何意义可知 在 与 处的切线的斜率为 ，故AD错误；
由 的图象知， 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
又 在 上越来越大，在 上越来越小，
所以 在 上增长速度越来越快，在 上增长速度越来越慢，故C错误，B正确.
故选：B.
9．（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有两个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．过点 可作曲线 的两条切线
【答案】AC
【解析】由题意，在 中， ．
令 ，得 或 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 是极值点，A正确．
由 的单调性且极大值 ，极小值 ，
又 ， ，
所以函数 在定义域上有3个零点，B错误．
令 ，因为 ，则 是奇函数，
所以 是 图象的对称中心，
将 的图象向上移动1个单位长度得到 的图象，所以点 是曲线 的对称中心，C正确．
设切点为 ，则切线的方程为 ，
代入 ，可得 ，解得 ．
所以过点 的切线有1条，D错误．故选：AC．
10．（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）（多选）对于函数 ，则下列结论
正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 在 上有3个零点
C． 的最大值为 D． 在 上是增函数
【答案】ABC
【解析】对于A，因为 ，
所以 是 的一个周期，A正确；
对于B，当 ， 时， ，
即 ，即 或 ，解得 或 或 ，
所以 在 上有 个零点，故B正确；
对于C，由A可知，只需考虑求 在 上的最大值即可.
，
则 ，
令 ，求得 或 ，
所以当 或 时， ，此时 ，
则 在 上单调递增，
当 时， ，此时 ，但不恒为0，
则 在 上单调递减，则当 时，函数 取得最大值，
为 ，C正确；
对于D，由C可知， 在 上不是增函数，D错误.故选：ABC
11．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数 的值域为 .【答案】
【解析】 是函数 的一个周期，所以只需要考虑函数 在 的取值范围即可.
，
易知 在 内有三个零点，依次为 ， ， .
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
计算有 ， ， ， ，
所以函数 的值域为 .
12．（2023·上海·高三校考期中）函数 的极小值是 .
【答案】0
【解析】由已知 ， 得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上递增，在 递减，
所以 的极小值为 ．
13．（2023·广东·统考二模）已知函数 的最小值为0，则a的值为 .
【答案】
【解析】由 ，且 ，
令 ，则 ，即 在 上递增，
所以 在 上递增，又 ， ， ， ，
所以， 使 ，且 时， ，
时， ，所以 在 上递减，在 上递增，
所以
由 ，得 ，
令函数 ， ，
所以 在 上是增函数，注意到 ，所以 ，所以 .
14．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知奇函数 在 处取得极大值2.
（1）求 的解析式；
（2）求 在 上的最值.
【答案】（1） ；（2）最大值为52，最小值为
【解析】（1）易知函数 的定义域为 ，
因为 是奇函数，所以 ，则 .
由 ，得 .
因为 在 上取得极大值2，
所以 解得
经经检验当 时， 在 处取得极大值2，
故 .
（2）由（1）可知， ，
当 时， 单调递增；
当 和 时， 单调递减；
即函数 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ；
又因为 ，
所以 在 上的最大值为52，最小值为 .
15．（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）对 ， 恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）递增区间为 ；；（2） .
【解析】（1）当 时，函数 的定义域为 ，求导得
，
令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上递减，在 上递增，
，即 ， ，当且仅当 时取等号，
所以函数 在 上单调递增，即函数 的递增区间为 .（2）依题意， ，则 ，
由（1）知，当 时， 恒成立，
当 时， ， ，
则 ，因此 ；
当 时，求导得 ，令 ，
求导得 ，当 时， ，
则函数 ，即 在 上单调递减，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，当 时， ，不符合题意，
所以a的取值范围是 .
16．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调递增区间；
（3）若函数 在区间 上只有一个极值点，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 、 ；（3）
【解析】（1）当 时， ，则 ，所以， ， ，
故当 时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）当 时， ，该函数的定义域为 ，
，
由 ，即 ，解得 或 ，
因此，当 时，函数 的单调递增区间为 、 .
（3）因为 ，则 ，
令 ，因为函数 在 上有且只有一个极值点，
则函数 在 上有一个异号零点，
当 时，对任意的 ， ，不合乎题意；当 时，函数 在 上单调递增，
因为 ，只需 ，合乎题意；
当 时，函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，
因为 ，只需 ，不合乎题意，舍去.
综上所述，实数 的取值范围是 .
