文档文本内容
专题4-3 函数与方程零点问题综合
【题型1】零点存在定理
【题型2】二分法
【题型3】 零点个数问题
【题型4】比较零点的大小
【题型5】由零点个数求参数范围
【题型6】求零点的和
【题型7】由二次函数零点分布求参数范围
【题型8】等值线问题
【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化
【题型10】嵌套函数零点问题
【题型11】关于f(x)的方程𝑎𝑓(𝑥)2+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0 解的个数问题
图像的变换
（1）平移变换
①函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向左平移
个单位得到的；
②函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向右平移
个单位得到的；
③函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向上平移
个单位得到的；
④函数
的图像是把函数
的图像沿
轴向下平移
个单位得到的；
（2）对称变换
①函数
与函数
的图像关于
轴对称；
函数
与函数的图像关于
轴对称；
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
函数
与函数
的图像关于坐标原点
对称；
②若函数
的图像关于直线
对称，则对定义域内的任意
都有
或
（实质上是图像上关于直线
对称的两点连线的中点横坐
标为
，即
为常数）；
若函数
的图像关于点
对称，则对定义域内的任意
都有
③
的图像是将函数
的图像保留
轴上方的部分不变，将
轴下方的部分关于
轴对称
翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④
的图像是将函数
的图像只保留
轴右边的部分不变，并将右边的图像关于
轴对
称得到函数
左边的图像即函数
是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：
的图像先保留
原来在
轴上方的图像，做出
轴下方的图像关于
轴对称图形，然
后擦去
轴下方的图像得到；而
的图像是先保留
在
轴右方的图像，擦去
轴左方的图
像，然后做出
轴右方的图像关于
轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数
与
的图像关于
对称．
【题型1】零点存在定理
零点存在定理及其推论
1、定理：如果函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，且
，
那么，函数
在区间
内至少有一个零点，
即存在
，使得
，这个
也就是方程
的解。
【注意】（1）定义不能确定零点的个数；
（2）不满足定理条件时依然可能有零点；
（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
（4）定理反之是不成立的.
2、重要推论：
（1）推论1：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，
，
且
具有单调性，则函数
在区间
内只有一个零点.
（2）推论2：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，
函数
在区间
内有零点，且函数
具有单调性，则
1．函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
是函数
的一个零点，若
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（23-24 高一下·河南漯河·期末）函数
，则“
”是“函数
在
上
存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【巩固练习1】方程
的解所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知
是函数
的一个零点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型2】二分法
对于在区间
上连续不断且
的函数
，通过不断把函数
的零点所在的
区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4．用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．用二分法研究函数
的零点时，第一次计算，得
，
，第二次
应计算
，则
等于（ ）
A．1
B．
C．0.25
D．0.75
【巩固练习1】已知函数
(
)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.51
2
1.099
由二分法,方程
的近似解(精确度0.05)可能是（ ）
A．0.625
B．-0.009
C．0.5625
D．0.066
【巩固练习2】已知函数
，在区间
内存在一个零点，在利用二分法求函数
近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ．
【巩固练习3】一块电路板的
线段之间有
个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落
造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）
A．
次
B．
次
C．
次
D．
次
【题型3】 零点个数问题
零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令
，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2 、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间
上是连续不断的曲线，且
，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
的图象，函数
的图象与
轴交点
的个数就是函数
的零点个数；
（2 ）两个函数图象：将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，则函数
的零点个数就是函数
和
的图象的交
点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
6．函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【巩固练习1】函数
在定义域内的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【巩固练习2】方程
的解的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2 或3 或4
【巩固练习3】已知函数
则函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型4】比较零点的大小
利用数形结合、等价转化等数学思想,将函数零点问题转化成图象交点，作出函数的图象，再根据
图象求结果.
8．（23-24 高一上·河北唐山·期末）若函数
，
，
的
零点分别为
，
，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高一上·全国·课后作业）设
，
，
均为实数，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（23-24 高一上·山东日照·期末）若
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高一上·北京丰台·期末）函数
，
，
的零点分
别为
，
，，则
，
，，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程
的两根为
，
，则（ ）
A．
，
B．
C．
D．
【巩固练习1】（23-24 高一下·广东揭阳·期末）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（2024·广东梅州）三个函数
，
，
的零点分别为
，则
之间的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（23-24 高一下·河南·开学考试）已知函数
的零点分别是
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】（23-24 高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数
的零点分别为
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型5】由零点个数求参数范围
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象，利用数形结合的方法求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.
