文档内容
第 08 讲 函数与方程(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数零点所在区间的判断
高频考点二：函数零点个数的判断
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
高频考点四：比较零点大小关系
高频考点五：求零点和
高频考点六：根据零点所在区间求参数
高频考点七：二分法求零点
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 08 讲 函数与方程（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点
对于一般函数 ，我们把使 成立的实数 叫做函数 的零点．注意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 轴的交点的横坐标
即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
3、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程
的近似解就是求函数 零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交
点；
④函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交点
，其中 为常数.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东中山·高一期末）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一开学考试）用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得 ， ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2022·广西玉林·高一期末）若函数 的零点所在的区间为 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建南平·高一期末）函数 的零点为 ， ，则 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·江苏淮安·高一期末）已知 ， 均为 上连续不断的曲线，根据下表能判断方程
有实数解的区间是（ ）
x -1 0 1 2 3
-0.670 3.011 5.432 5.980 7.651
-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A． B． C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数零点所在区间的判断
1．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）方程 的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·池州市第一中学高一阶段练习）函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数 的零点所在的区间为（ ）A． B． C． D．
高频考点二：函数零点个数的判断
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知函数 的图像是连续不断的，且 ， 有如下的
对应值表：
1 2 3 4 5 6
123.56 21.45 7.82 11.57 53.76 126.49
则函数 在区间 上的零点有（ ）
A．两个 B．3个 C．至多两个 D．至少三个
2．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）已知函数 ，则函数 的零点
个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，则函数 的零点个数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，给出下列四个结论：
（1）若 ，则 有两个零点；
（2） ，使得 有一个零点；
（3） ，使得 有三个零点；
（4） ，使得 有三个零点．
以上正确结论的序号是 __．
5．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若函数 满足 ，且 时，
，已知函数 ，则函数 在区间 内的零点的个数为
__________.
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 恰有 个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·上海杨浦·高一期末）已知函数 若函数 存在零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京大兴·高一期末）若函数 恰有 个零点，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建龙岩·高一期末）若函数 在 上存在零点，则实数 的取值范围
是________．
5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数 ， 则使函数 有
零点的实数 的取值范围是____________
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）求 的解析式.
（2）若方程 有实数根，求实数a的取值范围.
高频考点四：比较零点大小关系
1．（2022·浙江·於潜中学高二期中）已知函数 ， ， 的零点分别
为a，b，c，则（ ）A． B． C． D．
2．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）若 ，则下列不等关系一定不成立的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东潍坊·高三期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程 、 、 的
根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·江苏苏州·高一期末）若实数 、 满足 ，则 、 的大小关系 __ （填“
”，“ ”或“ ”）.
6．（2022·江苏·高一）已知函数 ， ， 的零点依次为 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系是________．
高频考点五：求零点和
1．（2022·天津市新华中学高三期末）已知函数 的定义域为 ，且 ，当 时，
若关于x的方程 在 上所有实数解的和为15，则实数k的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．（2022·安徽蚌埠·高三期末（文））已知函数 有四个不同的零点 ， ，
， ，若 ， ， ，则 的值为（ ）
A．0 B．2 C．－1 D．－2
3．（2022·浙江·高三专题练习）设函数 ，若互不相等的实数 、 、 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．4．（2022·江苏·高一期末）已知函数 ，若存在 ，使得
，则 的取值范围是___________.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则
函数 的所有零点的和为_________
高频考点六：根据零点所在区间求参数
1．（2022·海南·高一期末）若函数 在区间 内存在零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·江苏省太湖高级中学高二阶段练习）函数 的一个零点在区间 内，
则实数a的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·上海市建平中学高一期末）若函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范
围是________.
5．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）已知函数 ，
(1)若函数 在区间 上存在零点，求实数a的取值范围；高频考点七：二分法求零点
1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法
计算，其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确度 ）可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某同学用二分法求函数 的零点时，
计算出如下结果： ， ， ， ，
， ，下列说法正确的有（ ）
A．精确到 的近似值为 B．精确到 的近似值为
C．精确到 的近似值为 D．精确到 的近似值为
3．（多选）（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若函数 的图象是连续的，且函数 的唯一零点
同在区间 ， ， ， 内，则与 符号不同的是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2022·全国·高一）若函数 在区间 上的图象不间断，则下列结论中错误的是
（ ）
A．若 ，则 在 上不存在零点 B．若 ，则 在 上
至少有一个零点 C．若 在 内有且只有一个零点，则 D．若 在 上存
在零点，则可用二分法求此零点的近似值
5．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总
人数是 （ ）将 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可
确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组 人
的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而
将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过
检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染
者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为 ，且假设其中有不超过2名感染者，采
用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______.6．（2022·河南信阳·高一期末）下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是
___________.（写出所有符合条件的序号）
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·天津·高考真题）设 ，函数 ，若 在区间 内恰
有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国·高考真题（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·天津·高考真题）已知函数 若函数 恰有4个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏·高考真题）已知函数 ，若其图像上存在互异的三个点 ，
， ，使得 ，则实数 的取值范围是__________.
5．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有个1零点；
③存在负数 ，使得 恰有个3零点；
④存在正数 ，使得 恰有个3零点．其中所有正确结论的序号是_______．
第五部分：第 08 讲 函数与方程（精练）
一、单选题
1．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一期末）已知函数 ，则零点所在的区间可以
为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·江西省兴国县第三中学高三阶段练习（理））二次函数 的部分对应值
如下表：
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
6 -4 -6 -6 -4 6
可以判断方程 的两根所在的区间是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
3．（2020·全国·高一课时练习）设函数 与 的图象交点为 ，则 所在区间是（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
4．（2020·四川·广安二中高一期中）函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据
如下：
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
5．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 ，若方程 有四个不同的解
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2020·四川·广安二中高一期中）已知函数 ，其中 ，若存在实
数 ，使得关于 的方程 恰有三个互异的实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·天津滨海新·高三阶段练习）已知函数 ，若方程 有2个不同的
实根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2020·天津市红桥区教师发展中心高二学业考试）函数 的零点所在的区间为(k，
k+1)，则k =________．
10．（2020·海南·琼山中学高一阶段练习）设函数 ，则函数
与 的图象的交点个数是____________.
11．（2020·天津市红桥区教师发展中心高二期末）已知函数 ，若函数
有三个零点，则实数 的取值范围是________________．
12．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数 ，若方程
有8个相异的实数根，则实数 的取值范围是_________________________ ．
三、解答题
13．（2020·陕西师大附中高一期中）已知二次函数 满足 .且 ， .
（1）求 的解析式；
（2）是否存在实数 ，使得函数 在 上有零点？若存在，求出 的取值范围；若不存
在，说明理由.14．（2020·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)画出函数 的图象，并写出其单调递增区间；
(2)若方程 有四个解，试求实数 的取值范围.
15．（2020·浙江金华·高一期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若存在 使关于 的方程 有四个不同的实根，求实数 的取值范围．