13．设函数
，若函数
恰有3 个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2018·全国·高考真题）已知函数
．若g（x）存在2 个零
点，则a 的取值范围是
A．[–1，0）
B．[0，+∞）
C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
15．已知函数
若函数
有四个不同的零点，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．已知函数
有唯一零点，则负实数
A．
B．
C．
D．
或
17．已知函数
有唯一零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
18．（24-25 高一上·福建厦门·期中）已知
是定义在R上的偶函数，且对
，都有
，且当
时，
.若在区间
内关于
的方程
至少有2 个不同的实数根，至多有3 个不同的实数根，则实数
的
取值范围是 .
【巩固练习1】（23-24 高一下·云南昆明·期中）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，则
的取值范围是 ．
【巩固练习2】（23-24 高一上·天津·期末）已知函数
若函数
有三个零点，则实数
的取值范围 .
【巩固练习3】已知关于
的函数
有唯一零点
，则
（ ）
A．
B．3
C．
或3
D．4
【巩固练习4】设
，函数
若
恰有一个零点，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6】求零点的和
零点的和一般通过函数图像对称性来求
19．（23-24 高一上·湖南益阳·期末）已知函数
，
，
的零点分别为a，b，c，则
．
20．函数
的所有零点之和为（ ）
A．0
B．-1
C．
D．2
21．（23-24 高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数
的定义域为R，且
是奇函数，当
时，
，函数
，则方程
的所有的根之和为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
22．（贵州省毕节市2023-2024 学年高一下学期期末联考数学试题）已知
是函数
的零点，
是函数
的零点，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
23．（23-24 高一上·江苏·阶段练习）设
满足
，
满足
，则
.
24．已知定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
.设
，则
与
图象的所有交点的横坐标之和为 .
【巩固练习1】（23-24 高一上·河北石家庄·期末）设函数
的零点为
，函数
的零点为
，则
.
【巩固练习2】（湖北省鄂东南2024-2025 高一上期中联考）设函数
关于x 的
方程
有三个不等实根
，且
，则
的取值范围是 .
【巩固练习3】（山东省泰安市肥城市2023-2024 学年高一上学期11 月期中考试数学试题）已知函
数
，方程
有三个解
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【巩固练习4】（广东省珠海市高一上学期11 月联考）若
，
分别是方程
，
的根，则
（ ）
A．
B．2023
C．
D．4046
【题型7】由二次函数零点分布求参数范围
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般
考虑以下几方面：
1.
开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）.
2.
判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成
立）
3.
判定△符号.
4.
判定对称轴的位置.
总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去
分析就可以得到结论，无需记忆.
（1）二元二次方程在
上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根
;
②方程有两个相等的实数根
;
③方程没有实数根
（2）一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根
；
②方程有两个不等负根
③方程有一正根和一负根,设两根为
（3）一元二次方程
的根的“
”分布
①两根都小于
；
②两根都大于
③一根小于
，一根大于
（4）一元二次方程根
在区间的分布
①两根都在
内
②两根都在
外
③两根仅有一根在
内
④一根在
内,另一根在
内
25．（24-25 高一上·全国·期中）如果函数
的两零点分别落在区间
和
上，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（高一上·江苏徐州·阶段练习）方程
的两个根均大于1，则实数m 的取值范
围是 ．
27．（24-25 高一上·浙江宁波·阶段练习）若函数
在(−1,1)内恰有一个零点，则实
数
的取值范围是 ．
【巩固练习1】（24-25 高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数
有一个零点在区
间
内，求实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【巩固练习2】（24-25 高一上·江苏无锡·期中）若二次函数
在区间
上存在
一个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【巩固练习3】（24-25 高一上·辽宁·期中）已知函数
至少有一个零点在区
间
内，求实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【题型8】等值线问题
数形结合思想
28．（23-24 高一上·广东潮州·期末）已知函数
有两个零点分别为
和
，则
的
取值范围是 ．
29．（23-24 高一上·江苏苏州·期中）已知
若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（23-24 高一上·宁夏石嘴山·期中）(多选)已知函数
，若存在
，
使得
，则
的取值可以是（ ）
A．
B．3
C．
D．
31．（24-25 高一上·云南昆明·期中）已知
，若
，且
，则
的取值范围是 .
【巩固练习1】（23-24 高一下·广东广州·阶段练习）已知函数
．若
，
则
的零点为 ；若函数
有两个零点
，
，则
的最小值为
．
【巩固练习2】（23-24 高一上·山西阳泉·期末）已知函数
，若方程
有
四个不同的解
，则
的取值范围是 ．
【巩固练习3】（23-24 高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，则
的取值范围是
．
【巩固练习4】（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知函数
，若
，
，
满足
，记
，则
的取值范围为 ．
【巩固练习5】（2024 高一上·江苏·专题练习）已知
，若
互不相等且
，且
，则
的范围是 ．
【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化
函数零点题型常涉及求解方程根、判断函数图像与x 轴交点等。指数式与对数式互化题型则注重转
换技巧，如给定指数式求对数式表达，或利用对数定义解指数方程。两类题型均考验数学基础与逻
辑转换能力。
32．（24-25 高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数
（其中为自
然对数的底数）.设
分别为f (x),g(x)的零点，则
.
33．已知
是函数
的零点，则
.
34．（23-24 高一上·四川南充·阶段练习）已知
是函数
的零点，则
.
【巩固练习1】（23-24 高一上·湖南长沙·期末）已知
分别是函数
与
的零点，若
，则
的取值范围为 .
【巩固练习2】（23-24 高二下·山东菏泽·阶段练习）设
是函数
的零点，则
．
【巩固练习3】（23-24 高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知
是函数
的零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】（23-24 高一上·江西宜春·阶段练习）已知
的零点为
，若
，则整数
的最大值是 .
【题型10】嵌套函数零点问题
数形结合与换元法
对于嵌套型复合函数
的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数
和外层函数
；
（2）确定外层函数
的零点
；
（3 ）确定直线
与内层函数
图象的交点个数分别为，
则函数
的零点个数为
.
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
35．（23-24 高一上·陕西西安·阶段练习）定义域和值域均为[−a,a]（常数
）的函数y = f (x)
和y = g(x)图象如图所示，则方程
有 个解．
36．已知函数
若关于
的方程
有且仅有两个实数根，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
37．已知函数
，则
至多有______个实数解.
38．已知
，若
只有5 个不同的实根，则实数a 的取值范围是
.
【巩固练习1】（23-24 高一上·浙江金华·期末）已知函数
则方程
的所有根之积为 ．
【巩固练习2】（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知函数
为
上的奇函数，当
时，
，若函数
满足
，且
有8 个不同的解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】（24-25 高一上·江苏连云港·期中）已知函数
，则函数
的零点为 .
【巩固练习4】（24-25 高一上·江苏泰州·阶段练习）若
和
都是R 上的函数，且
有实数解，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型11】关于f(x)的方程𝑎𝑓(𝑥)2+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0 解的个数问题
先换元再因式分解，最后数形结合
39．已知
则函数
的零点个数是______．
40．（24-25 高一上·浙江·期中）已知
，若函数
有5 个不同的零点，则实数
的取值范围是 .
41．（23-24 高一上·河南南阳·期末）已知函数
有3 个不同的零点
则实数
的取值范围是
；若
，则
.
【巩固练习1】已知
，则函数
的零点个数是 .
【巩固练习2】（23-24 高一下·贵州六盘水·期中）已知函数
，关于x 的方程
恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是 .
【巩固练习3】（24-25 高一上·吉林长春·期中）设函数
，若关于
的方程
恰有三个不相等的实根，则实数
的取值范围是 ．
【巩固练习4】（23-24 高一上·广东湛江·期中）设
，若关于x 的方程
有三个不同的实数根，则实数t 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】（24-25 高一上·浙江杭州·期中）已知函数
，若关于
的方
程
有5 个不同的实数根，则
的取值范围为 ․
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